知識講解-平面直角坐標系中的基本公式

平面直角坐標系中的基本公式【知識梳理】要點一：直線坐標系（1） 定義：一條給出了原點、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說在這條直線上建立了直線坐標系.要點詮釋：一般地，我們約定數(shù)軸水平放置，正方向為從左到右.（2） 數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應法則：P<一一對應>實數(shù)x.（3） 記法：如果點P與實數(shù)x對應，則稱點P的坐標為x,記作P（x）.當x〉0時，點P位于原點右側(cè)，且點P與原點O的距離|OP|=x；當xV0時，點P位于原點左側(cè)，且點P與原點的距離|OP|=-x要點二：向量及數(shù)軸上兩點間的距離公式（1）定義：位移是一個既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本書簡稱為向量.從點A到點B的向量，記作AB.點A、B分別叫做向量^AB的起點、終點.向量的長度：線段AB的長叫做向量AB的長度，記作|AB|.相等的向量：數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量.數(shù)量：我們可用實數(shù)表示數(shù)軸上的一個向量~AB，這個實數(shù)叫做向量AB的坐標或數(shù)量.要點詮釋：要正確區(qū)分向量、向量的長度、向量的坐標（數(shù)量）這幾個概念，它們分別用AB、IABI、AB來表示；兩個向量相等，必須長度和方向都相同；零向量是起點和終點重合的向量，它的長度為0，方向不確定.（2） 位移向量的和：在數(shù)軸上，如果點A作一次位移到點B，接著由點B再作一次位移到點C，則位移AC叫做位移AB與位移B的和，記作AC=AB+BC.要點詮釋：作和向量的規(guī)律特點：前一個向量的終點是下一個向量的起點（尾首相接），而和向量是第一個向量的起點指向最后一個向量的終點（首尾相連）.（3） 數(shù)量和：數(shù)軸上任意三點A、B，C，都具有關系AC=AB+BC.要點詮釋：這個公式反映了數(shù)軸上向量加法的坐標運算法則，是解析幾何的基本公式.數(shù)軸上任意三點.A、B、C都有關系AC=AB+BC，但不一定有|AC|=|AB|+|BC|，它與A、B、C三個點的相對位置有關.（4） 數(shù)軸上兩點間的距離公式：向量的坐標計算公式：設AB是數(shù)軸上的任意一個向量，點A的坐標為七，點B的坐標為x，則AB=x-x.2 2 1一般地，數(shù)軸上的任意一個向量的坐標等于它的終點坐標減去起點坐標.用d（A，B）表示A，B兩點的距離，可得數(shù)軸上兩點A，B的距離公式是d（A，B）=IABI=Ix2-\I.要點三：平面直角坐標系中兩點間的距離公式平面上有兩點A(x,y),B(x,y)，貝1 1 2 2兩點間的距離為d(A,B)=|AB|=\：''(x-x)2+(y-y)2.2 1 2 1要點詮釋：兩點間的距離公式是一個很重要的公式，要熟練地掌握，記住公式的形式，對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可以直接利用距離公式的特殊情況求解.要點四：中點坐標公式若A(x，y)、B(x，y)，則線段AB的中點M(x，y)的坐標計算公式為x= ，y= -1 1 2 2 2 2要點詮釋：此公式的推導過程中注意把問題向數(shù)軸上轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)學上的轉(zhuǎn)化思想.要點五：坐標法通過建立平面直角坐標系，用代數(shù)方法來解決幾何問題的方法叫做坐標法，其體現(xiàn)的基本思想是數(shù)形結合思想.用解析法解決幾何問題的基本步驟如下：選擇坐標系.坐標系的選擇是否恰當，直接關系到以后的論證是否簡潔.原則：選擇坐標系要使得問題所涉及的坐標中盡可能多地出現(xiàn)零.為此，常常有以下約定：①將圖形一邊所在的直線或定直線作為x軸.②對稱圖形，則取對稱軸為X軸或y軸.③若有直角，則取直角邊所在的直線為坐標軸.④可將圖形的一個定點或兩個定點連線的中點作為原點.標出圖形上有關點的坐標，按已知條件用坐標表示等量關系.通過以上兩個程序，把幾何問題等價轉(zhuǎn)化為代數(shù)式來計算.【典型例題】類型一：向量及數(shù)軸上點的距離公式例1.已知A、B、C是數(shù)軸上任意三點.