工程和分配問題（二元一次方程組的應用）（解析版）-2023學年七年級數(shù)學下冊壓軸題匯編（湘教版）

2022-2023學年湘教版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷

專題04工程和分配問題（二元一次方程組的應用）

評卷人得分

----------------一、選擇題（每題2分，共20分）

1.（本題2分）（2022秋?全國?八年級專題練習）某污水處理廠庫池里現(xiàn)有待處理的污水加噸.另有從

城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時〃噸的定流量增加）.若該廠同時開動2臺機組，需30

小時處理完污水；若同時開動3臺機組，需15小時處理完污水.若5小時處理完污水，則需同時開動的

機組數(shù)為（）

A.6臺B.7臺C.8臺D.9臺

【答案】B

【思路點撥】設同時開動X臺機組，每臺機組每小時處理a噸污水，根據(jù)“如果同時開動2臺機組要30

小時剛好處理完污水，同時開動3臺機組要15小時剛好處理完污水”，即可得出關于加，〃的二元一次方

程組，解之即可得出勿，〃的值（用含a的代數(shù)式表示），再由5小時內(nèi)將污水處理完畢，即可得出關于關

于X的一元一次方程，解之可得出結論.

【規(guī)范解答】解：設同時開動X臺機組，每臺機組每小時處理a噸污水,

2×30w=m+30/?

依題意，得

3×15Λ=W+15Π

m=30a

解得:

V5aΛ=30a+5a,

ΛΛ=7.

答：要同時開動7臺機組.

故選：B.

【考點評析】本題考查的是用二元一次方程組來解決實際問題，正確的理解題意是解題的關鍵.

2.（本題2分）（2022春?黑龍江大慶?九年級?？茧A段練習）某單位采購小李去商店買筆記本和筆，他

先選定了筆記本和筆的種類，若買25本筆記本和30支筆，則他身上的錢缺30元：若買15本筆記本和40

支筆，則他身上的錢多出30元.（）

A.若他買55本筆記本，則會缺少120元B.若他買55支筆，則會缺少120元

C.若他買55本筆記本，則會多出120元D.若他買55支筆，則會多出120元

【答案】D

【思路點撥】設筆記本的單價為X元，筆的單價為y元，根據(jù)小李身上的總額列出方程，然后變形即可求

解.

【規(guī)范解答】設筆記本的單價為X元，筆的單價為y元，根據(jù)題意得：

25x+30y-30=15x+40y+30

整理得：10χ-l0y-60,即χ-y=6

.?.25ΛT+30（X-6）-30=55X-210,即買55個筆記本缺少210元

25（y+6）+3Oγ-3O=55y+12O,即買55支筆多出120元

故選D

【考點評析】本題考查了二元一次方程組，根據(jù)題意列出等量關系然后進行推導是本題的關鍵.

3.（本題2分）（2022?廣西?校聯(lián)考一模）大課間，12人跳繩隊為尊重每個隊員的意愿，準備把隊員分

成跳大繩組或跳小繩組，大繩組3人一組，小繩組2人一組，在全隊同學能同時參加活動且符合小組規(guī)定

人數(shù)的前提下，則不同的分組方法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【思路點撥】根據(jù)全隊12人同時參加活動且符合小組規(guī)定的人數(shù)，則大繩組有0組、兩組或四組，故有

三種分組方法.

【規(guī)范解答】解：???全隊12人同時參加活動且符合小組規(guī)定的人數(shù)，且大繩組3人一組，小繩組2人一

組，

???12是偶數(shù)，2的倍數(shù)也是偶數(shù)，

又Y偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，

.?.大繩組人數(shù)必須為偶數(shù)，

即大繩組有0組、兩組或四組三種分組情況，

故選：C.

【考點評析】本題主要考查排列與組合和自然數(shù)奇偶性知識，根據(jù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)來確定大繩組的組數(shù)

是解題的關鍵.

4.（本題2分）（2022秋?八年級課時練習）為響應“科教興國”的戰(zhàn)略號召，某學校計劃成立創(chuàng)客實驗

室，現(xiàn)需購買航拍無人機和編程機器人，已知購買2架航拍無人機和3個編程機器人所需費用相同，購買

4個航拍無人機和7個編程機器人共需3480元，設購買1架航拍無人機需X元，購買1個編程機器人需y

元，則可列方程組為（）

12x=3yJ3x=2y2x=3y3x-2y

'∣4x+7y=3480'∣4x+7y=3480

7χ+4y=34807χ+4y=3480

【答案】A

【思路點撥】根據(jù)所設未知數(shù)，利用等量關系“買2架航拍無人機和3個編程機器人所需費用相同，”與

2x=3y

“購買4個航拍無人機和7個編程機器人共需3480元，”可得方程組

4x+7y=3480

【規(guī)范解答】解：已知設購買1架航拍無人機需X元，購買1個編程機器人需y元,

根據(jù)2架航拍無人機費用=3個編程機器人所需費用，可列方程為：2下3%

根據(jù)4個航拍無人機費用+7個編程機器人費用=3480元，可列方程為4戶7*3480,

聯(lián)立方程得方程組為匿晨480

故選擇：A.

