隨機(jī)系統(tǒng)的建模與仿真

隨機(jī)系統(tǒng)的建模與仿真第1頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)6.1.1

隨機(jī)系統(tǒng)概述1隨機(jī)事件與隨機(jī)變量隨機(jī)事件:在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件。隨機(jī)變量:設(shè)S為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，它的樣本空間為，對(duì)于每一個(gè)，有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則就稱之為隨機(jī)變量。第2頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）2隨機(jī)過(guò)程、樣本函數(shù)隨機(jī)過(guò)程(StochasticProcess)：設(shè)（）是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，每一次實(shí)驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)），記為，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總體就構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程，記作。如圖6-1所示。第3頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）圖6-1樣本函數(shù)的總體----隨機(jī)過(guò)程第4頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）6.1.2

隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性均值概率密度函數(shù)概率分布函數(shù)均方根均方值隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性方差第5頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）1概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)表示每個(gè)值發(fā)生的可能性，即每個(gè)事件發(fā)生的概率分布，表示其中一個(gè)事件。概率密度函數(shù)的性質(zhì)如下(6.1)(6.2)第6頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）2概率分布函數(shù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)是指變量的值小于或者等于的隨機(jī)變量的概率。定義為 (6.3)如果有兩個(gè)隨機(jī)變量，則可以用聯(lián)合概率分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度函數(shù)來(lái)加以描述，定義如下：聯(lián)合概率分布函數(shù)

(6.4)聯(lián)合概率密度函數(shù)

(6.5)第7頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）3均值、均方值、均方根隨機(jī)變量的均值定義為

(6.6)隨機(jī)變量的均方值定義為

(6.7)隨機(jī)變量的均方根定義為

(6.8)第8頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）4方差隨機(jī)變量的方差定義為

(6.9)第9頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）泊松分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布類(lèi)型均勻分布

分布愛(ài)爾朗分布常用的幾種概率分布第10頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）(1)均勻分布若在區(qū)間中，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

（6.10）則稱在區(qū)間上服從均勻分布，記作。第11頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）均勻分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)可用圖6-2的曲線表示。圖6-2均勻分布的分布曲線第12頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）(2)正態(tài)分布正態(tài)分布又稱為高斯分布，是最常用的一種連續(xù)分布。若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(6.12)其中為大于零的常數(shù)，則稱服從參數(shù)的正態(tài)分布，記作。第13頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）(3)泊松分布若離散型隨機(jī)變量的概率分布為

(6.13)其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)的泊松分布，記作。其中參數(shù)為泊松分布隨機(jī)變量的均值和方差。第14頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）(4)指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(6.14)其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)的指數(shù)分布。第15頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）（a）指數(shù)分布的曲線(b)指數(shù)分布的曲線圖6-5指數(shù)分布曲線第16頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）(5)分布和愛(ài)爾朗分布以p為參數(shù)的廣義積分，當(dāng)p>0時(shí)收斂，它所確定的函數(shù)p稱為的函數(shù)，記作若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(6.16)其中p>0為常數(shù)，則稱X服從a,p參數(shù)的分布。第17頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）k個(gè)相互獨(dú)立，具有相同分布的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和服從愛(ài)爾朗分布。即若有k個(gè)相互獨(dú)立的機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為第18頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）那么，隨機(jī)變量

其概率密度函數(shù)為第19頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性12頻域特性

3自相關(guān)域特性

幅值域(時(shí)域)特性第20頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）1.幅值域(時(shí)域)特性對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（即平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)據(jù)特征與一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均數(shù)據(jù)特征相同），隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性可以簡(jiǎn)化為的時(shí)間統(tǒng)計(jì)特性。統(tǒng)計(jì)特性有:第21頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）(1)均值

(6.18)(2)方差

(6.19)(3)均方值

(6.20)第22頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）2.自相關(guān)域特性自相關(guān)函數(shù)是對(duì)隨機(jī)過(guò)程在相關(guān)域上的特性描述。它表征隨機(jī)過(guò)程在一個(gè)時(shí)刻和另一時(shí)刻采樣值之間的相互依賴程度，即表征信號(hào)隨機(jī)變化的程度。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有自相關(guān)函數(shù)(6.21)

