2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6講 雙曲線

考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，雙曲線的離心率和漸近線是高考命題熱點(diǎn)；直線與雙曲線是高考新的命題點(diǎn).直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)-基礎(chǔ)知識(shí)-回顧走進(jìn)教材性質(zhì)圖形B?BA?AA.F?FB?B焦點(diǎn)焦距范圍x≤-a或?qū)ΨQ軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)AA頂點(diǎn)軸實(shí)軸：線段AiA?,長(zhǎng)：2a;虛軸：線段B?B?,長(zhǎng)：2b;實(shí)半軸長(zhǎng)：a,虛半軸長(zhǎng)：b離心率漸近線a,b,c關(guān)系實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x,離心率◎常用結(jié)論1.雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.=a+c,|PF2|min=c-a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),其長(zhǎng)為異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a.(4)設(shè)P,A,B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線PA,PB斜率存在且不為0,則直線PA與PB的斜率之積2.巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲,b>0)有共同漸近線的方程可表示t(t≠0).二、教材衍化1.(人A選擇性必修第一冊(cè)P120例1改編)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(一5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足[MA|-IMB|=6,則點(diǎn)M的軌跡方程是()解析：選D.由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支，故排除A,軌跡方程2.(人A選擇性必修第一冊(cè)P127習(xí)題3.2T?改編)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1),且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：設(shè)雙曲線的方程把點(diǎn)A(4,1)代入，得a2=15(舍負(fù)),故所求方程3.(人A選擇性必修第一冊(cè)P120例1改編)以橢的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為,解析：設(shè)要求的雙曲線方程),由橢I,得焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),頂點(diǎn)為(-2,0),(2,0).所以雙曲線的頂點(diǎn)為(-1,0),(1,0),焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為走出誤區(qū)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F(0,4),F?(0,-4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲(2)方表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()(3)若雙曲,b>0)的離心率分別是ei,1.(多選)(曲線方程中參數(shù)意義不明致誤)若方所表示的曲線為C,則下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是()A.若C為橢圓，則1<t<3B.若C為雙曲線，則>3或<1C.曲線C可能是圓D.若C為橢圓，且長(zhǎng)軸在y軸上，則1<t<2解析：選AD.若t>3,則方程可變形1,它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；若t<1,則方程可變形1,它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲=2,方；即為x2+y2=1,它表示圓，綜上，選AD.2.(忽視雙曲線上的點(diǎn)的特征致誤)已知雙曲線上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4,那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為Fi,F?,IPFiI=4,又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為c-a=√17-1,故|PF?|=6.答案：63.(忽視焦點(diǎn)的位置致誤)坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的一條漸近線的斜率為√3,則雙曲線的離心率為.解析：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，,則c=2a,此時(shí)e=2.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，答案：2核心考點(diǎn)=共研考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解雙曲線的定義及幾何圖形；會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解兩種類型的標(biāo)準(zhǔn)方程的差異.角度1雙曲線的定義例1(1)已知圓Ci:(x+3)2+y2=1,C?:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C?和圓C?相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()(2)已知Fi,F?為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F?PF?=60°,則△F?PE?的面積為【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C?和圓C?相外切，3,0)和C?(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且2a=2,a=1,c=3,則b2=c2-a2=8,所以點(diǎn)M的軌跡方程為(2)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，在△F?PF2中，由余弦定理，得 則△F?PF?的面積為,解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，答案：2雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支.角度2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(一題多解)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3),漸近線方程為y=±√3x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()【解析】方法一：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程則由題意可得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程可該方程組無(wú)解.>0),則由題意綜上，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：設(shè)雙曲線的方程,則由題意可得解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法三：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±√3x,所以可設(shè)雙曲線的方程為則由雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3),可得λ=3×22-32=3,故雙曲線的方其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：由例題方法三知所求雙曲線方程可設(shè)為3x2-y2=2(a≠0)1.又雙曲線焦距為2,所以c=1.若λ>0,方程化此時(shí)方程1;若n<0,方程化為1,此時(shí)方程曲線方程.定a2,b2的值，即“先定型，再定量”,如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)或mx2-ny2=1(mn>0),再根據(jù)條件求解.②若雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線的方程可設(shè)跟蹤訓(xùn)練焦點(diǎn)分別為Fi(-5,0),F?(5,0),則能使雙曲線A.雙曲線的離心率B.雙曲線過(guò)C.雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0D.