【考點評析】本題考查列方程組解應用題，掌握列方程組的方法，抓住等量關系2架航拍無人機費用=3個

編程機器人費用，4個航拍無人機費用+7個編程機器人費用=3480元，列方程組是解題關鍵.

5.（本題2分）（2023秋?安徽安慶?七年級統(tǒng)考期末）某工廠現(xiàn)有95個工人，一個工人每天可做8個螺

桿或22個螺母，兩個螺母和一個螺桿為一套，現(xiàn)在要求工人每天做的螺桿和螺母完整配套而沒有剩余,

若設安排X個工人做螺桿，y個工人做螺母，則列出正確的二元一次方程組為（）

?x+y=95x+y=95

[8x-22y=O4x-22y=0

,∫χ+y=95x+y=95

[?6x-22y=016x-llγ=0

【答案】C

【思路點撥】設安排X個工人做螺桿,y個工人做螺母，根據(jù)“工廠現(xiàn)有95個工人”和“一個工人每天可

做8個螺桿或22個螺母,兩個螺母和?個螺桿為?套”列出方程組即可.

【規(guī)范解答】設安排X個工人做螺桿，y個工人做螺母,

x+y=95x+y=95

由題意得:即

2χ8x=22y16x-22y=0

故選：C.

【考點評析】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是弄清題意，找出合適的等量關

系，列出方程組.

6.（本題2分）（2022秋?八年級課時練習）“某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板做成如圖乙所示

的4、8兩種長方體形狀的無蓋紙盒.現(xiàn)有正方形紙板120張，長方形紙板360張，剛好全部用完，問

能做成多少個A型盒子？”則下列結論正確的個數(shù)是（)

甲（.r型盒）乙（3型盒）

①甲同學：設A型盒子個數(shù)為X個，根據(jù)題意可得：4%+3=360

②乙同學：設B型盒中正方形紙板的個數(shù)為m個，根據(jù)題意可得：3?y+4（120-R）=360

③A型盒72個

@B型盒中正方形紙板48個

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【思路點撥】根據(jù)題意可知，A型紙盒需要4個長方形紙板，1個正方形紙板，B型紙盒需要3個長方形紙

板和2個正方形紙板，設A型盒子個數(shù)為X個，可得A型紙盒需要長方形紙板的數(shù)量和B型紙盒需要長方

形紙板的數(shù)量，可列出方程對①進行判斷；設8型盒中正方形紙板的個數(shù)為勿個，可得B型紙盒需要長方

形紙板的數(shù)量和A型紙盒需要長方形紙板的數(shù)量，可列出方程對②進行判斷；設做A型盒子用了正方形紙

板X張，做B型盒子用J'正方形紙板y張，則可得A型盒子X個，B型盒子y個，根據(jù)長方形紙板360

張，正方形紙板120張，可得出方程組，求出A型紙盒和B型紙盒的數(shù)量可對③④進行判斷.

【規(guī)范解答】設4型盒子個數(shù)為X個，則A型紙盒需要長方形紙板4x張，正方形紙板X張，由于制作一

個B型紙盒需要兩張正方形紙板，因此可得B型紙盒的數(shù)量為曾個，需要長方形紙板3><W?,

因此可得4x+3月心=360,故①正確;

設B型盒中正方形紙板的個數(shù)為m個，則B型紙盒有3個，需要長方形紙板3X￡個，A型紙盒有（120-

m）個，則需長方形紙板4（120-m）個，所以可得方程3X^177+4（120-m）=120,故②正確;

設做A型盒子用了正方形紙板X張，做B型盒子用了正方形紙板y張，則有,

x+2y=120

4x+3y=360

X=72

解得,

y=24

即，A型紙盒有72個，B型紙盒有24個，所以B型盒中正方形紙板48個

故③?正確.

故選D.

【考點評析】本題考查了列一元一次方程和二元一次方程組的應用，解答本題時注意無蓋盒子中的長方形

及正方形的個數(shù)之間的關系是解答的關鍵.