第23頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1

隨機(jī)系統(tǒng)基本知識(shí)(續(xù)）反映了在時(shí)刻和的值和的相關(guān)性，或者說(shuō)已知，的可預(yù)見(jiàn)性。自相關(guān)函數(shù)大，則變化緩慢，由預(yù)見(jiàn)的可能性大；自相關(guān)函數(shù)小，則相反。

是一個(gè)偶函數(shù)，即，并且在時(shí)有最大值，即。第24頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）3.頻域特性功率譜密度是對(duì)隨機(jī)過(guò)程在頻域上的特性描述，它是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，有功率譜密度函數(shù)

(6.22)其逆變換為

(6.23)第25頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3

隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）以上兩式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，稱為維納-辛欽公式。

功率譜密度函數(shù)表示隨機(jī)過(guò)程的均方值（總能量）在頻率域內(nèi)的分布情況。第26頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.4

白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性白噪聲是最簡(jiǎn)單的一種隨機(jī)過(guò)程。所謂白噪聲是指它的自相關(guān)函數(shù)為一理想脈沖函數(shù)，它的功率譜密度是一個(gè)常數(shù)。有

(6.24)

(6.25)式中為白噪聲的方差，為脈沖函數(shù)。第27頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.4

白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性從頻域角度看，白噪聲的能量在整個(gè)頻譜上均勻分布。如圖6-6所示。圖6-6白噪聲的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度第28頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.4

白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）白噪聲只有理論上的價(jià)值，實(shí)際上只有近似的白噪聲，即在系統(tǒng)感興趣的頻帶之內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，而也只是近似于一個(gè)脈沖。如圖6-7所示。第29頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1.4

白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性(續(xù)）圖6-7近似白噪聲的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度第30頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.2

隨機(jī)系統(tǒng)模型簡(jiǎn)介假設(shè)某一隨機(jī)系統(tǒng)為一線性時(shí)變系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可用狀態(tài)方程描述

(6.26)式中：為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；為隨機(jī)初值；為系統(tǒng)輸出；為外界擾動(dòng),為隨機(jī)變量；為系數(shù)矩陣,為確定量；為輸入矩陣，為確定量；為輸出矩陣，為確定量；為系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)誤差；亦為系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)誤差。第31頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.2

隨機(jī)系統(tǒng)模型簡(jiǎn)介（續(xù)）指數(shù)相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程

常見(jiàn)的隨機(jī)系統(tǒng)模型隨機(jī)常數(shù)

隨機(jī)斜坡

隨機(jī)游動(dòng)

組合模型

自回歸-滑動(dòng)平均模型

第32頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.3隨機(jī)變量的分布參數(shù)估計(jì)1.分布參數(shù)的類(lèi)型位置參數(shù)形狀參數(shù)比例參數(shù)第33頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.3隨機(jī)變量的分布參數(shù)估計(jì)（續(xù)）(1)位置參數(shù)位置參數(shù)確定了一個(gè)分布函數(shù)取值范圍的橫坐標(biāo)。(2)比例參數(shù)比例參數(shù)決定分布參數(shù)在其取值范圍內(nèi)取值的比例尺。(3)形狀參數(shù)形狀參數(shù)確定分布參數(shù)的形狀，從而改變分布參數(shù)的性質(zhì)。

第34頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.3隨機(jī)變量的分布參數(shù)估計(jì)（續(xù)）2.分布參數(shù)的估計(jì)總體參數(shù)：已知仿真模型中隨機(jī)模型的分布類(lèi)型，為完全確定一個(gè)分布所需要確定的分布類(lèi)型中所含參數(shù)的數(shù)值參數(shù)空間：總體參數(shù)可能取值的范圍參數(shù)估計(jì)：已知被仿真實(shí)際系統(tǒng)隨機(jī)變量的實(shí)際數(shù)據(jù),根據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì)分布類(lèi)型中的未知總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的過(guò)程第35頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.3隨機(jī)變量的分布參數(shù)估計(jì)（續(xù)）參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：給出一組分布函數(shù)，只知道其中有一個(gè)是總體分布函數(shù)，但不知道究竟是哪一個(gè)，需要根據(jù)樣本來(lái)估計(jì)這個(gè)實(shí)際的總體分布。分布參數(shù)的方法：最大似然估計(jì)，最小二乘估計(jì)，無(wú)偏估計(jì)等第36頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法6.4.1