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4解析：選ABC.由題意可得焦點(diǎn)在x軸上，且c=5,A選項(xiàng)，若雙曲線的離以此時(shí)雙曲線的方程1,故C正確；D選項(xiàng)，若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則a=2,所以b2=c2-a2=21,此時(shí)雙曲線的方程1,故D錯(cuò)誤.故.準(zhǔn)方程’故所求雙曲線的標(biāo)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解雙曲線的幾何性質(zhì).角度1漸近線和離心率 半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,則有a2=m=3,b2=1,所以雙曲線的角度2雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用焦點(diǎn)，過(guò)Fi的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B,若AFil=2a,,則OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQl=|OF],則C的離()B.√3D.√5因?yàn)椤蔬xB即,所以點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)均即,所以c2=2ab,即a2+b2-2ab=(a-b)2=0,所以a=b,①求出a,b,c直接求離心率e,寫漸近線方程.②列出a,b,c的齊次方程(或不等式),然后解方程或不等式.(2)雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用要充分注意與平面幾何知識(shí)的聯(lián)系，善于件中的相等或不等關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1.已知雙曲,b>0)的焦距為4√2,且兩條漸近線互相垂2.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且AB|=4IOF(O為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()解析：選D.由題意，可得F(1,0),直線l的方程為x=-1,雙曲線的漸近對(duì)值均,即b=2a,b2=4a2,故雙曲線的離心率e=與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)點(diǎn)T在直線,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,所以點(diǎn)M的軌跡C是以Fi,F?分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支.所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為(2)設(shè),由題意可知直線AB,PQ的斜率均存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,直線PQ的方程為k?≠0),設(shè)A(xA,yA),B(XB,yB),易知16-kf≠0,所以k3-16+kfk3-16ki=k+-16+kfk3-kf故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.解題技巧=3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值.設(shè)A(x?,2xi),B(x2,-2x2).消去y化簡(jiǎn)得3x2-2mx-m2=0.由△=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.因?yàn)?OA.OB=x?x?+(2xi):( 課后達(dá)標(biāo)一檢測(cè)解析：選B.根據(jù)雙曲線的定義，得IIPF?I-IPFiIl=2×3=6,所以IIPF2I-3|2.已知雙曲紂的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo).C.D.所以為A,B,點(diǎn)P為雙曲線上除A,B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A,B連線的斜率分別為k,k?,若kk?=3,則雙曲線的漸近線方程為()解析：選C.設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意知所以其漸近線方程為y=±√3x,故選C.y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為L(zhǎng).若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()解析：選D.方法一：由題知y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則過(guò)焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線方程為,i的漸近線方程),由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a=1,b=1,故選D.為x±y=0,排除B,C.又知y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),l過(guò)點(diǎn)(1,0),(0,b),所1,b=1,故選D.6.已知離心率的雙曲線C:,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F?,M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF?,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF?=16,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是()解析：選B.由題意知F?(c,0),不妨令點(diǎn)M在漸近線上，由題意可ab=32,又a2+b2=c2,,所以a=8,b=4,c=4√5,所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.A.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓，其半徑為√nC.若mn<0,則C是雙曲線，其漸近線方程D.若m=0,n>0,則C是兩條直線解析：選ACD.對(duì)于A,若m>n>0,則mx2+ny2=1可化1,即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B,若m=n>0,則mx2+ny2=1可化為’此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為圓，故B不正確；對(duì)于C,若mn<0,則mx2+ny2=1可化；1,此時(shí)曲線C表示雙曲線.線對(duì)于D,若m=0,n>0,則mx2+ny2=1可化為',此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確.故選ACD.解析：由雙曲線的性質(zhì)知c2=a2+b2=4+5=9,坐標(biāo)為(3,0),所以雙曲線的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0則c=3,雙曲線右焦點(diǎn)的的距離即x6-3+yi<0.所1,即x6=2+2y6,所以2+2y6-3+y6<0,所B.以F?F?為直徑的圓的方程為x2+y2=1解析：選ACD.等軸雙曲線C:y2-x2=1的漸近線方程為y=±x,故A正確；由雙曲線的方程可知|F?F2|=2√2,所以以F?F?為直徑的圓的方程為x2+y2=2,故B錯(cuò)誤；點(diǎn)P(xo,yo)在圓x2+y2=2上，不妨設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)在直線y=x上，所解得|xol=1,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1,故C正確；由上述分析可,故D正確.故選ACD.y=x與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，且四邊形PFiQF2為矩形，則雙曲線的離心率解析：由題意可得，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，將直線y=x代入雙曲線C的方右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為B,且直線AB的斜率,則C的離心率為解析：把x=c又A(-a,0),,,14.(2022·臨川一中模擬)是虛軸的上端點(diǎn)，若在線段BF上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)P(i=1,2),使得PA·PA?=0,則雙曲線離心率的取值范圍是解析：設(shè)c為半焦距，則F(c,0),又B(0,b),所以BF:bx+cy-bc=0,以A?A?為直徑的圓的方程為◎O:x2+y2=a2,所以◎O與線段BF有兩個(gè)交點(diǎn)(不含端點(diǎn)),[C素養(yǎng)提升]焦點(diǎn)分別為Fi,F?,其右支上存在一點(diǎn)M,使得Mi·