7.（本題2分）（2020春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）某車間有60名

工人生產(chǎn)太陽鏡，1名工人每天可生產(chǎn)鏡片200片或鏡架50個.應如何分配工人生產(chǎn)鏡片和鏡架，才能使

產(chǎn)品配套？設安排X名工人生產(chǎn)鏡片，y名工人生產(chǎn)鏡架，則可列方程組（）

∫x+y=60JX+y=60∫x+y=60JX+y=60

A，[200x=2x5Oyθ[200x=50yɑ∣50x=200y?-[2×200x=50y

【答案】A

【思路點撥】等量關系為：生產(chǎn)鏡片工人數(shù)量+生產(chǎn)鏡架工人數(shù)量=60,鏡片數(shù)量=2義鏡架數(shù)量，把相關數(shù)

值代入即可求解.

【規(guī)范解答】解：設安排X名工人生產(chǎn)鏡片，y名工人生產(chǎn)鏡架，

fx+y=60

由題意，得LC?力

[200x=2×50y

故選:Λ.

【考點評析】考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解決本題的關鍵是得到鏡片數(shù)量和鏡架數(shù)量的等

量關系.

8.（本題2分）（2020春?河南信陽?七年級統(tǒng)考期末）某工廠有工人35人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個

螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓16個或螺母24個，應分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能

使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？設生產(chǎn)螺栓的有X人，生產(chǎn)螺母的有y人，則可以列方程組（）

Jx+y=35JX+y=35?x+y=35?x+y=35

?'116x=24yB'[24x=16yɑ'jl6x=2x24yθ'[2×16x=24y

【答案】D

【思路點撥】首先設X人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母剛好配套，利用工廠有工人35人，每人每天生產(chǎn)螺栓

16個或螺母24個，進而得出等式求出答案.

【規(guī)范解答】設X人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母剛好配套，

[x+y=35

據(jù)題意可得，?,/?..

[2xl6x=24y

故選D.

【考點評析】此題主要考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題意正確得出等量關系是解題關鍵.

9.（本題2分）（2022秋?八年級課時練習）某市準備對一段長120m的河道進行清淤疏通，若甲工程隊先

用4天單獨完成其中一部分河道的疏通任務，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要9天；若甲工程隊單

獨工作8天，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要3天；設甲工程隊平均每天疏通河道Xm,乙工程隊

平均每天疏通河道ym,則（x+y）的值為（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】D

【規(guī)范解答】設甲工程隊平均每天疏通河道Xm,乙工程隊平均每天疏通河道ym,則

4x+9y=120X=I2

解得:則x+y=2Q.

8x+3y=120'y=8

故選D.

10.（本題2分）（2019秋?全國?八年級專題練習）市南區(qū)某校八年級學生到學農(nóng)基地進行學農(nóng)實踐活

動，已知基地有兩種類型的學生宿舍，大宿舍每間可住14人，小宿舍每間可住8人，大宿舍的間數(shù)比小

宿舍的2倍還多1∣'B].該校320個學生恰好住滿這些宿舍，求大、小宿舍各有多少間？若設大宿舍有X

間，小宿舍有y間，則由題意可列方程為（）

∫2x-y=lf2γ-x=lC?x-x=2y[χ-2y=l

'∣14x+8γ=32O'[8x+14y=320'∣8x+14y=320'∣14x+8.y=320

【答案】D

【思路點撥】設大宿舍有X間，小宿舍有y間，根據(jù)“大宿舍的間數(shù)比小宿舍的2倍還多1間”，得到一

個關于X和y的二元一次方程，根據(jù)“大宿舍每間可住14人，小的每間可住8人，該校320個學生恰好

住滿這些宿舍”，得到第二個關于X和y的二元一次方程，兩方程聯(lián)立，即可得到答案.

【規(guī)范解答】設大宿舍有X間，小宿舍有y間，

???大宿舍的間數(shù)比小宿舍的2倍還多1間，

.?.χ-2y=l,

大宿舍每間可住14人，小的每間可住8人，該校320個學生恰好住滿這些宿舍,

Λ14x+8y=320,

fx-2y=1

兩方程聯(lián)立得：,.?”八，

[14x+8qy=320

故選D.

【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確找出實際問題中的等量關系是解題的關

鍵.

評卷人得分

-----------------二、填空題（共20分）

11.（本題2分）（2023春?七年級課時練習）某車間有6（）名工人，每人平均每天可加工螺栓14個或螺母

20個，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1個螺栓配2個螺母），設應分配X人生產(chǎn)螺母，y人生產(chǎn)螺栓,

依題意列方程組得

x+y=60

【答案】

20X=2×14y

【思路點撥】根據(jù)車間有60名工人，每人平均每天可加工螺栓14個或螺母20個，要使每天加工的螺栓和

螺母配套（1個螺栓配2個螺母），即可列出二元一次方程組.

【規(guī)范解答】解：設應分配X人生產(chǎn)螺母，y人生產(chǎn)螺栓,

X+y=60

依題意，得

20x=2×14γ

X+y=60

故答案是:

20x=2×14y

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應用，理解題意，正確列出二元一次方程組是解決本題的關

鍵.