蒙特卡羅仿真法定義：蒙特卡羅法是一種通過(guò)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)、隨機(jī)仿真來(lái)求解數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)問(wèn)題近似解的數(shù)值方法。1.蒙特卡羅方法概述第37頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）步驟：第一，建立隨機(jī)系統(tǒng)模型；第二，多次循環(huán)仿真，記錄每次仿真的主要結(jié)果；第三，多次仿真結(jié)果的后處理，計(jì)算統(tǒng)計(jì)特性，如均值、方差、頻譜或相關(guān)函數(shù)。第38頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）特點(diǎn)：第一，適應(yīng)線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，使用限制條件少；第二，仿真工作量大。尤其系統(tǒng)存在多種隨機(jī)因素，而且想得到每種因素對(duì)系統(tǒng)的影響時(shí)更為繁瑣。第39頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）2.蒙特卡羅方法的概率收斂性根據(jù)大數(shù)定律，是個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們有相同的分布，且有相同的有限期望和方差，。則對(duì)于任意，有

(6.30)第40頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）由伯努利定理說(shuō)明，設(shè)隨機(jī)事件A的概率為P(A)，在N次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻數(shù)為n，頻率為n/N，則對(duì)于任意的，有

(6.31)第41頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）蒙特卡羅方法從總體抽取簡(jiǎn)單子樣做抽樣實(shí)驗(yàn)，根據(jù)簡(jiǎn)單子樣的定義，為具有同分布的獨(dú)立隨機(jī)變量當(dāng)N足夠大時(shí)，以概率1收斂于，而頻率以概率1收斂于，這就保證了使用蒙特卡羅方法的概率收斂性。第42頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）6.4.2

伴隨系統(tǒng)仿真法定義：將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成它的伴隨系統(tǒng)，再用伴隨系統(tǒng)仿真代替原系統(tǒng)仿真的一種仿真方法。第43頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）特點(diǎn)：第一，只適用于線性時(shí)變或非時(shí)變系統(tǒng)；第二，一次仿真可以得到系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性，因而仿真工作量小；第三，當(dāng)系統(tǒng)存在多個(gè)干擾時(shí)，一次仿真可以獲得每個(gè)干擾引起的系統(tǒng)響應(yīng)的分量第44頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）1.伴隨系統(tǒng)

伴隨系統(tǒng)是原系統(tǒng)的共軛系統(tǒng)，共軛是指時(shí)間上和輸入/輸出間的共軛。

假定用以下?tīng)顟B(tài)方程

(6.32)代表一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)。

第45頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）為維系統(tǒng)狀態(tài)變量，為維輸入，為維輸出，，，分別為，，維實(shí)數(shù)陣，分別為系統(tǒng)的開(kāi)始及結(jié)束運(yùn)行時(shí)間。第46頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）如果上式是原系統(tǒng)狀態(tài)方程，它的伴隨系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(6.33)

因此，如果知道原系統(tǒng)模型，就可以按式(6.33)求出它的伴隨系統(tǒng)模型。第47頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）2.伴隨系統(tǒng)的性質(zhì)假定為原系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)過(guò)渡函數(shù)，這里和分別為系統(tǒng)響應(yīng)的觀察時(shí)間和脈沖加入時(shí)間。再假定為其伴隨系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)過(guò)渡函數(shù)，和分別為伴隨系統(tǒng)響應(yīng)的觀察時(shí)間和脈沖加入時(shí)間?？梢宰C明兩個(gè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)過(guò)渡函數(shù)和有以下關(guān)系

(6.34)第48頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）3.伴隨系統(tǒng)的仿真對(duì)于隨機(jī)過(guò)程作用下的線性系統(tǒng)，輸入輸出間關(guān)系的時(shí)域和頻率域表示如圖6-13所示(a)線性系統(tǒng)的時(shí)域表示(b)線性系統(tǒng)的頻域表示圖6-13隨機(jī)過(guò)程與線性系統(tǒng)第49頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4

隨機(jī)系統(tǒng)的仿真方法（續(xù)）根據(jù)工程數(shù)學(xué)的知識(shí)，可用卷積表示系統(tǒng)輸入輸出間的關(guān)系，即

