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文檔簡介
§7.5離散時間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)一、求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)(1)離散時間系統(tǒng)(n)h(n)單位脈沖響應(yīng)h[k]定義?h[k]的求解等效初始條件法迭代法階躍響應(yīng)g[k]的求解單位脈沖響應(yīng)h[k]定義單位脈沖序列[k]作用于離散時間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng),用符號h[k]表示。對N階LTI離散時間系統(tǒng),h[k]滿足方程n
m
ai
h[k
i]
bj
[k
j]i0
j
0h[k]的求解求解方法:迭代法等效初始條件法將[k-j]對系統(tǒng)的瞬時作用則轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。等效初始條件由差分方程和h[1]=h[2]==h[n]=0遞推求出。例1
若描述某離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k
]
3y[k
1]
2
y[k
2]
f
[k
]求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解:h[k]滿足方程h[k
]
3h[k
1]
2h[k
2]
[k
]1)求等效初始條件對于因果系統(tǒng)有h[1]=h[2]=0,代入上面方程可推出h[0]
[0]
3h[1]
2h[2]
1h[1]
[1]
3h[0]
2h[1]
3可以選擇h[0]和h[1]或h[1]和h[0]作為初始條件注意:選擇初始條件的基本原則是必須將[k]的作用體現(xiàn)在初始條件中.且必須以n為連續(xù)值的一組
y(n)條件給出。2)求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達(dá)式為
3r
2
0r
2r1
1,
r2
2kk2)211)
C
(h[k]
C
(21
2代入初始條件,有
h[1]
C
1
C
0h[0]
C1
C2
1解得C1=-1,C2=2h[k
]
(1)k
2(2)k
k
0單位階躍響應(yīng)單位階躍序列u[k]作用在離散時間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng),用符號g[k]表示。求解方法:k迭代法經(jīng)典法利用單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系g[k
]
h[n]nh[k]=g[k]g[k1]kkg[k
]
(1)n
2
(2)nn0n06k(2)
]u[k
](1)k
4
12
3
[例2
求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g[k]。解:
例1所述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h[k]=[(1)k+2(2)k]u[k]利用h[k]與g[k]的關(guān)系,可得(利用p372附錄4中1號公式)a
11
a1
ak
1ka
n0n1
2
2
3h(0)
1,
h(1)
5,h2
(
n
)
3h1
(
n
2
)
3[3
n
1
2
n
1
]u
(
n
2
)利用LTIh(n)
h1
(n)
h2
(n)
(3n1
2n1
)u(n)
3(3n1
2n1
)u(n
2)n
nC
32C1
2,
C2
31
1h
(n
)
C
2
1n
1n
1
2
)u(n)h
(n)
(3例3(例7-14):y(n)5y(n
1)6y(n
2)
x(n)3x(n
2)首先只考慮x(n)激勵再考慮-3x(n
2)的激勵求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)(2)利用已知的階躍響應(yīng)求單位沖激響應(yīng)h(n)例4:已知因果系統(tǒng)是一個二階常系數(shù)差分方程,并已知當(dāng)x(n)=u(n)時的響應(yīng)為:g(n)
(2n
35n
10)u(n)求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)若系統(tǒng)為零狀態(tài),求此二階差分方程2y
(
n
)
a1
y
(
n
1)
a
2
y
(
n
2)
br
x
(
n
r
)r
0解
設(shè)此二階系統(tǒng)的差分方程的一般表達(dá)式為:1
2
a
a
0
2
14
(n)
(
1
2n
12
5n
)u(n
1)特征根:2
51
2
2
522
a
1
a
2
(
2
)(
5
)
7
10
a1
7
a2
10由g(n)
求h(n)35n
10)u(n
1)g(n)
(2
n
3
5n
10)u(n)g(n
1)
(2n1
3
5n1
10)u(n
1)g(n)
(2n
35n
10)[u(n)
u(n
1)]
(2n
(n)
u(n)
u(n
1)
h(n)
g(n)
g(n
1)h(n)
7h(n
1)
10h(n
2)
b0
(n)
b1
(n
1)
b2
(n
2)b0
14b1
98
13
85b3
62
7
13
10
14
111n
0
h(0)
14n
1
h(1)
13n
2
h(n)
622h
(n
)
14
(n
)
(
1
2
n
12
5
n
)u
(n
1)5h(2)
62h(0)
14
h(1)
13
y(n)
7
y(n
1)
10
y(n
2)
14
x(n)
85
x(n
1)
111x(n
2)h(1)
7h(0)
10h(1)
14(1)
b1(0)
b2
(1)13
7
14
0
0
b1(0)
0二、根據(jù)單位樣值響應(yīng)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性:輸入變化不領(lǐng)先于輸出變化必要條件穩(wěn)定性:輸入有界則輸出必定有界(BIBO)充分條件n
0
h(n)
0n
h
(
n
)
例5:p40.7
28以下各序列是系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h(n),試分別討論各系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解:1.(n)因果、穩(wěn)定(n
5)因果、穩(wěn)定(n
4)非因果、穩(wěn)定4.u(n)因果、非穩(wěn)定5.u(n
3)因果、非穩(wěn)定6.2n
u(n)因果、非穩(wěn)定7.3n
u(n)非因果、穩(wěn)定8.0.5n
u(n)因果、穩(wěn)定9.
1
u(n)因果、穩(wěn)定n10.1
u(n)因果、穩(wěn)定n!問:它是否是因果系統(tǒng)?是否是穩(wěn)定系統(tǒng)?例6:已知某系統(tǒng)的
h
(
n
)
a
n
u
(
n
)是因果系統(tǒng)
nn
n1
a
a
11a
1
h(n)
a
u(n)
1
a1
ak
1有界穩(wěn)定發(fā)散不穩(wěn)定答:
n
0
u(n)
0
h(n)
anu(n)
0例7:y(n)
1
y(n
1)
x(n)
2x(n
1)3x(n
2)5求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性解:
1
h(n)
C(
1
)
n
n
25
55
25955
u
(
n
2
)1
n
(
n
1)
66
h
(
n
)
(
n
)
5n
266
(
0
.2
)
nn
0h
(
n
)
1
9
穩(wěn)定系統(tǒng)5h(0)
1,
h(1)
9
h(2)
66
C
66h(0)
1
h(0
1)
(0)
(0
1)
3
(0
2)例8
判斷M1+M2+1點滑動平均系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。(M1
,
M
2
0)解:M1+M2+1點滑動平均系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為11
2M
2f
[k
n]y[k
]
M
M
1n
M1系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為121M
2h[k
]
M
M
1n
M1
[k
n]0h[k]
M
2
k
M1其它1/(M
M
2
1)1顯然,只有當(dāng)M2
=0時,才滿足h[k]=0,k<0的充要條件。即當(dāng)M2
=0時,系統(tǒng)是因果的。例9
判斷M1+M2+1點滑動平均系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解:由例8可知,系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0h[k]
M
2
k
M1其它1/(M
M
2
1)111
1M1k
k
M
2M1
M
2
h[k
]
由連續(xù)時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可以判斷出該系統(tǒng)穩(wěn)定。對h[k]求和,可得j
0:
y
(
k
)
e
(
j
)
h
(
k
j
)LDTISLTIS
:
y
(t
)
e
(
)
h
(t
)
d
0任意序列都可以表示單位取樣序列的移位加權(quán)和:x(k)
x(
j)
(k
j)j
§7.6.卷積和.用卷積和求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)k(k)LDTISLDTISjk0c(k
j)kh(k)jch(k
j)
(k
)
h(k
)c
(k
)
ch(k
)c
(k
j)
ch(k
j)x(k)
x(
j)
(k
j)j
y(k)
x(
j)h(k
j)j二.卷積和的計算圖解法按公式計算序列陣表格法查表法利用單位序列信號求卷積利用卷積的性質(zhì)求卷積圖解法計算卷積和f[n]
h[n]
f[m]h[n
m]m卷積和定義為計算步驟:將f
[n]、h[n]中的自變量由n改為m;把其中一個信號翻轉(zhuǎn),如將h[m]翻轉(zhuǎn)得h[-m];把h[-m]平移n,n是參變量.n>0圖形右移,n<0圖形左移。將f
[m]與h[n-m]重疊部分相乘;對乘積后的圖形求和。圖解法計算卷積和的動態(tài)演示mh(n)*mx(m)m例1:P32:例7-151.圖解法:例.某系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)是h(n)
an
u(n),其中0
a
1,若激勵信號為G
N
(n)即x(n)
u(n)
u(n
N),求響應(yīng)y(n)?解:
y(n)
x(m)h(n
m)
[u(m)
u(m
N)]a
nm
u(n
m)mh(m)h(nm)m折迭:h(m)是將h(m)依縱軸反折后得到的。m位移:h(n
m)是將h(m)沿m軸右移
n得到的。4m
0y
(
4
)
x
(
0
)
h
(
4
)
x
(1)
h
(
3
)
x
(
2
)
h
(
2
)
x
(
3
)
h
(1)
x
(
4
)
h
(
0
)
x
(
m
)
h
(
4
m
)3
.相乘:如
n
4時
h
(
4
m
)5.求和式0
n
N
1m0m0nanm
an
am0y(n)
nn
0時1],
N
N
11
aa
[1
a
Nn例2
已知f
[k]=u[k],
h[k]=aku[k],0<a<1,
計算y[k]=f[k]*h[k]0knh
[k
]或h[n
]10knf
[k
]或f
[n
]10nh
[
-
n
]1k
0,f
[n]與h
[k-n]圖形沒有相遇1nf
[
n
]h
[
k
-
n
]
,
k
<
0nf
[
n
]k1h
[
k
-
n
]
,
k
010y
[
k
]k
0k
0,
f
[n]與h[k-n]圖形相遇y[k]=0ky[k
]
a
k
nn00
otherwiseR
[k
]
1N例3N
N0
k
N
1計算y[k]=R [k]*
R [k]。knN-10RN[k]
或RN[k]1n-(N-1)1RN[-n]nN-100RN[n]k-(N-1)kRN[k
-n]
,
k
<
01?k
0時,RN
[n]與RN
[k-n]圖形沒有相遇y[k]=0nN-101NR
[n]k-(N-1)knN-11RN[n]0
k-(N-1)kRN[k
-n]
,
N
1
k
2N
2N-1kRN[k]*RN[k]2N-20
1
2
3N4321?0
k
N
1時,重合區(qū)間為[0,k]RN[k
-n]
,
0
k
N
1y[k
]
1
k1kn0?N1
k
2N
2時,重合區(qū)間為[(N1)+k,N1]y[k
]
N
11
2N
1
knk
(
N
1)?k2N2時,N
NR
[n]與R
[k-n]圖形不再相遇y[k]
=02.序列陣表格法(排表法)例4:已知f(k)和h(k)如圖所示,試用幾種不同的方法求卷積和y(k)并驗證之。f
(k
)k0211*k01
24h(k)21常采用的方法為表格的頂端序列以f
(k)表示,左面
邊界縱排序列以h(k)表示,表中所記錄的數(shù)字相應(yīng)于
f
(k)與h(k)所標(biāo)數(shù)的乘積,為求卷積,只要將對角線上的數(shù)值迭加即可。f
(k)h(k)20-1021000040-22-1y(k)
0,4,2,-2,
-1排表法yc
f3
h3
1f
(k
)h(2)h(3)h(1)h(k
)h(0)h(3)
f
(0)
h(3)
f
(1)
h(3)
f
(2)
h(3)
f
(3)h(2)
f
(0)
h(2)
f
(1)
h(2)
f
(2)
h(2)
f
(3)h(1)
f
(0)
h(1)
f
(1)
h(1)
f
(2)
h(1)
f
(3)f
(0)
f
(1)
f
(2)
f
(3)h(0)
f
(0)
h(0)
f
(1)
h(0)
f
(2)
h(0)
f
(3)y(0)
h(0)f
(0)y(1)
h(0)f
(1)
h(1)f
(0)y(2)
h(0)f
(2)
h(1)f
(1)
h(2)f
(0)y(3)
h(0)f
(3)
h(1)f
(2)
h(2)f
(1)
h(3)f
(0)......2
0
1
0
2
1
2
0
14
0
20
0
00
4
2
2
1不進(jìn)位乘法y(k
)
0,4,2,2,1*以矩陣相乘的形式出現(xiàn)
1
2
4
2
0
00
0
00
1
2
10
2
00
0
0
000200020
1020
10
2y(k
)
0,4,2,2,1mLLn=mn(m,
L).(L.n)
(m.n)3.單位序列卷積法f
(k)
2
(k)
(k
2)*h(k)
2
(k
1)
(k
2)y
(k
)
2
(k
)
(k
2)*
2
(k
1)
(k
2)
4
(k
1)
2
(k
2)
2
(k
3)
(k
4)4.查卷積和表(p34;表7-1)*撿驗卷積結(jié)果正確與否的方法a.參與卷積的兩序列的各項之和的乘積是否等于所得序列各項之和?n
kn
f
n
k
1
n
fk
0
k
0
k
0f
(
k
)
h
(
k
)y
(
k
)
0
4
2
2
1
(2
0
1)(
0
2
1)
3b
.由
y
(
k
)和
f
(
k
)反求
h
(
k
),
若與已知條件相符y
(k
)便是正確的。h(k
)*
f
(k
)
y(k
)h(k
)
f
1
(k
)*
y(k
)0
2
12
0
14
2
24
0
22
0
1
2
0
1
0h(k)0
4
2
2
10
0
0
ix1
(n)
x2
(n)
[
x1
(i)]x2
(n)=x1
(n)
x2
(i)n
n
n
n已知:x1
(n)
n[(u(n)
u(n
6)];x2
(n)
u(n
6)
u(n
1)求:s(n)
x1
(n)
x2
(n)解:
x1
(i)
i[u(i)
u(i
6)]
i
ii
i0
i0
i6應(yīng)用雜級數(shù)12dfd
2
fdt
dt
1it
f2
(
)d
t
t
f2
(
)d4.利用差分性質(zhì)求卷積f1
f2例5:21
23
...
n
1
n(n
1)u(n)n
n
nx1(n)
i
ii
i0
i61
n(n
1)u(n)
[1
n(n
1)
(1
23
45)]u(n
6)2
2
1
n(n
1)[u(n)
u(n
6)]
15u(n
6)n22x
2
(
n
)
[u
(
n
6)
u
(
n
1)]
(n
6)
(n
1)s(n
)
x
1
(
n
)
*
x
2
(n
)
x
1
(i)
x
2
(n
)
i
1{
n(n
1)[u(n)
u(n
6)]
15u(n
6)}[
(n
6)
(n
1)]21
1
(n
1)(n
2)[u(n
1)
u(n
5)]
{
(n
6)(n
7)[u(n
6)
u(n)]
15[u(n)
u(n
1)]
25.用函數(shù)式計算卷積s(n)
x1
(n)
x2
(n)
m[u(m)
u(m
6)][u(n
m
6)
u(n
m
1)]m
mu
(m)u
(n
m
6)
mu
(m)u
(n
m
1)m
m
mu
(m
6)u
(m
6)u
(n
m
6)
mu
(m
6)u
(n
m
1)m
n
1?2n6m0mu(m)u(n
m6)
m
(n
6)(n7)u(n6)m62m0mn1mu(m)u(n
m
1)
m
1
(n
1)(n
2)u(n
1)12n6m6mu(m
6)u(n
m
6)
m
[ (n
6)(n
7)
15]u(n)m2m6mn1[mu(m
6)u(n
m
1)]
m
[
1
(n
1)(n
2)
15]u(n
5)2s(n)
1
(n
6)(n
7)[u(n
6)
u(n)]215[u(n)
u(n
5)]
1
(n
1)(n
2)[u(n
1)
u(n
5)]由上限n
6
0三.卷積和的性質(zhì)交換律:
e
(
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