若AB=5，CB=3，求AC；證明：AC+CB=AB；若|AB|=5，|CB|=3，求|AC|.【答案】(1)2(2)略(3)2或8【解析】(1)AC=AB+BC=AB-CB=5-3=2.證明：設數(shù)軸上A、B、C三點的坐標分別為x、x、x，則AC+CB=(x一x)+(x一x)=x一x=AB，ABC CABCBA故AC+CB=AB.當點C在A、B兩點之間時，由下圖①可知|AC|=|AB|-|BC|=5-3=2；1~C $?X -JBC~m①②當點C在A、B兩點之外時，由上圖②可知|AC|=|AB|+|BC|=5+3=8.綜上所述，|AC|=2或8.【總結升華】向量及向量長度的計算應熟練地運用公式AB=xB-xA，及|AB|=IxB-xAI=lxA-xBI進行求解.對于(3)要注意點B(或點C)的位置，若不確定應分類討論.舉一反三：【變式1】已知數(shù)軸上A、B兩點的坐標分別為x1=a+b，x2=a一b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).【答案】—2b2b21bI21bI【解析】AB=x—x=(a—b)—(a+b)=—2b,BA=x—x=(a+b)—(a—b)=2b,d(A,B)=1頊x「=21b1,d（B,A）=Ix1—x2I=2IbI.【變式2】關于位移向量，下列說法正確的是 （）數(shù)軸上任意一個點的坐標有正負和大小，它是一個位移向量兩個相等的向量的起點可以不同每一個實數(shù)都對應數(shù)軸上的唯一的一個位移向量AB的大小是數(shù)軸上A、B兩點到原點距離之差的絕對值【答案】B【解析】 一個點的坐標沒有大小，每個實數(shù)對應著無數(shù)個位移向量。 IABI=IxB-XAI，不一定為IABI=IIxI-1xII.故選B.【變式3】化簡AB—AC—BC等于 （）A.2BC B.零位移C.—2BC D.2AC【答案】C【解析】?.?AB=AC+CB=AC—BC,...AB—AC—BC=（AC—BC）—AC—BC=—2BC，故選C.【總結升華】巧用公式AC=AB+BC.IACIIADI4例2.已知A、B是直線l上的定點，C點在線段AB上，D點在AB的延長線上，且AB=6,- = =-ICBIIDBI3求向量DC的坐標.…4【答案】一20]【解析】如圖，以l為數(shù)軸，不妨令A為坐標原點，點B在數(shù)軸上的坐標為6,設C、D在數(shù)軸上的坐標分別為x1、x2-0（A） 1IACIACx4 24IADIADx4由圖可得—===—1—=—，解得x=—-又^——>= =—2—=—，解得xICBICB6—xi3i7IDBIBDx2—634向量DC的坐標DC=x—x=—20].類型二：兩點間的距離公式及中點坐標公式例3.已知點A(-3,4),B(2,指)，在x軸上找一點P,使得|PA|=|PB|,并求出|PA|的值.【思路點撥】本題利用x軸上點的坐標特點，利用兩點間的距離公式解題。【解析】設P(x,0),則有IPAI=<(x+3)2+(0—4)2=32+6x+25；IPBI=U(x-2)2+(0—、③2=、：x2-4x+7.由|PA|=|PB|,可得\;，x2+6x+25=\x2一4x+7,9 (9一、 2^109解得x=一云，從而得P一三,0，且1PA1=—-—.5 V5J 5【總結升華】尋找題中的關系，并利用關系求解是關鍵.舉一反三：【變式1】已知點A(-1,2),B(2J7)，在x軸上求一點P,使|PA|=\PB?！敬鸢浮縋的坐標為(1,0)例4.已知菱形的三個頂點分別是A(a,b),B(-b,a),O(0,0),求它的第四個頂點C的坐標.【答案】(a-b,a+b)【解析】...|OA|=|OB|=^a2+b2,|AB|=((a+b)2+(b—a)2=、:'2(a2+b2),|AB21OA|，且|AB21OB|.?.?A、B為兩相對頂點.yO+y

02x=a一b,y=a+b,?.?頂點C的坐標為(a-b,a+b).【總結升華】弄清概念，記準公式，培養(yǎng)思維的縝密性.舉一反三：【變式1】平行四邊形ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求頂點D的坐標。【答案】(1,5)例5.已知^ABC的頂點分別為A(-a,0),B(a,0),C(0,*a).求證：^ABC是等邊三角形；求這個三角形的中線長.【思路點撥】(1)已知三角形三頂點坐標，利用兩點間的距離公式求出三邊長即可證明。(2)利用中點坐標公式，求出三邊中點的坐標，利用兩點間的距離公式可求得中線長?！敬鸢浮?1)略(2)(3|a|【解析】(1)證明：|AB|=&a+a)2+(0-0)2=2|a|，|BC|=\：'(0—a)2+(<3a—0)2=2|a|，

ICAl=.；(-a-0)2+(0-3a)2=21aI.|ab|=|bc|=|ca|???AABC是等邊三角形.⑵由⑴知AABC是等邊三角形，...它的三條中線長相等.?.?線段AB的中點坐標是(-a±a,0]=(0,0),V2 )即線段AB的中點為坐標原點O,又點C的坐標為（0,v'3a）,線段OC是^ABC的一條中線，它的長為IOCI=*IaI,故這個三角形的三條中線長均為際IaI.【總結升華】（1）此三角形的頂點都是特殊點，點A、B在x軸上，點C在y軸上，遇到這類題目要特別注意審題，畫出草圖，切忌盲目計算.本題若取BC邊的中點，計算BC邊上中線的長，不僅增加了計算量，而且容易出錯.此題意圖在于訓練審題和計算技巧.（2）已知平面內(nèi)三點，判斷三點位置關系的方法：第一步求出三點兩兩確定的線段長度，第二步由三角形兩邊之和大于第三邊作出判斷.舉一反三：【變式1】已知三角形的頂點分別為A（1,-1）,B（-1,3）,C（3,0）.（1） 求證：^ABC是直角三角形.（2） 求^ABC的面積.【解析】（1）證明：?.?IABI=偵（-1-1）2+[3-（-1）]2=偵而=2（5,IAC頃3-1）2+[0-（-1）2=、■,5,IBCI=、：'[3-（-1）2+（0-3）2=壬=5,.?.IABI2+1ACI2=IBCI2,?.?AABC是以A為直角頂點的直角三角形.（2）?由（1）知/A為直角，???AABC的面積S=^IABMACI=1x2（5x、p5=5.2 2【總結升華】先求出每兩個點間的距離，再用勾股定理驗證即可.根據(jù)兩條直角邊的長度，利用三角形的面積公式可以求出面積.例6.求函數(shù)f(x)=M2-12+37+Jx2-4x+13的最小值.【答案】4還【解析】?.Ex2—12x+27=\：''(x-6)2+1, {)\x2-4x+13=((x-2)2+9???如圖所示，可設A(6,1)、B(2,3)、P(x,0),則f(x)=IPAI+IPBI.要求f(x)的最小值，只需在x軸上找一點P,使|PA|+|PB|最小.設B關于x軸的對稱點為B'，則B'(2，-3).???IABfI=寸(2—6)2+(—3—1)2=4技，..?當B'、p、A三點共線時取等號，即|PA|+|PB|的最小值為4克，也就是f(x)的最小值為4攔.【總結升華】(1)涉及無理式，尤其是含平方根的形式，可以通過構造兩點間的距離公式求解；(2)在解決此類問題時常常用到對稱的思想.舉一反三：【變式1】求函數(shù)J=3+4+3—2x+2的最小值.【答案】近0【解析】原函數(shù)化為y=((x-0)2+(0-2)2+v'(x-1)2+(0+1)2.設A(0，2)，B(1，-1)，P(x，0)，借助幾何圖形可知它表示x軸上的動點P到兩個定點，A、B的距離的和.當A、P、B三點共線時，函數(shù)取得最小值..??y.=IABI=J(0-1)2+(2+1)2=面.例7.已知一個函數(shù)與函數(shù)y=—X2—2x+3的圖象關于點M(2，1)成中心對稱，求這個函數(shù)的解析式.【思路點撥】設出所求函數(shù)圖象上任意一點的坐標，然后利用中點坐標公式求出這個點關于M點的對稱點，這個對稱點一定在已知曲線上，把對稱點的坐標代入已知函數(shù)的解析式即可得?！敬鸢浮縴=x2—10x+23【解析】設A(x.y)是所求函數(shù)圖象上任意一點，,/兩函數(shù)的圖象關于點M成中心對稱，.??點A關于點M的對稱點B(x0，y0)一定在函數(shù)y=—x2—2x+3的圖象上．,/線段AB的中點是M，x=4一x，0y0=2-y-而點B(x0，y0)在函數(shù)y=—x2—2x+3的圖象上，即y=—x2—2x+3.2—y=—(4—x)2—2(4—x)+3，即y=x2—10x+23為所求函數(shù)的解析式.【總結升華】本題中點A、B都是動點，且分別位于兩條不同的曲線上，它們由對稱相聯(lián)系.解題的過程是用點A的坐標表示點B的坐標，然后由點B在已知函數(shù)的圖象上，代入點B的坐標，從而得到點A的坐標滿足的函數(shù)關系式.舉一反三：【變式1】點P(2,-1)關于點(3,4)的對稱點的坐標是()A. (1, 5) B. (4, 9)C. (5. 3) D. (9, 4)【答案】Bx+2 y+(―1)【解析】設所求的點的坐標為(x,y),由二一=3，，；/=4，得x=4,y=9.故選B.【總結升華】一般地，點(x,y)關于點(a,b)的對稱點的坐標為(2a—x,2b—y).0 0 0 0類型三：坐標