(6.38)由上式得的均方值表達(dá)式為

(6.39)上式反映了系統(tǒng)輸入輸出間的時(shí)域關(guān)系。第50頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型1.隨機(jī)常數(shù)一個(gè)連續(xù)隨機(jī)常數(shù)可表示為

(6.43)與其相應(yīng)的離散過(guò)程為

(6.44)第51頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）隨機(jī)常數(shù)表示初始條件是一個(gè)隨機(jī)變量，因而相當(dāng)于一個(gè)沒(méi)有輸入但有隨機(jī)初始值的積分器的輸出，如圖6-15所示。圖6-15

隨機(jī)常數(shù)第52頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）2.隨機(jī)斜坡

隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間線性增長(zhǎng)，但是增長(zhǎng)的斜率則是具有一定概率分布的隨機(jī)量。圖6-16為其結(jié)構(gòu)圖

(6.45)圖6-16隨機(jī)斜坡第53頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）3.隨機(jī)游動(dòng)

如果輸入的白噪聲過(guò)程具有零均值和平穩(wěn)的正態(tài)分布，則輸出就稱為維納過(guò)程，也稱作隨機(jī)游動(dòng)。

(6.47)第54頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）式中。圖6-17為其結(jié)構(gòu)圖。圖6-17隨機(jī)游動(dòng)第55頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）4.指數(shù)相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)過(guò)程具有如下指數(shù)型相關(guān)函數(shù)

(6.49)式中，為隨機(jī)過(guò)程的方差，為過(guò)程的相關(guān)時(shí)間。顯然這是一個(gè)一階馬爾可夫過(guò)程。

第56頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）5.組合模型

圖6-19所示隨機(jī)過(guò)程為由隨機(jī)常數(shù)、隨機(jī)游動(dòng)、隨機(jī)斜坡以及一階馬爾可夫過(guò)程組合而成。圖6-19組合模型第57頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）6.自回歸-滑動(dòng)平均模型（ARMA）

設(shè)時(shí)間序列，其自回歸-滑動(dòng)平均模型表示為

(6.57)第58頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5

幾種常見(jiàn)的模型(續(xù)）式中，p為自回歸階次，q為滑動(dòng)平均階次，為平均值，。當(dāng)時(shí)p=0，為滑動(dòng)平均模型（MA模型）；當(dāng)q=0時(shí)為自回歸模型（AR模型）。第59頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)6.6.1

系統(tǒng)辨識(shí)的概念與分類(lèi)概念：系統(tǒng)辨識(shí)是一種借助實(shí)驗(yàn)輸入—輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)確定過(guò)程動(dòng)態(tài)品質(zhì)或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的理論與技術(shù)。第60頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）分類(lèi)：根據(jù)描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的不同可分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)辨識(shí)、集中參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)辨識(shí)；根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可分為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)；根據(jù)參數(shù)估計(jì)方法可分為離線辨識(shí)和在線辨識(shí)等。第61頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）6.6.2

系統(tǒng)辨識(shí)的內(nèi)容和步驟研究?jī)?nèi)容：①實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)；②模型結(jié)構(gòu)確定；③模型參數(shù)估計(jì)；④模型驗(yàn)證。辨識(shí)內(nèi)容及步驟如圖6-20所示。第62頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）圖6-20

系統(tǒng)辨識(shí)的一般步驟第63頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）一般步驟：(1)明確辨識(shí)目的(2)掌握和運(yùn)用先驗(yàn)知識(shí)(3)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(4)數(shù)據(jù)預(yù)處理(5)模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)(6)模型參數(shù)估(7)模型驗(yàn)證計(jì)第64頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）6.6.3

系統(tǒng)辨識(shí)建模方法線性系統(tǒng)的辨識(shí)理主要方法：最小二乘法，遞推最小二乘法，廣義最小二乘法，增廣最小二乘法，輔助變量法，Kalman濾波法，極大似然法等。

第65頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）對(duì)于一個(gè)單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，通?？梢杂靡粋€(gè)離散時(shí)間的差分方程來(lái)描述，即(6.59)式中，和式系統(tǒng)實(shí)際測(cè)量到的輸入輸出序列；是零均值具有相同分布的不相關(guān)的隨機(jī)序列；n表示系統(tǒng)的階次。第66頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）每一個(gè)觀測(cè)方程可以表示為