12.（本題2分）（2020春?云南昆明?七年級統(tǒng)考期末）用1塊A型鋼板可制成4件甲種產(chǎn)品和1件乙種產(chǎn)

品；用1塊8型鋼板可制成3件甲種產(chǎn)品和2件乙種產(chǎn)品;要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45件，乙種產(chǎn)品25件，則恰好需

用48兩種型號的鋼板共塊.

【答案】14

【思路點撥】設需用A型鋼板X塊，B型鋼板y塊，然后根據(jù)題意列出關于x、y的二元一次方程組，求得

x、y的值，最后再求x+y即可.

【規(guī)范解答】解：設需用A型鋼板X塊，B型鋼板y塊

（4x+3y=45fx=3

根據(jù)題意得：c.一,解得

[x+2y=25[y=U11

則x+y=3+ll≈14.

故答案為14.

【考點評析】本題考查了二元?次方程組的應用，找準等量關系并列出二元一次方程組是解答本題的關

鍵.

13.（本題2分）（2022春?重慶?八年級重慶第二外國語學校校考期中）受新冠肺炎疫情的影響，人們對

病毒的防范意識加強，市面上的洗手液也備受歡迎，小王計劃購進4型、6型、C型三種洗手液共60箱，

其中B型洗手液數(shù)量不超過4型洗手液數(shù)量，且B型洗手液數(shù)量不少于C型洗手液數(shù)量的已知4型洗

手液每箱90元，B型洗手液每箱120元，C型洗手液每箱150元.在價格不變的條件下，小王實際購進4

4

型洗手液是計劃的二倍，C型洗手液購進了15箱，結果小王實際購進三種洗手液共40箱，且比原計劃少

支付2700元，則小王實際購進B型洗手液箱.

【答案】9

【思路點撥】設小王計劃購進｛型洗手液X箱，6型洗手液y箱，則計劃購進C型洗手液（60個-0箱，實

際購進/1型洗手液BX箱，6型洗手液（40-15-*x）箱，根據(jù)實際比原計劃少支付2700元，即可得出關于

X,y的二元一次方程，結合X,y均為正整數(shù)即可得出力y的值，再由Hχ,71（60-*一/可確定筋

y的值，據(jù)此即可求出結果.

【規(guī)范解答】解：設小王計劃購進/1型洗手液X箱，6型洗手液y箱，則計劃購進C型洗手液（60f-r）

箱，實際購進力型洗手液IX箱，6型洗手液（40-15-2x）箱，

依題意，得：‰+120y+150（60-x-y）-90×∣x+120×^40-15-→^∣+150×15=2700

整理，得：6戶5片175,

.,.y=3CU5——6X,

5

?.,x，y均為正整數(shù)，

???x為5的倍數(shù)，

.卜=5Jx=IO卜=15Jx=20∫x=25

**[y=29,Iy=23，[y=17,[y=?it[y=5，

又:y≤X,>???§（6°~^x~~y）,

,產(chǎn),

Iy=Il

44

二40-15——x=40-15——×20=9,

55

.?.小王實際購進B型洗手液9箱，

故答案為：9.

【考點評析】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

14.（本題2分）（2023春?浙江?七年級專題練習）甲、乙、丙三人在/、6兩塊地植樹，其中甲在｛地

植樹，丙在8地植樹，乙先在力地植樹，然后轉(zhuǎn)到B地.已知甲、乙、丙每小時分別能植樹10棵，8棵,

12棵.若乙在月地植樹12小時后立即轉(zhuǎn)到6地，則兩塊地同時開始同時結束；若要兩塊地同時開始，但

/地比8地早6小時完成，則乙應在/地植樹小時后立即轉(zhuǎn)到6地.

【答案】17

【思路點撥】先設A地需要植樹X棵，B地需要植樹>棵，根據(jù)題意可建立方程XT,

化筒可得y=2x-288,再設乙應在A地植樹f小時后立即轉(zhuǎn)到B地，要兩塊地同時開始，但A地比B地早6

小時完成，可構建萬程——-~A+6=―五/一，求f即可得出答案.

【規(guī)范解答】設A地需要植樹1棵，B地需要植樹y棵，由題可得：

12（10+8）y-12xl2

~^1012÷8,

.?.y=2x-288,

設乙應在A地植樹，小時后立即轉(zhuǎn)到B地，由題可得：

Klo+8）/2x-288-12r

+6=,

10------------12+8

化簡得：2x-36f+120=2x-288-12r,

解得：r=17.

故答案為：17.

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的解法及應用，恰當設出未知數(shù)，解題關鍵在于根據(jù)題意找出等

量關系式進行求解.

