1.2 空間向量基本定理 教學課件

第一章

空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理人教A版2019高中數學選擇性必修第一冊我們知道，平面內的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理).類似地，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量來表示呢?共面向量定理:

如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一實數對x,y，使

我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論.如圖示,設是空間中三個兩兩垂直的向量,且表示它們的有向線段有公共起點O.對于任意一個空間向量,設為在所確定的平面上的投影向量.

因此，如果是空間三個兩兩垂直的向量,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得OQP探究在空間中，如果用任意三個不共面的向量代替兩兩垂直的向量你能得出類似的結論嗎?一、空間向量基本定理：定理如果三個向量不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數組(x,y,z)，使得(1)任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底;(3)一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關連的不同概念.其中叫做空間的一個基底，叫做基向量.說明:對于基底，除了應知道

不共面，還應明確:(2)由于與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是;1.已知向量是空間的一個基底，從中選哪一個向量，一定可以與向量構成空間的另一個基底?－－

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－練習2.已知O,A,B,C為空間的四個點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O,A,B,C是否共面?－－

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－練習二、單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量，均可以分解為三個向量使像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.由空間向量基本定理可知，如果把三個不共面的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個基向量表示出來.進一步地，所有空間向量間的運算都可以轉化為基向量間的運算，這為解決問題帶來了方便.OBA例1如圖示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且

用向量表示COBAMNP解：3.如圖，已知平行六面體OABC-O′A′B′C′.點G是側面BB′C′C的中心，且(1)是否構成空間的一個基底?(2)如果構成空間的一個基底，那么用它表示下列向量:ACOBC′O′B′A′G－－

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－練習例2如圖示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分別為D1C1,C1B1的中點.求證：MN⊥AC1.ACDBC1D1B1A1NM例3如圖示,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E,F,G分別為C'D′,A'D',D'D的中點.(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.BDCA′B′C′D′AGFE－－

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－練習1.已知四面體OABC，OB=OC,∠AOB=∠AOC=θ.求證:

OA⊥BC.COBA－－

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－練習2.如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=3，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°.求BC'與CA'所成角的余弦值.ACDBC′D′B′A′3.如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，CD