清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)第講常微分方程三課件-002

第二十三講常微分方程（三）二、常微分方程應(yīng)用舉例一、可降階微分方程逐次積分一、

高階可降階微分方程積分一次再積分一次2023/7/242變量替換原方程變形成為一階2023/7/243特點(diǎn)是：不顯含y[解]積分,得通解2023/7/244[解2]注意到方程的特殊性積分,得通解2023/7/245一階變量替換原方程變形成為2023/7/246特點(diǎn)是：不顯含x[解]方程化為分離變量積分2023/7/247分離變量解得2023/7/248列方程的常用方法(1)利用物理定律列方程(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程(3)利用微元分析法列方程二、常微分方程應(yīng)用舉例2023/7/249[解]

取時(shí)間t為自變量，物體的溫度T(t)為未知函數(shù).由牛頓冷卻定律知初始條件2023/7/2410另外還有一個(gè)條件:可用來確定比例常數(shù)k分離變量，得兩邊積分，得代入上式，得代入，得2023/7/2411將T=30代入，解出即，還需再經(jīng)過物體的溫度即可降為2023/7/2412[例2]已知曲線上任一點(diǎn)P(x,y)處的切線在

x軸上的截距等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的一半,

且過定點(diǎn)(2,1),求此曲線的方程.[解]2023/7/2413由題意得

又已知曲線過點(diǎn)(2,1),于是得到定解問題分離變量求得通解2023/7/2414[例3]試設(shè)計(jì)一反光鏡,使它能將點(diǎn)光源發(fā)出的光反射成為平行光[解]點(diǎn)光原位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,由點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)反射都成為平行于x軸的平行光由光的反射定律2023/7/2415于是有根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到微分方程一階齊次變形為2023/7/2416分離變量代入(1)式，得2023/7/2417積分，得取指數(shù)2023/7/24182023/7/2419[解]列方程，確定初始條件已知，在任何一段時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)含鹽改變量=流進(jìn)鹽量–流出鹽量若溶液的濃度不變，則流出鹽量=濃度流出的溶液量問題中，溶液的濃度始終在變，如何解決?考慮微小時(shí)間間隔dt內(nèi)的變化情況設(shè)時(shí)刻t時(shí)溶液的含鹽量為2023/7/2420

當(dāng)時(shí)間從t變到t+dt時(shí)，容器內(nèi)的含鹽量由Q變到Q+dQ，因而容器內(nèi)含鹽改變量為dQ從容器內(nèi)流出的溶液量為2dt

在時(shí)間dt內(nèi)鹽水的濃度近似看作不變，看作是t時(shí)刻的鹽水濃度所以流出的鹽量為2023/7/2421于是有初始條件分離變量通解特解282023/7/2422[解]此問題涉及水面高度隨時(shí)間的變化規(guī)律根據(jù)水利學(xué)定律，流出速度2023/7/2423

考慮任意時(shí)刻t，任取時(shí)間區(qū)間[t,t+dt]在dt時(shí)間內(nèi)，水面高度的改變?yōu)閐h

取時(shí)間t為自變量，水面高度h(t)為未知函數(shù)，并取坐標(biāo)系如圖漏斗內(nèi)水的體積改變量為2023/7/2424下落水的體積=流出水的體積于是列出微分方程初始條件

另方面,時(shí)間dt

內(nèi)從小孔流出水的體積等于以S為底，以(vdt)為高的小圓柱體積2023/7/2425經(jīng)整理得解得當(dāng)水流完時(shí)，h=02023/7/2426正交軌線問題2023/7/2427思路：2023/7/24282023/7/2429這就是正交曲線族！通解2023/7/2430392023/7/2431[解]2023/7/24322023/7/2433寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefoundationofsuccessliesingoodhabi