第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)教學(xué)課件

一元積分學(xué)一、不定積分

原函數(shù)：不定積分：性質(zhì)：內(nèi)容提要

可積條件：若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在I上可積不定積分的計算方法：第一換元法：第一換元法中函數(shù)u=φ(x)應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點來選取：

第二換元法：常用的第二換元法：注意還原1.三角代換：2.倒代換:被積函數(shù)的分母中含x.3.無理函數(shù)積分:注:借助三角形還原

分部積分法：U(x)和v(x)的選取方法：1.若被積函數(shù)含反函數(shù)(反三角函數(shù),對數(shù)函數(shù)),則取反函數(shù)為u(x)2.若被積函數(shù)是多項式與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)之積,則取多項式為u(x)3.若被積函數(shù)是三角函數(shù)(sinx,cosx)與指數(shù)函數(shù)之積,則取誰為u(x)均可,分部兩次

有理函數(shù)的積分：有理函數(shù)=多項式+四種簡單部分分式之和1.根據(jù)分母多項式因式分解的結(jié)果確定簡單部分分式的待定形式注:2.用待定系數(shù)法、特殊值法及綜合法確定待定系數(shù)3.不必死套公式，可根據(jù)被積函數(shù)的特點選擇適當(dāng)方法，如：對分子加一項再減一項進行化簡、變量替換等

三角有理函數(shù)的積分（萬能代換）：注:不必死套公式，可根據(jù)被積函數(shù)的特點，利用三角公式進行恒等變形，然后再進行變量替換、分部積分等二、定積分

性質(zhì)（7條）

中值定理：

兩類積分之間的聯(lián)系

廣義積分：分部積分：換元積分：三、定積分的應(yīng)用

微元法設(shè)量U與區(qū)間[a,b]有關(guān)，且對區(qū)間[a,b]具有可加性。將[a,b]分為若干個小區(qū)間，對應(yīng)于子區(qū)間[x,x+dx]的部分量為：

ΔUf(x)dx則U可用定積分表示。

用微元法解決實際問題的步驟：1.根據(jù)問題的具體情況，建立坐標(biāo)系，選取積分變量x，并確定x的變化區(qū)間[a,b]，即為積分區(qū)間。2.任取小區(qū)間[x,x+dx][a,b],估計相應(yīng)這個小區(qū)間的部分量U的近似值dU,即UdU=f(x)dx3.則U=

幾何上的應(yīng)用abx0yX－型區(qū)域1.面積Y－型區(qū)域cdx0y參數(shù)方程情形abx0y極坐標(biāo)方程情形x0y2.體積繞x軸旋轉(zhuǎn)體的體積abx0yabx0y繞y軸旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積已知的立體的體積3.曲線的弧長

物理上的應(yīng)用1.變力所做的功2.水壓力3.引力4.質(zhì)量(應(yīng)用微元法解決問題)

平均值要求1.熟練掌握不定積分和定積分的概念及性質(zhì)(包括中值定理)2.熟練掌握不定積分和定積分的計算(換元法和分部積分法)3.熟練掌握N－L公式4.熟練掌握變上限積分的導(dǎo)數(shù)5.熟練掌握定積分的應(yīng)用(微元法幾何、物理)6.掌握廣義積分的定義(收斂、發(fā)散）客觀題一、填空2.由曲線y=lnx與兩直線y=e+1－x及y=0圍城的平面圖形的面積S＝————，二、選擇填空11.廣義積分（）是收斂的一般計算題幾個注意事項：1.利用對稱性；2.開方時要加絕對值，并去絕對值；3.分段函數(shù)的積分計算；4.變上限函數(shù)積分的計算；5.原函數(shù)的概念；6.判別積分是否是廣義積分。證明題及綜合練習(xí)題將定積分與介值定理、中值定理、泰勒公式綜合運用，證明等式或不等式定積分的應(yīng)用一、幾何應(yīng)用（面積、體積、弧長）1.在第一象限內(nèi)求曲線一點,使該點的切線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小，并求此最小面積常常與曲線、法線、最大值和最小值結(jié)合，形成綜合問題注２.設(shè)D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0,x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞ox軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積3.過點P(1,0)作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成旋轉(zhuǎn)體的體積。10.兩個半徑為R的圓柱中心軸垂直相交，求這兩個圓柱公共部分的體積V.二、物理應(yīng)用（變力作功、水壓力、引力）注意直接用微元法將其轉(zhuǎn)化為定積分。1.引入?yún)?shù),建立坐標(biāo)系;2.確定積分變量和積分區(qū)間3.建立微元;4.計算定積分.1.一個半球形容器，其半徑為R，容器中盛滿了水，現(xiàn)將容器中的水全部從容器口抽出，需作功多少？解：取x為積分變量，任取[x，x+dx]［０,R］2.一密度為2.5,底半徑為Rm,高為Hm的圓柱體沉入水中,上底與水面平齊,求把它撈出水面所做的功,其中為水的密度.3.用錘子將一鐵釘擊入木板,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比,在擊第一次時,將鐵釘擊入木板1cm.如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等,問錘擊第二次時,鐵釘又擊入多少?4.有一等腰梯形閘門，其上底長10m，下底長6m，高20m，該閘門所在的面與水面垂直，且上底與水面平齊，求該閘門一側(cè)所受到的壓力。說明：可將梯形換為：圓、橢圓、三角形、矩形等其他圖形，也可將薄板放入水下離水面a的地方，還可斜放。5.一底為8m，高為6m的等腰三角薄板鉛直沉入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面3m，求薄板每面所受的壓力。6.設(shè)有一長為、線密度為ρ的均勻直棒，在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質(zhì)量為m