15.（本題2分）（2023春?浙江?七年級專題練習）一水池有一個進水管和三個完全相同的出水管，現(xiàn)水

池中有一定量的水，打開進水管（注水速度一致），若只打開一個出水管，則1小時正好能把水池中的水

放完；若打開兩個出水管，則20分鐘正好能把水池中的水放完；問若打開三個出水管，則需要

分鐘恰好能把水池中的水放完.

【答案】12

【思路點撥】設進水管的進水速度為X，每一個出水管的出水速度為y，水池中原有水量為a,根據(jù)題意列

方程組求解

【規(guī)范解答】解：設進水管的進水速度為X,每一個出水管的出水速度為y,水池中原有水量為a,由題意

可得：

α+l?x=l?y

x=a

<11C,解得：

67+—X=-XZVy=2a

I33

設打開三個出水管需要6小時能把水池中的水放完，則

a+xb=b?2>y

,a=:時分

b=?-------=12

3y-x3×Ia-a

故答案為：12

【考點評析】本題考查二元一次方程組的應用，理解題意，正確列出等量關系求解是關鍵.

16.（本題2分）（2022?全國?九年級專題練習“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理

念，我區(qū)政府部門決定由甲、乙、丙三個工程隊負責完成一條總工作量為a的公園改造的施工任務.經(jīng)過

一段時間，甲、乙、丙三個工程隊完成的工程量之比是3:4:5為更合理的分任務，經(jīng)測算，將剩余工程量

的弓交給了丙隊，其余工程量由甲、乙兩個工程隊共同完成，乙工程隊再工作一段時間后因另有任務先離

Io

19

開.工程結束時發(fā)現(xiàn)，丙隊完成的工程量占總工程量的甲、乙兩隊完成其余工程的工程量之比為

40

4:3.則乙隊完成的工程量與總工程量之比是：.

【答案】11:40.

【思路點撥】設一開始甲、乙、丙三個工程隊完成的工程量為b,則剩余工程量為a-b,然后表示出丙隊

完成的工程量，根據(jù)丙隊完成的工程量占總工程量的三19列出等式，從而得到a與b的數(shù)量關系，再表示

出乙隊完成的工程量，把a與b的數(shù)量關系代入計算即可.

【規(guī)范解答】解：設一開始甲、乙、丙三個工程隊完成的工程量為b,則剩余工程量為a-b,

Q5

?*?l?j隊完成的工程量為正（〃-8）+百人，

3

解得，b=Q,

4733

乙隊?開始完成的工程量為二。，后來完成的工程量為77（α-8）xj=%（0-3,

12Io716

乙隊完成的工程量為白匕+尚（。-。）=白乂]+24-]]=2；0，

12IoIZ?Io??√4U

.?.乙隊完成的工程量與總工程量之比是11:40.

故答案是：11:40.

【考點評析】本題考查工程問題，考查學生分析解決問題的能力，正確求出一開始完成的工程量與總工程

量的數(shù)量關系是關鍵.

17.（本題2分）（2022春?安徽蕪湖?七年級?？计谀┳詠硭畯S的供水池有7個進出水口，每天早晨6

點開始進出水，且此時水池中有水15%,在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個

出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿.若某一天早晨6點時水池

中有水24%,又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經(jīng)過一小時水池的水

剛好注滿.

【答案】jy?

【思路點撥】設每個進水口每小時進水量為X,每個出水口每小時出水量為y,根據(jù)題意，可得出關于X,

1-24%

y的二元一次方程組，解之即可得出X,y的值，再將其代入L1中即可求出結論.

5x-2y

【規(guī)范解答】設每個進水口每小時進水量為X,每個出水口每小時出水量為y,

5(3x-4>?)=l-15%

依題意，得:

2(4x-3y)=l-15%

∫x=0.I7

解得:Iy=O.085

1-24%_38

3x-2y-Γ7

故答案為：jy.

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關

鍵.

18.（本題2分）（2020春?六年級課時練習）某校運動員分組訓練，若每組7人余3人，每組8人則缺5

人，設運動員人數(shù)為X人，組數(shù)為y組，則方程組為,運動員有人.

ly=x-3

【答案】59

8y=x+5

【思路點撥】根據(jù)題意中的兩種分法，分別找到等量關系：①組數(shù)X每組7人=總?cè)藬?shù)-3人；②組數(shù)X每

組8人=總?cè)藬?shù)+5人.

【規(guī)范解答】設運動員人數(shù)為X人，組數(shù)為y組,

ly=x-2>

列方程組為:

8y=x+5

x=59

解得:

y=8

.?.運動員人數(shù)有59人,

ly-x-3

故答案為:59.

8y=x+5

【考點評析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，理解題意得出題目當中蘊含的相等關系是解題

的關鍵.

