線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)

線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月1線性系統(tǒng)定義若一個(gè)系統(tǒng)既具有疊加性又具有均勻性，則此系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)

設(shè)疊加性均勻性第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月也就是說，一個(gè)系統(tǒng)具有線性，是指輸入和輸出之間應(yīng)滿足如下關(guān)系1線性系統(tǒng)定義第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)：即系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入的線性組合的整體響應(yīng)就等于各單個(gè)輸入產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。1線性系統(tǒng)定義第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以方便地求出系統(tǒng)對(duì)于任意復(fù)雜輸入的響應(yīng)。方法是：首先，我們把復(fù)雜的輸入分解成許多更加基本的函數(shù)，即“基元”函數(shù)的線性組合。而基元函數(shù)的響應(yīng)是較容易單獨(dú)確定的。這些基元函數(shù)的響應(yīng)再經(jīng)線性組合，就可以得到復(fù)雜輸入所對(duì)應(yīng)的輸出，這是線性系統(tǒng)的最大好處?；瘮?shù)通常是指不能再分解的基本函數(shù)。在線性分析系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有函數(shù)、余弦函數(shù)、和復(fù)指數(shù)函數(shù)。1線性系統(tǒng)定義第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月0102031線性系統(tǒng)定義第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2脈沖響應(yīng)以函數(shù)作為基元函數(shù)，研究輸入與輸出的關(guān)系利用函數(shù)的篩選性質(zhì)，任何輸入函數(shù)都可以分解為函數(shù)的線性組合這個(gè)積分可以看成是x,y平面上無窮多個(gè)不同位置（，）處的以權(quán)重為系數(shù)的線性疊加函數(shù)第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2脈沖響應(yīng)第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2脈沖響應(yīng)第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月的意義是：輸入平面上位于x=,y=處的單位脈沖（點(diǎn)光源）通過系統(tǒng)后在輸出平面上得到的分布。所以它是脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。對(duì)于給定的光學(xué)系統(tǒng)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)一般與輸入點(diǎn)脈沖的位置（,）有關(guān)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換LL2脈沖響應(yīng)第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月為了更好地理解疊加積分的物理意義，我們以線性光學(xué)成像系統(tǒng)為例加以說明：顯然，線性系統(tǒng)的性質(zhì)完全由它對(duì)單位脈沖的響應(yīng)表征。只要知道系統(tǒng)對(duì)位于輸入平面上所有可能的點(diǎn)上的脈沖的響應(yīng)，就可以通過疊加積分而完全確定系統(tǒng)的輸出。另外，如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間滿足疊加積所描述的關(guān)系，就可以認(rèn)為這是一個(gè)線性系統(tǒng)。2脈沖響應(yīng)第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，要做到這一點(diǎn)，是相當(dāng)困難的。不過對(duì)于線性系統(tǒng)的一個(gè)重要子類——線性不變系統(tǒng)，分析才變得十分簡(jiǎn)單。一輻輸入圖像可看成是一個(gè)點(diǎn)物的集合，只要能確定所有點(diǎn)物的像，就可以完備地描述這一成像系統(tǒng)的效應(yīng)。但要注意的是，一定要把所有物點(diǎn)的像疊加起來，才能得到輸出圖像。即完全確定一個(gè)線性系統(tǒng)的性質(zhì)，需要知道系統(tǒng)對(duì)于輸入平面上所有可能位置上的函數(shù)輸入的脈沖響應(yīng)。2脈沖響應(yīng)第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于空間不變系統(tǒng)，其輸入與輸出的變換關(guān)系是不隨輸入空間位置而變化的變的。其唯一的效應(yīng)是輸出發(fā)生同樣的位移。若L則L3線性不變系統(tǒng)第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)二維脈沖函數(shù)在輸入平面上位移時(shí)，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即

這樣的系統(tǒng)稱為二維不變線性系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為脈沖響應(yīng)函數(shù)僅僅依賴于觀察點(diǎn)與脈沖輸入點(diǎn)坐標(biāo)的相對(duì)間距二維線性不變系統(tǒng)還常常叫做空間不變（線性）系統(tǒng)

2線性不變系統(tǒng)第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月物理的空間不變線性系統(tǒng)，輸入平面和輸出平面常常是不同的兩個(gè)平面，需要建立兩個(gè)坐標(biāo)

