新湘教版高中數(shù)學選擇性必修·第二冊1.2.2函數(shù)的和差積商求導法則 課件（共22張PPT）

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1．2.2函數(shù)的和差積商求導法則

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

要點導數(shù)的和差積商運算法則

若f′(x)，g′(x)存在，則

(1)(cf(x))′＝____________；

(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；

(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(4)()′＝____________；

(5)()′＝.

cf′(x)

－

批注可推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．

批注可推廣到任意有限個可導函數(shù)的乘積的導數(shù)，即[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．

批注切記[]′≠.

基礎自測

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)若f′(x)＝2x，則f(x)＝x2.()

(2)已知函數(shù)y＝2sinx－cosx，則y′＝2cosx＋sinx．()

(3)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x＋2)，則f′(x)＝2x＋1.()

×

√

×

2．函數(shù)f(x)＝x2＋sinx的導數(shù)f′(x)＝()

A．2x＋cosxB．2x＋sinx

C．x＋cosxD．x－cosx

答案：A

解析：由f(x)＝x2＋sinx，可得f′(x)＝2x＋cosx.

3．函數(shù)y＝sinx·cosx的導數(shù)是()

A．y′＝cos2x＋sin2x

B．y′＝cos2x－sin2x

C．y′＝2cosx·sinx

D．y′＝cosx·sinx

答案：B

解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.

4．函數(shù)f(x)＝x＋在x＝1處的導數(shù)是________．

答案：0

解析：因為f′(x)＝(x＋)′＝x′＋′＝1－，所以f′(1)＝1－1＝0.

題型探究·課堂解透

題型1利用導數(shù)的加法與減法法則求導

例1求下列函數(shù)的導數(shù)．

(1)y＝2x3＋x2－x＋1；

(2)y＝x4＋cosx；

(3)y＝ex＋lnx．

解析：

(1)y′＝(2x3)′＋(x2)′－(x)′＋(1)′＝6x2＋2x－1.

(2)y′＝(x4)′＋(cosx)′＝4x3－sinx.

(3)y′＝(ex)′＋(lnx)′＝ex＋.

方法歸納

熟記常見基本初等函數(shù)的求導公式是進行求導運算的前提．

判斷所給函數(shù)解析式的結構特點，選擇正確的公式和運算法則．

鞏固訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)．

(1)y＝x5＋x3；

(2)y＝5x－lnx；

(3)y＝log5x＋sinx．

解析：

(1)y′＝′＋′＝x4＋2x2.

(2)y′＝(5x)′－(lnx)′＝5xln5－.

(3)y′＝(log5x)′＋(sinx)′＝＋cosx．

題型2利用導數(shù)的乘法與除法法則求導

例2求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；

(2)y＝；

(3)y＝excosx．

解析：

(1)y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′

＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3.

(2)y′＝

＝＝.

(3)y′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝ex(cosx－sinx)．

方法歸納

求函數(shù)導數(shù)的策略

對一個函數(shù)求導時，要緊扣導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式．當不易直接應用導數(shù)公式時，應先對函數(shù)進行化簡(恒等變形)，然后求導．這樣可以減少運算量，優(yōu)化解題過程．

鞏固訓練2求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)f(x)＝(x2＋1)(x－)；

(2)f(x)＝.

解析：

(1)f′(x)＝2x(x－)＋(x2＋1)(1＋)＝3x2＋.

(2)f′(x)＝＝.

題型3利用導數(shù)運算法則解決與切線有關的問題

例3已知函數(shù)f(x)＝ax2＋lnx的導數(shù)為f′(x)．

(1)求f(1)＋f′(1)；

解析：(1)由題意，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，

由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋，

所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

(2)若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍．

解析：(2)因為曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，故此時切線斜率為0，問題轉化為在x∈(0，＋∞)內導函數(shù)f′(x)＝2ax＋存在零點．

令f′(x)＝0，即2ax＋＝0有正實數(shù)解，

即2ax2＝－1有正實數(shù)解，故有a<0，

所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)．

方法歸納

解與切線有關問題的策略

鞏固訓練3

已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導函數(shù)f′(x)＝2x－8.

(1)求a，b的值；

解析：(1)

因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，

所以f′(x)＝2ax＋b.

又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.

(2)設函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程．

解析：(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3