安徽省六安市方坪中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

安徽省六安市方坪中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，則實(shí)數(shù)m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2}參考答案：C【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】由A∩B=B，得B?A，然后利用子集的概念求得m的值．【解答】解：∵A∩B=B，∴B?A．當(dāng)m=0時，B={1，0}，滿足B?A．當(dāng)m=2時，B={1，2}，滿足B?A．∴m=0或m=2．∴實(shí)數(shù)m的值為0或2．故選：C．2.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=叫做曲線在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”．設(shè)曲線y=ex上不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜3恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用φ（A，B），由分離參數(shù)法，可得t＜恒成立，求得右邊的范圍或最值，即可得到t的范圍．【解答】解：y=ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex，φ（A，B）===＞0，可得==＞1，t?φ（A，B）＜3恒成立，則t＜恒成立，由＞3，即有t≤3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.已知等比數(shù)列滿足＞0，＝1,2，…，且，則當(dāng)≥1時，＝

（

）A．n(2n－1)

B．(n＋1)2

C．n2

D．(n－1)2參考答案：A4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則的最小值是(

) A．4﹣2 B．+1 C．﹣1 D．參考答案：C考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值；向量的模．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；直線與圓．分析：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則由動點(diǎn)P滿足||=1可得圓C：x2+（y+2）2=1．根據(jù)|++|=，表示點(diǎn)P（xy）與點(diǎn)M（﹣，﹣1）之間的距離．顯然點(diǎn)M在圓Cx2+（y+2）2=1的外部，求得MC的值，則|MC|﹣1即為所求．解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則由動點(diǎn)P滿足||=1可得x2+（y+2）2=1．根據(jù)++的坐標(biāo)為（+x，y+1），可得|++|=，表示點(diǎn)P（xy）與點(diǎn)M（﹣，﹣1）之間的距離．顯然點(diǎn)M在圓C：x2+（y+2）2=1的外部，求得|MC|=，|++|的最小值為|MC|﹣1=﹣1，故選C．點(diǎn)評：本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求向量的模，屬于中檔題．5.全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合M＝{2,3,5},N＝{4,5},則?U(M∪N)=

(

)A．{1,3,5}

B．{2,4,6}

C．{1,5}

D．{1,6}參考答案：D略6.己知三棱錐A﹣BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為．BC=4，BD=，∠CBD=90°，則球O的表面積為（）A．11π B．20π C．23π D．35π參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】先利用體積，求出A到平面BCD的距離，可得O到平面BCD的距離，再利用勾股定理，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：由題意，設(shè)A到平面BCD的距離為h，則∵該三棱錐的體積為．BC=4，BD=，∠CBD=90°，∴××4×h=，∴h=2，∴O到平面BCD的距離為1，∵△BCD外接圓的直徑BD=，∴OB==，∴球O的表面積為4π×=23π．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題，確定球的半徑是正確解題的關(guān)鍵．7.下列命題中，真命題的是A．B．C．的充要條件是D．若，且，則x,y中至少有一個大于1參考答案：D8.已知是單位圓上（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O）任意一點(diǎn)，且射線OA繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)30°到OB交單位圓于點(diǎn)的最大值為

A．

B．

C．1

D．

參考答案：9.實(shí)數(shù)滿足，則對于①；②；③中可能成立的有（

）A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：C略10.設(shè)則（

）

A．都不大于

B．都不小于

C．至少有一個不大于

D．至少有一個不小于

參考答案：D

解析：，三者不能都小于二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數(shù)”，[a，b]稱為“k度密切區(qū)間”．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，則m的取值范圍是．參考答案：﹣1≤m≤1+e【考點(diǎn)】：函數(shù)的值域．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：由“e度和諧函數(shù)”，得到對任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化簡整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，∴對任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1時，h′（x）＞0，x＜1時，h′（x）＜0，x=1時，h（x）取極小值1，也為最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案為：﹣1≤m≤1+e【點(diǎn)評】：本題考查新定義及運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，是一道中檔題．12..某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和生物4個學(xué)科中隨機(jī)選擇2個，則數(shù)學(xué)被選中的概率為

.參考答案：13.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),且點(diǎn)在曲線上，其中，則的最小值為___________________.參考答案：14.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為

．參考答案：3可行域如圖所示的三角形區(qū)域，設(shè)，而的幾何體意義表示動直線在軸上的截距，由圖知，當(dāng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時，取得最小值，故答案為.

15.要得到的圖象，則需將的圖像

至少向左平移

個單位即可得到。參考答案：略16.若命題“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

。參考答案：17.是拋物線上一點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),則

．參考答案：45°由拋物線的對稱性不妨設(shè)，則，得，法一：，在中，，所以.法二：因?yàn)?，所以，可得，，所?

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列a1,a2,…,a2015滿足性質(zhì)P：，．(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差數(shù)列，求an；(ⅱ)是否存在具有性質(zhì)P的等比數(shù)列a1,a2,…,a2015？(Ⅱ)求證：．參考答案：(Ⅰ)（?。┰O(shè)等差數(shù)列a1,a2,…,a2015的公差為d，則．由題意得，所以，即．當(dāng)d=0時，a1=a2=…=a2015=0，所以與性質(zhì)P矛盾；當(dāng)d>0時，由，，得，．所以．當(dāng)時，由，，得，．所以．綜上所述，或．（ⅱ）設(shè)a1,a2,…,a2015是公比為的等比數(shù)列，則當(dāng)時，，則，與性質(zhì)P矛盾.當(dāng)時.與性質(zhì)P矛盾.因此不存在滿足性質(zhì)P的等比數(shù)列a1,a2,…,a2015．(Ⅱ)由條件知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j)．設(shè)為所有ai中大于0的數(shù)，為所有ai中小于0的數(shù)．由條件得a+a+…+a=，a+a+…+a=-．所以．19.(本小題滿分15分)如圖，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為的最大距離是，已知點(diǎn)在橢圓上，其中為橢圓的離心率。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn).證明：對任意的，點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓內(nèi)。參考答案：解：（1）由題可知，解得

橢圓的方程是

………………6分（2）令，則直線的方程為，代入整理得

對任意，點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓內(nèi)。

………………15分20.（滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如下圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點(diǎn)的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的長；（II）求證：BE＝EF．參考答案：解：（I），，…（2分）又，

，，…………（4分），

…………（5分）

（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)；

（Ⅰ）若，試求不等式的解集；

（Ⅱ）若上的最小值。參考答案：.解：是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，

………………1分（I），

………………2分在R上為增函數(shù)

………………3分原不等式分為：

…………6分

（II）即（舍去）

…………8分令則為增函數(shù)（由（I）可知），即

…………10分

…………12分22.已知函數(shù)f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）若在區(qū)間（0，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間[1，e]上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．解：（I）因?yàn)?，?dāng)a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘極小值↗所以x=1時，f（x）的極小值為1．f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（II）因?yàn)椋襛≠0，令f'（x）=0，得到，若在區(qū)間[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0即可．（1）當(dāng)a＜0時，f'（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，故f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，由，得，即（2）當(dāng)a＞0時，①若，則f'（x）≤0對x∈[1，e]成立，所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，顯然，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0不成立②若，即1＞時，則有xf'（x）﹣0+f