從研究輸入和輸出之間關(guān)系的角度來看，輸入和輸出兩種信號(hào)放在同一坐標(biāo)系中是方便的，因此對(duì)輸入平面和輸出平面的坐標(biāo)做歸一化（不管兩者是否表示同一種物理量），使得從數(shù)值上有和脈沖響應(yīng)函數(shù)變?yōu)?線性不變系統(tǒng)第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于線性不變系統(tǒng)，疊加積分式：式中h(x,y)是坐標(biāo)原點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)，它可以表征線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)。上式（**）積分稱為卷積積分，其含義仍舊是指：把輸入函數(shù)f(x,y)分解為無窮多個(gè)函數(shù)的線性組合，每個(gè)脈沖都按其位置加權(quán)，然后把系統(tǒng)對(duì)于每個(gè)脈沖的響應(yīng)疊加在一起就得對(duì)于f(x,y)的整體響應(yīng)。與（*）式不同的是，不論輸入脈沖位置如何，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的函數(shù)的形式是相同的。因而系統(tǒng)的作用可以用一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)來表征。3線性不變系統(tǒng)變?yōu)榈?6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：對(duì)于成像系統(tǒng)而言，物平面上一個(gè)點(diǎn)光源（函數(shù)），通過成像系統(tǒng)后得到一個(gè)彌散像點(diǎn)分布（h函數(shù)），這種彌散作用很像日暈、月暈現(xiàn)象。對(duì)于線性不變系統(tǒng)，由于像點(diǎn)的形狀不隨物點(diǎn)空間位置而變，所以又把這種特性稱為等暈性。對(duì)于實(shí)際成像系統(tǒng)，一般不可能是嚴(yán)格的空不變系統(tǒng)，這是由于像差的大小與物點(diǎn)位置有關(guān)。然而絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)像差大小隨時(shí)物點(diǎn)位置的變化是緩慢的，因此，即使是空間不變性不能在整個(gè)視場(chǎng)內(nèi)成立，我們也可把視場(chǎng)分成若干個(gè)區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)使空間不變性近似成立。這樣劃分的區(qū)域稱為等暈區(qū)。對(duì)于每個(gè)等暈區(qū)都有各自的h。因此，對(duì)線性不變系統(tǒng)的討論是具有普遍意義的。3線性不變系統(tǒng)第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月4線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上式是輸入和輸出關(guān)系在空域表示，利用卷積定理，可以得到頻率的關(guān)系式。不變線性系統(tǒng)的的傳遞函數(shù)第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入頻譜輸出頻譜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率響應(yīng)它決定了輸入頻譜中各種頻率成分通過系統(tǒng)時(shí)將發(fā)生什么樣的變化。說明：對(duì)線性平移不變系統(tǒng)，可以采用兩種研究方法。一是在空域通過輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積求得輸出函數(shù)；二是在頻域求得輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)兩者各自的頻譜函數(shù)的積。再對(duì)該積求逆傅里葉變換求得輸出函數(shù)。4線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月從表面上看，后一種方法比前一種方法復(fù)雜，但實(shí)際情況并非如此，這是因?yàn)槔酶道锶~變換的性質(zhì)和傅里葉變換對(duì)偶表，?？梢允沟酶道锶~變換、求積和求逆傅里葉變換這一運(yùn)算過程遠(yuǎn)比卷積運(yùn)算方便。因此從頻率域來考察線性平移不變系統(tǒng)，不僅有重要的理論意義，而且有很高的實(shí)用價(jià)值。下面進(jìn)一步來討論傳遞函數(shù)的物理意義：前面我們把線性系統(tǒng)的輸入函數(shù)f(x,y)分解成函數(shù)的線性組合，而對(duì)于線性不變系統(tǒng)，可以找到更為合適的基元函數(shù)，即復(fù)指數(shù)函數(shù)。逆傅里葉變換提供了對(duì)于輸入函數(shù)進(jìn)行分解的方法。4線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月在光學(xué)中，、