(6.60)若觀測(cè)方程組用向量-矩陣的形式表示，則可寫(xiě)成

(6.61)第67頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）式(6.59)和式(6.60)可稱為最小二乘模型類(lèi)，它們最后都要變成式(6.61)。它可稱為最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)格式。第68頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）2.系統(tǒng)參數(shù)與狀態(tài)估計(jì)的極大似然法

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度依賴于某未知參數(shù)。為了由觀測(cè)值估計(jì)，要選取使似然函數(shù)極大化的那個(gè)值。如果對(duì)所有的值，是中的最大值，那么是準(zhǔn)確的參數(shù)值的可能性就最大。這時(shí)，我們就稱是的極大似然估計(jì)，并記為。第69頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）3.系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的辨識(shí)和檢驗(yàn)

系統(tǒng)模型好壞的關(guān)鍵首先在于模型結(jié)構(gòu)是否正確。根據(jù)AIC準(zhǔn)則和SIC準(zhǔn)則判別階數(shù)的思想，文獻(xiàn)[2]提出一種非線性系統(tǒng)模型多項(xiàng)式“階數(shù)”的判別準(zhǔn)則為

(6.88)第70頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）其中表示當(dāng)多項(xiàng)式的“階數(shù)”為n時(shí)系統(tǒng)模型誤差的方差，和為兩個(gè)加權(quán)系數(shù)，的取值表示了模型誤差和模型簡(jiǎn)化之間的折衷關(guān)系，如圖6-21所示

。第71頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）圖6-21NLC(n)準(zhǔn)則函數(shù)第72頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.7

隨機(jī)系統(tǒng)建模與仿真實(shí)例路面是一個(gè)典型的隨機(jī)系統(tǒng)，通常把路面相對(duì)基準(zhǔn)平面的高度，沿道路走向長(zhǎng)度I變化q(I)，稱為路面縱斷面曲線或不平度函數(shù)，如圖6-22所示。

圖6-22路面縱斷面曲線第73頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.7

隨機(jī)系統(tǒng)建模與仿真實(shí)例（續(xù)）在利用路面隨機(jī)高程作為激勵(lì)信號(hào)對(duì)車(chē)輛的振動(dòng)進(jìn)行仿真研究時(shí)，為保證仿真結(jié)果的真實(shí)可信，對(duì)于仿真研究中生成的路面不平度（隨機(jī)高程）需要進(jìn)行驗(yàn)證，以確保對(duì)車(chē)輛模型輸入激勵(lì)的正確。第74頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.7

隨機(jī)系統(tǒng)建模與仿真實(shí)例（續(xù)）當(dāng)車(chē)速恒定時(shí)，路面不平度服從高斯概率分布，為具有零均值的平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)特性隨機(jī)過(guò)程，可以用路面的功率譜密度(PSD)函數(shù)和方差來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)特性。6.7.1

路面激勵(lì)和空間頻率功率譜第75頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.7

隨機(jī)系統(tǒng)建模與仿真實(shí)例（續(xù)）路面功率譜密度Gq(n)的擬合表達(dá)式為

(6.89)式中：n——空間頻率（），它是波長(zhǎng)λ的倒數(shù)，表示每米長(zhǎng)度中包含幾個(gè)波長(zhǎng)；

=0.1——參考空間頻率，；第76頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.7

隨機(jī)系統(tǒng)建模與仿真實(shí)例（續(xù)）Gq(

)——

下的路面功率譜密度值，稱為路面不平度系數(shù)，；w——頻率指數(shù)，為雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上斜線的斜率，它決定路面功率譜密度頻率結(jié)構(gòu)。第77頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）同時(shí)，每種路面的均方根值來(lái)描述路面隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率

(6.90)第78頁(yè)，課件共89頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6系統(tǒng)辨識(shí)（續(xù)）對(duì)于汽車(chē)振動(dòng)系統(tǒng)而言，車(chē)速是必須要考慮的一個(gè)因素。當(dāng)汽車(chē)以車(chē)速μ駛過(guò)空間頻率n的路面時(shí)，時(shí)間頻率功率譜密度和空間頻率功率譜密度具有如下關(guān)系