19.（本題2分）（2023春?浙江?七年級專題練習）在學完書中例題后，小聰想用現(xiàn)有的硬紙板裁成如圖

①的長方形和正方形作為側(cè)面與底面，做成如圖②的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.已知一張硬紙板的裁剪方

式有兩種（均有余料?），方式一：裁成3個長方形與一個正方形；方式二：裁成2個長方形與2個正方

形.現(xiàn)小聰將加張硬紙板用方式一裁剪，〃張硬紙板用方式二裁剪，則

圖①圖②

（1）兩種方式共裁出長方形—張，正方形一張.（用以〃的代數(shù)式表示）

（2）當1O<M<15時，所裁得的長方形與正方形紙板恰好用完，做成的兩種無蓋紙盒一共可能是—

個.

【答案】3）m+2nm+2n12

【思路點撥】（1）根據(jù)方式一：裁成3個長方形與一個正方形：方式二：裁成2個長方形與2個正方形即

可得出結論；

（2）先根據(jù)兩種盒子所需長方形和正方形的數(shù)量之比為7：3,求出勿=4〃，m,"為正整數(shù)，且

15,得出卬=12,/7=3,再設做成豎式盒子X個，橫式盒子y個，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程

組即可.

【規(guī)范解答】解：（1）依題意得：兩種方式共裁出長方形（3加2加張，正方形（加2〃）張.

故答案為：（3研2〃）；（研2〃）；

（2）由題意得：（3肘2〃）：2n）=7：3,

解得：m=4n,

,：殖,〃為正整數(shù)，且IoV叫<15,

?*?m=12,/7—31

，兩種方式共裁出長方形3X12+2X3=42（張），正方形12+2X3=18（張），

設做成豎式盒子X個，橫式盒子y個，

f4x+3y=42

根據(jù)題意得：?√1o，

[x+2y=18

x=6

解得:

y=6

.?.做成的兩種無蓋紙盒一共可能是6+6=12（個），

故答案為：12.

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應用以及列代數(shù)式，關鍵是弄清兩種盒子所需正方形和長方形

的數(shù)量關系.

20.（本題2分）（2023秋?四川達州?八年級?？计谀榱素S富同學們的課余生活，體育委員小強到體

育用品商店購羽毛球拍和乒乓球拍，若購1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小強一共用320元購

買了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍，若設每副羽毛球拍為X元，每副乒乓球拍為y元，列

二元一次方程組為：.

x+y=50

【答案】

6x+10y=320

【思路點撥】根據(jù)"購1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元購買了6副同樣的羽毛球拍和

10副同樣的乒乓球拍"，可列出兩個方程，聯(lián)立即可得出方程組.

【規(guī)范解答】由題意知：設每副羽毛球拍為X元，每副乒乓球拍為y元，

根據(jù)購1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，

得x+y=50,

根據(jù)320元購買了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍，

得6x+10y=320,

x+y=50

聯(lián)立方程，可得

6x+10y=320

x+y=50

故答案為

6尤+IOy=320

【考點評析】本題主要考查二元一次方程組的應用，熟練掌握二元一次方程的應用是解題的關鍵.

評卷人得分

三、解答題（共60分）

21.（本題6分）（2023春?全國?七年級專題練習）某蔬菜基地第一次向甲地運輸124噸蔬菜，恰好裝滿

5輛大貨車和2輛小貨車；第二次向甲地運輸180噸蔬菜，恰好裝滿6輛大貨車和5輛小貨車.

（1）裝滿2輛大貨車和3輛小貨車能運輸多少噸蔬菜？

（2）第三次安排大、小貨車共12輛向甲地運輸208噸蔬菜，若要使得每輛車都裝滿，則大貨車和小貨車分

別需要多少輛？

【答案】(1)76噸

(2)大貨車8輛和小貨車4輛

【思路點撥】(1)設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨X噸、y噸，根據(jù)“5輛大貨車與2輛小

貨車一次可以運貨124噸，6輛大貨車與5輛小貨車一次可以運貨180噸”列方程組求解可得；

(2)設安排W輛大貨車，則小貨車需要(12-加輛，根據(jù)兩種貨車運送的蔬菜總質(zhì)量208噸列方程求解

可得.

【規(guī)范解答】(1)解：設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨X噸、y噸,

5x+2y=124

根據(jù)題意，得:

6x+5y=180

X=20

解得:

y=12

/.2x+3y=40+36=76

答：裝滿2輛大貨車和3輛小貨車能運輸76噸蔬菜.

(2)設安排加輛大貨車，則小貨車需要(12-加)輛，

根據(jù)題意，得：20加+12(12-∕n)=208,

解得：m=8,

(12-w)=12-8=4

所以則大貨車8輛和小貨車4輛.

