高等數(shù)學-冪級數(shù)教學課件

耶二第二節(jié)冪級數(shù)一函數(shù)項級數(shù)的一般概念圖二冪級數(shù)及其收斂區(qū)間≈三冪級數(shù)的運算四函數(shù)展開成冪級數(shù)五函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應用讠耶二函數(shù)項級數(shù)的一般概念設(shè)un(x)(n=1,2,…)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,稱∑u2(x)=41(x)+2(x)+…+n(x)+=1為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù),到|對x∈I,若常數(shù)項級數(shù)∑1(x)收斂,稱xo為其收7=1斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)∑4(x)發(fā)散,稱x0為其發(fā)散點,所有發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域耶二節(jié)在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)S(x),稱它為級數(shù)的和函數(shù),并寫成S(x)=∑n(x)若用S(x)表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即Sx)=∑42(x)k-1令余項n(x)=S(x)-S:(x)則在收斂域上有l(wèi)ims,(x)=s(x),limr(x=0n→耶二節(jié)例如,等比級數(shù)∑x=1+x+x2+…+x"+…它的收斂域是(1,1),當x∈(1,1)時,有和函數(shù)∑x∈(-1,1)=01-x它的發(fā)散域是(-∞,-11及[1,+∞),或?qū)懽鱴|≥1.圖又知級數(shù)∑x士x(x0),當x=1時收1=0但當0<x≠1時,inun(x)=∞,級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為|x|=1.耶二二冪級數(shù)及其收斂區(qū)間形如∑an(x-x)=a0+a1(x-x)+a2(x-x)2++an(x-x)2+的畫數(shù)項級數(shù)稱為x一x的冪級數(shù),其中an(n=01,)稱為冪級數(shù)的系數(shù)型當x0=0時,∑qnx”稱為x的冪級數(shù)耶二定理1.(Abe定理)若冪級數(shù)∑qnxx=x點收斂,則對滿足不等式x<x的一切x冪級數(shù)都絕對收斂反之,若當x=x時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式x>x的一切x,該冪級數(shù)也發(fā)散k≈證;設(shè)∑an收斂,則必有l(wèi)imana=0,于是存在M-c0縱常數(shù)M>0使{anx|≤M(n=1,2…)ax=axoauxM收斂發(fā)散發(fā)散收O發(fā)散耶二節(jié)當x<|x0時,∑M收斂∑anx2也收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂巴反之,若當x=x時讀冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之假設(shè)有一點x滿足x1|>x0且使級數(shù)收斂,則由前面的證明可知,級數(shù)在點x也應收斂,與所設(shè)矛盾,故假設(shè)不真.所以若當x=x0時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切滿足不等式x}>xn}的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.證畢耶二節(jié)幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域RR發(fā)散區(qū)域推論如果冪級數(shù)∑qnx"不是僅在x=0一點產(chǎn)收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):當x<R時,冪級數(shù)絕對收斂;當x|>R時,冪級數(shù)發(fā)散;當x=R與x=-R時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散耶二節(jié)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間,收斂區(qū)間為下列四種形式之一(一R,R),[R,R),(-R,R,[R,R]規(guī)定(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,收斂半徑R=0,收斂區(qū)間x=0;≈(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,收斂半徑R=+∞,狐收斂區(qū)間(-∞,+∞)說明冪級數(shù)∑qnx"如果在x=x處條件收斂,則H=0x一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點,即該冪級數(shù)的收斂半徑R=x019耶二節(jié)如果冪級數(shù)∑qnx如果在x=x0處收斂,而在x=-x0處發(fā)散,則x-定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點,即該冪級數(shù)的收斂半徑R彐x0問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定