存在性和任意性在函數(shù)中的解題策略

任意性與存在性在函數(shù)問題中的解題策略黃京武漢六中關(guān)鍵詞：全稱量詞，特稱量詞，值域，唯一，打比方。。。。。。近兩年，全稱命題和特稱命題的否定經(jīng)常被考以外，全稱命題和特稱命題與函數(shù)結(jié)合的題型，在高考卷和模擬卷中頻頻出現(xiàn)，并成為一大熱點(diǎn)。兩種量詞插足函數(shù)，使得函數(shù)問題意深難懂，神秘莫測，問題顯得更加撲朔迷離難度大增，同時(shí)題目也因此顯得富有變化和新意。怎樣揭開量詞所含的神秘面紗，找到解決這類問題的基本方法，本文通過典型題目分類解析，僅供參考。一舉例打比方，使學(xué)生弄清關(guān)于函數(shù)在滿足全稱命題和特稱命題對應(yīng)的值域要求。命題1已知函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，對于都有，則。命題2已知函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，對于，都有，則。以上兩種關(guān)于函數(shù)不等關(guān)系的情況，學(xué)生較易理解。不管是兩個(gè)函數(shù)的變量都是任意性；還是其中一個(gè)是任意性，另一個(gè)是存在性，既可歸納為對函數(shù)的最大值與最小值提出一定要求，所以筆者不再熬述。相反，關(guān)于函數(shù)相等關(guān)系的情況卻顯得要費(fèi)腦筋些。例如：命題3,使得，設(shè)的值域分別為,則.對命題3的理解，我們可以用甲班和乙班的成績打比方：要滿足命題3即要在甲班中找一個(gè)同學(xué)的成績和乙班的某個(gè)同學(xué)的成績相同，那么甲班和乙班同學(xué)的成績表中至少有一個(gè)相同的分?jǐn)?shù)，用集合的語言理解，即兩個(gè)班的成績要有公共元素。命題4,使得，設(shè)的值域分別為,則.對命題4的理解，我們?nèi)匀豢梢杂眉装嗪鸵野嗟某煽兇虮确剑阂獫M足命題4，即要甲班中所有同學(xué)的成績都要在乙班中分別找出某個(gè)同學(xué)的成績與其相同，用集合的語言理解，即甲班的成績都應(yīng)該在乙班成績表中要有，即為。二典型題型：1已知，，，若對，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2（2010山東卷）已知,，當(dāng)時(shí)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍3若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。4（2011湖北八校二次聯(lián)考）設(shè)，，，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5.（2013湖北黃岡模擬卷）已知,。是否存在正實(shí)數(shù)，對任意的，都有唯一的使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。我們可以看到，隨著時(shí)間的推后，出題人在任意性和存在性問題上還會(huì)加以變化，例如第五題，加上“唯一”二字，就更加使題目顯得神秘?，F(xiàn)筆者就第五題，在總結(jié)前四點(diǎn)的基礎(chǔ)上找到解題的途徑。分析：其實(shí)，我們可以先不考慮“唯一”二字，那么本題將歸結(jié)為：設(shè)得值域分別為,則解：易求得的值域?yàn)樵賮硌芯亢瘮?shù)的值域情況，，是單調(diào)遞減；，是單調(diào)遞增。結(jié)合圖像的值域,首先要滿足，..........................繼續(xù)挖掘圖像中，要滿足唯一的使得成立，.............................由于要同時(shí)滿足,式只用滿足即可.故滿足條件的看來,只要我們充分理解全稱量詞和特稱量詞所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)含義,用集合語言作輔助工具增強(qiáng)理解,揭開神秘面紗后,解決此類問題,就歸結(jié)