答：需要大貨車8輛和小貨車4輛.

【考點評析】本題考查了二元一次方程組和一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知

數(shù)，找出合適的等量關系和不等關系，列方程組和一元一次方程求解.

22.(本題6分)(2022秋?廣東深圳?八年級校聯(lián)考期中)一方有難，八方支援.鄭州暴雨牽動數(shù)萬人的

心，眾多企業(yè)也伸出援助之手.某公司購買了一批救災物資并安排兩種貨車運往鄭州.調(diào)查得知，2輛小

貨車與3輛大貨車一次可以滿載運輸1800件；3輛小貨車與4輛大貨車一次可以滿載運輸2500件.

(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運輸多少件物資？

(2)現(xiàn)有3100件物資需要再次運往鄭州，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租

車方案？

(3)在(2)的條件下，若1輛小貨車需租金400元/次，1輛大貨車需租金500元/次.請選出費用最少的

租車方案，并求出最少的租車費用.

【答案】（1）1輛小貨車一次滿載運輸300件物資，1輛大貨車一次滿載運輸400件物資

（2）共有3種租車方案，方案1：租用9輛小貨車，1輛大貨車；方案2：租用5輛小貨車，4輛大貨車;

方案3：租用1輛小貨車，7輛大貨車

（3）租用1輛小貨車，7輛大貨車，最少租車費為3900元

【思路點撥】（1）設1輛小貨車一次滿載運輸X件物資，1輛大貨車一次滿載運輸y件物資，然后根據(jù)題

意列二元一次方程組求解即可;

（2）根據(jù)題意可得300a+400?=3100,再用力表示出a,然后根據(jù)a、6均為整數(shù)進行列舉即可解答;

（3）將小貨車和大貨車每次的租金代入300/400方里計算，然后比較即可.

【規(guī)范解答】（1）解：設1輛小貨車一次滿載運輸X件物資，1輛大貨車一次滿載運輸y件物資,

2%÷3y=1800x=300

依題意得:3x÷4y=2500解得:

y=400

答：1輛小貨車一次滿載運輸300件物資，1輛大貨車一次滿載運輸400件物資.

（2）接：設租用小貨車a輛，大貨車3輛,

依題意得：300a+400?=3100,

31-4?

?.a=---------

3

又???&。均為非負整數(shù),

α=9a=5a=1

八1或I或

b=7

.?.共有3種租車方案,

方案1：租用9輛小貨車,1輛大貨車;

方案2：租用5輛小貨車,4輛大貨車;

方案3：租用1輛小貨車,7輛大貨車.

（3）解:方案1所需租車費為400X9+500X1=4100（元）；

方案2所需租車費為400X5+500X4=4000（元）；

方案3所需租車費為400X1+500X7=3900（元）.

.?.費用最少的租車方案為：租用1輛小貨車，7輛大貨車，最少租車費為3900元.

【考點評析】本題主要考查「二元一次方程組的應用、二元一次方程的應用以及代數(shù)式求值等知識點，認

真審題、明確題意、弄清量與量之間的關系是解答本題的關鍵.

23.（本題8分）（2022秋?陜西西安?八年級?？计谀┠硰S的甲、乙兩個小組共同生產(chǎn)某種產(chǎn)品，若甲

組先生產(chǎn)1天，然后兩組又各自生產(chǎn)7天，則兩組產(chǎn)品一樣多；若甲組先生產(chǎn)了300個產(chǎn)品，然后兩組又

各自生產(chǎn)了5天，則乙組比甲組多生產(chǎn)200個產(chǎn)品；求兩組每天各生產(chǎn)多少個產(chǎn)品？

【答案】甲、乙兩組每天個各生產(chǎn)700、800個產(chǎn)品

【思路點撥】設甲、乙兩組每天個各生產(chǎn)x、y個產(chǎn)品，則根據(jù)若甲組先生產(chǎn)1天，然后兩組又各自生產(chǎn)

了7天，則兩組產(chǎn)量一樣多.若甲組先生產(chǎn)了300個產(chǎn)品，然后兩組各自生產(chǎn)5天，則乙組比甲組多生產(chǎn)

200個產(chǎn)品兩個等量關系列方程組求解即可.

【規(guī)范解答】解：設甲、乙兩組每天個各生產(chǎn)x、y個產(chǎn)品，根據(jù)題意得：

'（l+7）x=7y

3OO+5x+2OO=5y

[%=700

解得：nn

[y=800

答：甲、乙兩組每天個各生產(chǎn)700、800個產(chǎn)品.

【考點評析】本題考查列二元一次方程組解應用題，掌握列二元一次方程組解應用題的方法與步驟，抓住

等量關系是解題關鍵.

