新教材人教A版5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象課件（46張）

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象必備知識·自主學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)(2)本質(zhì)：根據(jù)正切函數(shù)的解析式、圖象，總結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì).(3)應(yīng)用：畫正切函數(shù)的圖象，解決關(guān)于正切函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等問題.【思考】正切函數(shù)在整個定義域上都是增函數(shù)嗎？提示：不是.正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上是單調(diào)遞增的.但在整個定義域上不是增函數(shù).【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R. ()(2)正切函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心是原點. ()(3)存在某個區(qū)間，使正切函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞減的. ()提示：(1)×.正切函數(shù)的值域為R，而定義域是(2)×.正切函數(shù)的對稱中心是(k∈Z).(3)×.正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上都是單調(diào)遞增的.2.函數(shù)y=tan3x的最小正周期是_______.

【解析】函數(shù)y=tan3x的最小正周期是.答案：

3.(教材二次開發(fā)：例題改編)函數(shù)y=tan的定義域為_______.

【解析】因為2x-≠kπ+，k∈Z，所以x≠k∈Z，所以函數(shù)y=tan的定義域為答案：

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一正切函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=tan，則函數(shù)f(x)的最小正周期為 ()2.函數(shù)f(x)=cos+tanx為 ()3.函數(shù)y=的定義域為_______.

【解析】1.選B.方法一：由誘導(dǎo)公式可得tan所以周期為T=.方法二：函數(shù)y=tan(ωx+φ)的周期T=2.選A.f(x)=cos+tanx=sinx+tanx，定義域為關(guān)于原點對稱，因為f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x)，所以它是奇函數(shù).3.根據(jù)題意，得所以函數(shù)的定義域為答案：

【解題策略】求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y=tanx有意義即x≠+kπ，k∈Z.不對稱，則該函數(shù)無奇偶性，若對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.【補償訓(xùn)練】1.函數(shù)y=tan的最小正周期是 ()2.求函數(shù)y=+lg(1-tanx)的定義域.【解析】1.選D.T==π·=2.2.由題意得即-1≤tanx<1.在內(nèi)，滿足上述不等式的x的取值范圍是又y=tanx的周期為π，所以函數(shù)的定義域是(k∈Z).類型二正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)

角度1正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例】函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)區(qū)間為_______.

【思路導(dǎo)引】把看作一個整體，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】由題意知，k∈Z，即k∈Z，所以故單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).答案：(k∈Z)【變式探究】如果將本例中函數(shù)變?yōu)閥=tan，求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】y=得2kπ-<x<2kπ+π，k∈Z，所以函數(shù)y=tan的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z.角度2利用正切函數(shù)比較大小

【典例】1.比較大小：①tan32°_______tan215°；

②tan_______tan

2.tan1，tan2，tan3，tan4從小到大的排列順序為_______.

【思路導(dǎo)引】運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；再運用單調(diào)性比較大小關(guān)系.【解析】1.①tan215°=tan(180°+35°)=tan35°，因為y=tanx在(0°，90°)上單調(diào)遞增，32°<35°，所以tan32°<tan35°=tan215°.②

因為y=tanx在上單調(diào)遞增，答案：①<②<2.因為y=tanx在區(qū)間上單調(diào)遞增，且tan1=tan(π+1)，又<2<3<4<π+1<，所以tan2<tan3<tan4<tan1.答案：tan2<tan3<tan4<tan1【補償訓(xùn)練】下列不等式中，成立的是 ()【解析】選D.角度3求正切函數(shù)的值域、最值

【典例】1.函數(shù)y=的值域是 ()A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，1) D.(-1，+∞)2.函數(shù)y=tan2x+4tanx-1的值域是_______.

【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出y=的值域即可.2.換元，把函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域；注意，換元時一定要求出新元的取值范圍.【解析】1.選B.當(dāng)-<x<0時，-1<tanx<0，所以<-1；當(dāng)0<x<時，0<tanx<1，所以>1.即當(dāng)x∈時，函數(shù)y=的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞).2.令t=tanx，則t∈R，故y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5，所求的值域為[-5，+∞).答案：[-5，+∞)【解題策略】1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω>0，由于y=tanx在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ-<ωx+φ<kπ+(k∈Z)，求得x的范圍即可.(2)若ω<0，可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可.第一步：運用學(xué)過的三角函數(shù)的周期和誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間上；第二步：運用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(1)對于y=tanx在不同區(qū)間上的值域，可以結(jié)合圖象，利用單調(diào)性求值域.(2)對于y=Atan(ωx+φ)的值域，可以把ωx+φ看成整體，結(jié)合圖象，利用單調(diào)性求值域.(3)對于與y=tanx相關(guān)的二次函數(shù)，可以把tanx看成整體，利用配方法求值域.【補償訓(xùn)練】已知f(x)=tan2x-2tanx求f(x)的值域.【解析】令u=tanx，因為|x|≤，所以u∈，所以函數(shù)化為y=u2-2u.對稱軸為u=1∈.所以當(dāng)u=1時，ymin=12-2×1=-1.當(dāng)u=-時，ymax=3+2.所以f(x)的值域為[-1，3+2].類型三正切函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間及對稱中心；(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集；(3)作出函數(shù)y=f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖.【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象找出f(x)的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間及對稱中心.(2)根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性解不等式.(3)利用三點兩線法作出正切型函數(shù)的圖象.【解析】(1)由≠+kπ(k∈Z)得x≠+2kπ(k∈Z)，所以f(x)的定義域是因為ω=，所以周期T==2π.由-+kπ<<+kπ(k∈Z)，得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是由(k∈Z)得x=kπ+π，故函數(shù)f(x)的對稱中心是(k∈Z).(2)由-1≤tan≤，得解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).所以不等式-1≤f(x)≤的解集是(3)所以函數(shù)y=tan的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)是在這個交點左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是從而得函數(shù)y=f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖(如圖).【解題策略】正切函數(shù)型綜合題解題方法對于形如y=tan(ωx+φ)(ω、φ為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖象的研究，應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象為基礎(chǔ)，運用整體思想和換元法求解.如果ω<0，一般先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進(jìn)行求解.【補償訓(xùn)練】畫出函數(shù)y=|tanx|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性.【解析】由y=|tanx|，得y=其圖象如圖所示.由圖象可知，函數(shù)y=|tanx|是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)，周期為π.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.與函數(shù)y=tan的圖象不相交的一條直線是 ()【解析】選D.當(dāng)x=的正切值不存在，所以直線x=-與函數(shù)的圖象不相交.2.在(0，2π)內(nèi)，使tanx>1成立的x的取值范圍為 ()【解析】選D.因為x∈(0，2π)，由正切函數(shù)的圖象，可得使tanx>1成立的x的取值范圍為3.(教材二次開發(fā)：練習(xí)改編)函數(shù)f(x)=|tan2x|是 ()C.周期為的偶函數(shù)D.周期為的奇函數(shù)【解析】選C.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan2x|=f(x)為偶函數(shù)，T=.4.比較大?。簍an_______tan

【解析】因為tan=tan，tan=tan，又0<y=tanx在內(nèi)單調(diào)遞增，答案：<5.函數(shù)y=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是_______.

【