具有長(zhǎng)度倒數(shù)的量綱，因此具有空間頻率的意義。上式表明?？臻g信號(hào)f(x,y)可以分解成具有不同空間頻率、的基元函數(shù)exp[j2(x+y]的線性組合，F(xiàn)（,）dd就是這一線性組合中對(duì)應(yīng)基元函數(shù)的權(quán)重因子。這就是除了函數(shù)以外的第二種基元函數(shù)。這種分解法通常稱為傅里葉分解。LL又因?yàn)?線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月利用L上式表明，各基元復(fù)指數(shù)函數(shù)在通過線性不變系統(tǒng)后，仍然是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)。但是可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的幅值變化和相移，這些變化決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此傳遞函數(shù)又稱為頻率響應(yīng)，它描述了系統(tǒng)的頻率域的特性。線性不變系統(tǒng)4線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)的意義空間頻譜是基元函數(shù)的線性組合中對(duì)應(yīng)的權(quán)重因子輸入和輸出空間頻譜之比表達(dá)了系統(tǒng)對(duì)于輸入函數(shù)中不同頻率的基元函數(shù)的作用，也就是系統(tǒng)在把輸入“傳遞”為輸出過程中的作用，因而稱為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)，其模的作用是改變輸入函數(shù)各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改變這些基元成分的初位相傳遞函數(shù)的模稱作振幅傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)的幅角稱作位相傳遞函數(shù)4線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月空間頻率的兩種意義空間頻率類似于時(shí)域函數(shù)的時(shí)間頻率，時(shí)間倒數(shù)稱作頻率，長(zhǎng)度倒數(shù)稱作空間頻率，即在單位長(zhǎng)度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)（單位為：周/mm，線對(duì)/mm，L/mm，等）信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是對(duì)二維圖象進(jìn)行頻譜分析得到的圖象頻譜對(duì)應(yīng)的空間頻率，這是一種空間強(qiáng)度分布，單位為：周/mm，線對(duì)/mm，L/mm，等，其大小是沒有限制的，可以是無窮大另一種是對(duì)電磁波場(chǎng)進(jìn)行頻譜分析得到的平面波對(duì)應(yīng)的空間頻率，因?yàn)殡姶挪ㄔ诰鶆蚪橘|(zhì)中波長(zhǎng)是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因而其對(duì)應(yīng)在三維空間坐標(biāo)上的每個(gè)方向的空間頻率（單位為：光波數(shù)/mm

）表示出的意義實(shí)際上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標(biāo)軸的夾角，而且大小受到光波長(zhǎng)的限制，最大是波長(zhǎng)的倒數(shù)。下章再詳細(xì)講這兩者區(qū)別4線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月5線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)定義：如果函數(shù)f(x,y)滿足條件式中a為一復(fù)數(shù)，叫本征值，則稱f(x,y)為算符所表征的系統(tǒng)的也就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個(gè)特定的輸入函數(shù)，相應(yīng)的輸出函數(shù)等于輸入函數(shù)與一復(fù)常數(shù)的乘積。由上面的討論可知，復(fù)指數(shù)函數(shù)可以形式不變地通過線性不變系統(tǒng)，因此，它正是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。在分析線性不變系統(tǒng)時(shí)，取復(fù)指數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)是非常方便的。L本征函數(shù)L第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月《工程光學(xué)》中已經(jīng)說明光波可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示，光學(xué)系統(tǒng)傳播光波的數(shù)學(xué)模型，就是這樣一個(gè)用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸入變?yōu)閺?fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸出的不變線性系統(tǒng)5線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于非相干處理系統(tǒng)，系統(tǒng)對(duì)光強(qiáng)是線性的，這種系統(tǒng)可以把一個(gè)實(shí)值輸入變換成一個(gè)實(shí)值輸出，也是一種常見的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是厄米的，即有：令振幅傳遞函數(shù)相位傳遞函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)5線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月下面我們來證明余弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)令為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸入函數(shù)為因?yàn)橐虼?，輸入頻譜為輸出頻譜為5線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的輸出函數(shù)為F

-1因輸入函數(shù)的頻率是任意的，故上式可寫成一般形式5線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月L上式表明，對(duì)于脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的空間不變線性系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出。同時(shí)產(chǎn)生與頻率有關(guān)的振幅衰減和相位移動(dòng)，其大小決定于傳遞函數(shù)的模和幅角。非相干光學(xué)成象系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對(duì)這一類空間不變線性系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳遞函數(shù)理論的基礎(chǔ)。5線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月下圖表示的是兩個(gè)級(jí)聯(lián)在一起的空間不變線性系統(tǒng)，前一系統(tǒng)的輸出恰是后一系統(tǒng)的輸入6級(jí)聯(lián)系統(tǒng)第31頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的傳遞函數(shù)對(duì)于總的系統(tǒng)和分別是其輸入和輸出，因?yàn)榍笆酱牒笫?，?/p>