24.（本題8分）（2022秋?全國?八年級專題練習）某汽車制造廠開發(fā)一款新式電動汽車，計劃一年生產(chǎn)

安裝240輛.由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人.他們經(jīng)

過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝.生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每

月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車.

（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？

（2）如果工廠招聘“（0<,<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，

那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？

【答案】（1）每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，新工人每月分別安裝2輛電動汽車；

（2）①調(diào)熟練工1人，新工人8人：②調(diào)熟練工2人，新工人6人：③調(diào)熟練工3人，新工人4人；④調(diào)

熟練工4人，新工人2人.

【思路點撥】（1）設每名熟練工每月可以安裝X輛電動汽車，新工人每月分別安裝y輛電動汽車，根據(jù)安

裝8輛電動汽車和安裝14輛電動汽車兩個等量關系列出方程組，然后求解即可；

（2）設調(diào)熟練工叫人，根據(jù)一年的安裝任務列出方程整理用R表示出〃，然后根據(jù)人數(shù)勿是整數(shù)討論求解

即可.

【規(guī)范解答】（I）解：設每名熟練工每月可以安裝X輛電動汽車，新工人每月分別安裝y輛電動汽車，

fx+2y=8

根據(jù)題意得?！?,

[2x+3y=l4

Cx=4

解之得?.

Iy=2

答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，新工人每月分別安裝2輛電動汽車；

（2）設調(diào)熟練工0人，

由題意得，12（4m+2w）=240,

整理得，〃=10—2機，

V0<n<10,

當，w=l,2,3,4時,∕ι=8,6,4,2,

即：①調(diào)熟練工1人，新工人8人：②調(diào)熟練工2人，新工人6人：③調(diào)熟練工3人，新工人4人；④調(diào)

熟練工4人，新工人2人.

【考點評析】本題考查了二元一次方程的應用，解二元一次方程組，（1）理清題目數(shù)量關系列出方程組是

解題的關鍵，（2）用一個未知數(shù)表示出另一個未知數(shù)，是解題的關鍵，難點在于考慮人數(shù)是整數(shù).

25.（本題8分）（2023春?全國?七年級專題練習）某運輸公司有46兩種貨車，3輛/貨車與2輛6

貨車一次可以運貨90噸，5輛4貨車與4輛8貨車一次可以運貨160噸.

（1）請問1輛A貨車和1輛8貨車一次可以分別運貨多少噸？

（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排46兩種貨車將全部貨物一次運完（力、6兩種貨車

均滿載），其中每輛4貨車一次運貨花費500元，每輛8貨車一次運貨花費400元，請你列出所有的運輸

方案，并指出哪種運輸方案費用最少，最少費用為多少元.

【答案】（1）1輛Zl貨車和1輛6貨車一次可以分別運貨20噸和15噸

（2）共有3種運輸方案，方案1：安排/貨車8輛，8貨車2輛；方案2：安排/貨車5輛，6貨車6輛；

方案3：安排力貨車2輛，8貨車10輛；安排ZI貨車8輛，8貨車2輛費用最少，最少費用為4800元

【思路點撥】（1）設1輛4貨車和1輛占貨車一次可以分別運貨X噸和y噸，根據(jù)3輛4貨車與2輛8貨

車一次可以運貨90噸，5輛/貨車與4輛6貨車一次可以運貨160噸，列出方程求解即可一：

（2）設安排力貨車輛，8貨車輛，根據(jù)目前有190噸貨物需要運輸，列出方程求解即可.

【規(guī)范解答】（1）設1輛4貨車和1輛6貨車一次可以分別運貨X噸和y噸.

∫3x+2y=90

根據(jù)題意得

[5x+4γ=160

X=20

解得＜

7=15

答：1輛總貨車和1輛8貨車一次可以分別運貨20噸和15噸.

（2）設安排/貨車輛，4貨車輛，依題意，得

20/71+15n=190，即加=——,

4

又因為均為正整數(shù)，

所以[["m==2S或｛[“m=65或k[mlO=2,

所以共有3種運輸方案，方案1：安排I貨車8輛，6貨車2輛；

方案2：安排/貨車5輛，8貨車6輛；方案3：安排/貨車2輛，6貨車10輛.

方案1所需費用：500×8+400X2=4800（元）：

方案2所需費用：500×5+400×6≈4900（元）；

方案3所需費用：500X2+400X10=5000（元）；

因為4800〈4900〈5000,所以安排/貨車8輛，6貨車2輛費用最少，最少費用為4800元.

【考點評析】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意列出

方程求解.

26.（本題8分）（2023秋?廣東深圳?八年級深圳中學校考期末）玲玲家準備裝修一套新住房，若甲、乙

兩個裝飾公司合作，需6周完成，共需裝修費為5.2萬元；若甲公司單獨做4