2022-2023學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市北港鄉(xiāng)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市北港鄉(xiāng)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，其中是集合的非空真子集的個(gè)數(shù)，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.設(shè)，為單位向量，若向量滿足|﹣（+）|=|﹣|，則||的最大值是(

)A．1 B． C．2 D．2參考答案：D考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用．分析：由向量滿足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥，即．當(dāng)且僅當(dāng)||=|﹣|即時(shí)，．即可得出．解答：解：∵向量滿足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．當(dāng)且僅當(dāng)||=|﹣|即時(shí)，=2．∴．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量模的運(yùn)算性質(zhì)、向量的平行四邊形法則及其向量垂直，屬于難題．3.（5分）等差數(shù)列{an}中，a6=2，S5=30，則S8=（）A．31B．32C．33D．34參考答案：B【考點(diǎn)】：等差數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：由S5=30求得a3=6，再由S8==4（a3+a6），運(yùn)算求得結(jié)果．解：∵a6=2，S5=30==5a3，∴a3=6．故S8==4（a3+a6）=32，故選B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用性質(zhì)，可有效地簡(jiǎn)化計(jì)算．利用了若{an}為等差數(shù)列，當(dāng)m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時(shí)，am+an=ap+aq，屬于中檔題．4.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]時(shí)，f（x）=|x|，則y=f（x）與y=log7x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先根據(jù)函數(shù)的周期性畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，再畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log7x的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：∵f（﹣x+2）=f（﹣x），可得f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）為以2為周期的周期函數(shù)，又∵x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）=|x|，∴函數(shù)f（x）的圖象如圖，函數(shù)y=log7x的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合可得交點(diǎn)共有6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，函數(shù)周期性及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題時(shí)要準(zhǔn)確推理，認(rèn)真畫(huà)圖，屬于中檔題．5.復(fù)數(shù)z滿足?（1+2i）=4+3i，則z等于(

) A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．解答： 解：∵?（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．6.某汽車(chē)運(yùn)輸公司，購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，則每?jī)煽蛙?chē)營(yíng)運(yùn)多少年，其運(yùn)營(yíng)的年平均利潤(rùn)最大()A．3

B．4C．5

D．6參考答案：C略7.六名運(yùn)動(dòng)員站在6條跑道上準(zhǔn)備參加比賽,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道,乙必須站在第五道或第六道,則不同排法種數(shù)為

（

）

A.144

B.96

C.72

D.48參考答案：A8.若，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，由誘導(dǎo)公式得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C

圓心為（-1,2），代入直線方程得：

故：10.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任意給定的a，b∈R，a*b為惟一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：①對(duì)任意a，b∈R，a*b＝b*a；②對(duì)任意a∈R，a*0＝a；③對(duì)任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.關(guān)于函數(shù)f(x)＝(3x)*的性質(zhì)，有如下說(shuō)法：①函數(shù)f(x)的最小值為3；②函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)．其中所有正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1

C．2 D．3參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是

.參考答案：12.某次考試的第二大題由8道判斷題構(gòu)成，要求考生用畫(huà)“√”和畫(huà)“×”表示對(duì)各題的正誤判斷，每題判斷正確得1分，判斷錯(cuò)誤不得分.請(qǐng)根據(jù)如下甲，乙，丙3名考生的判斷及得分結(jié)果，計(jì)算出考生丁的得分．

第1題第2題第3題第4題第5題第6題第7題第8題得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁得了_______________分．參考答案：6【知識(shí)點(diǎn)】合情推理與演繹推理【試題解析】因?yàn)橛梢阎玫?、4題應(yīng)為一對(duì)一錯(cuò)，所以丙和丁得分相同

所以，丁的得分也是6分。

故答案為：613.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，則曲線

交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

參考答案：【解析】我們通過(guò)聯(lián)立解方程組解得,即兩曲線的交點(diǎn)為.答案：14.已知=

.參考答案：因?yàn)椋畹?，由兩式相減得，即，所以是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以?5.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，，則A=_______________.參考答案：略16.正四面體A—BCD的所有棱長(zhǎng)均為12，球O是其外接球，M，N分別是△ABC與△ACD的重心，則球O截直線MN所得的弦長(zhǎng)為_(kāi)__________．參考答案：正四面體可補(bǔ)全為棱長(zhǎng)為的正方體，所以球是正方體的外接球，其半徑，設(shè)正四面體的高為，則，故，又,所以到直線的距離為，因此球截直線所得的弦長(zhǎng)為.17.在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC．拓展到空間，在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在面BCD內(nèi)，類(lèi)比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關(guān)系為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于點(diǎn)A，B，且|AB|=，求直線的傾斜角α的值．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）根據(jù)基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將代入圓的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，得出關(guān)于t的方程，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，利用韋達(dá)定理得出t2t1，t1+t2的值，利用它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可求出AB，繼而求出α．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）將代入圓的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化簡(jiǎn)得t2﹣2tcosα﹣3=0．設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1+t2=2cosα，t1t2=﹣3，∴|AB|==．∴4cos2α=2，解得cosα=±，可得直線l的傾斜角α=或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化，注意運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，注意參數(shù)t的幾何意義，屬于中檔題．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C與直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且平行于直線l的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，求的值.參考答案：（Ⅰ）曲線C的直角坐標(biāo)方程：，直線的直角坐標(biāo)方程：.（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程兩邊平方后相加，求得對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程.利用求得直線的直角坐標(biāo)方程.（Ⅱ）設(shè)出直線的參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)的幾何意義結(jié)合以及判別式，求得的值.【詳解】解：（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程：，直線的直角坐標(biāo)方程：.（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線為：（為參數(shù)），由直線與曲線相交可得：.因?yàn)?，所以，，又，所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.20.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．參考答案：

略21.如圖所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且，，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.參考答案：(1)見(jiàn)解析(2)試題分析：（1）（方法一）過(guò)E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可證明EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得,所以，因此,從而得；（2）（方法一）在圖1中，過(guò)O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF，因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在圖2中，平面BFC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BEF的法向量，又,由得其中一個(gè)，設(shè)二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）證明：（方法一）過(guò)E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,從而，所以.（2）（方法一）在圖1中，過(guò)O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF.因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值為.（方法二）在圖2中，平面BFC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BEF的法向量，又,由得其中一個(gè)，設(shè)二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值為.考點(diǎn)：1.線面垂直的判定；2.二面角.22.如圖，海上有兩個(gè)小島相距10，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿方向駛至處進(jìn)行作業(yè)，且．設(shè)。（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；（2）晚上