線性代數(shù)第四講矩陣的初等變換

線性代數(shù)第四講矩陣的初等變換第1頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月①②①②1.引例在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

顯然交換B的第1行與第2行即得B1

增廣矩陣的比較例如下頁第2頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月③2③2顯然把B的第3行乘以(1/2)即得B2

1.引例在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

例如增廣矩陣的比較下頁第3頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月①2②①2②顯然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3

1.引例在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

例如增廣矩陣的比較下頁第4頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月線性方程組與其增廣矩陣相互對應(yīng)對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對方程組的增廣矩陣的變換

把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上就得到矩陣的三種初等變換1.引例在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

下頁第5頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義5.1

矩陣的初等行(列)變換

(i)對調(diào)兩行(列)(ii)以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去2.矩陣的初等變換這三種變換都是可逆的且其逆變換是同一類型的初等變換例如變換krj+ri的逆變換為(k)rj+ri

rirj(cicj)對調(diào)i

j兩行(列)

rik(cik)表示第i行(列)乘非零數(shù)k

krj+ri

(kcj+ci)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上

初等變換的符號下頁

定義5.1

矩陣的初等行(列)變換

(i)對調(diào)兩行(列)——換法變換

(ii)以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素——倍法變換

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去——消法變換第6頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的等價關(guān)系如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B等價記作A~B

如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B行等價記作A~Br如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B列等價記作A~Bc等價關(guān)系的性質(zhì)

(i)反身性A~A

(ii)對稱性若A~B

則B~A

(iii)傳遞性若A~B

B~C

則A~C

下頁第7頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月~~~~~r3r4112140

111000

026112140

222005

5360

3343112142111223

1123

69792r3+r4矩陣初等變換舉例

r1r2r3+r22r1+r33r1+r4112140

11100

0

0

2600

013r2x1/25r2r33r2+r4r3x1/2r2+r1r3+r2行階梯形矩陣

行最簡形矩陣101040

11030

0

0

1300

00

000

00

00

0

0

13下頁第8頁，課件共10頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：任何矩陣總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變成行階梯形矩陣.例判斷下列矩陣是否為行階梯形矩陣.對行最簡形矩陣再施以初等列變換可變成一種形狀更簡單的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形其特點是左上角是一個單位矩陣其余元素全為0

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形