2023年高考數學圓錐曲線復習題解析版

2023年高考圓錐曲線復習題

1.已知橢圓-7+匕=1(a>b>Q)過點(后0),其焦距的平方是長軸長的平方與短軸

a2bz

長的平方的等差中項.

(1)求橢圓的標準方程：

(2)直線/過點M(l,0),與橢圓分別交于點A,B,與)，軸交于點N,各點均不重合

且滿足。4=九40，NB=nBM,求人+p.

【分析】(1)由已知條件推導出b=\,(2a)2+(28)2=2(2c)2,由此能求出橢圓的

方程.

(2)設直線1的方程為y=Z(x-1),A(xi,yi),B(%2,”)，聯立直線方程與橢圓方

22

程，可得打+小=—要，%62=咚心，由已知可得得;1=昌，〃=備，即可求

3k+13k+112

解.

【解答】解：(1)設橢圓的焦距為2c,

由題意知。=且C2a)2+(2b)2=2(2c)2,

又心=》+心,Z?2=l,

，橢圓的方程為丁+y?=1.

(2)由于直線1過點M(l,0),與y軸交于點N,所以直線/的斜率左存在.

設直線1的方程為)=々G-1),得N(0,-k),

設A(xi,yi),B(x2,y2),

Iy=/c(x—1)/6k23k2-3

由〈2得(3Z?+1)x2-6k2x+3k2-3=0,%i4-x=-n——

信v+y2=L23k2+1%1%23k2+l

9

：NA=AAMf

,:(xi,yi+&)=入(1-川，-yi),解得、=

同理可得〃=忌，

6k2_2(3/C2-3)

""""22

則叱禽+備X1+X2—2X1X23k+13k+1__o

22——J

1-(%+%2)+^1%16k’,3/cZ-3

121一一j-+—5—

3/+13/+1

【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系、向量知識和等價轉化思

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想的合理運用.屬于中檔題.

2.已知拋物線C：V=4x,A為拋物線C上第一象限內的一點，且在直線x=2的右側，已

知點M（2,0）,點8（-2,0）.連接54交拋物線C于點D

T1T

（1）若求A點的坐標；

（2）設4。的中點為M且求△AOM面積的最大值.

【分析】（1）由題意設點A（a，2r）,r>0,由于點A在直線x=2的右側，可得f>e,

寫出直線BA的方程，聯立拋物線的方程，結合韋達定理可得加?邛=8,解得

）必由可得（a-加），解得r,即可得出答案.

（2）由⑴知點。（妥，》，由于AO的中點為MiL\MN\>||AD|,則扇1?詁NO,

進而解得f的范圍，利用函數的單調性，解得弘地“=4（f-5的最大值.

【解答】解：（1）由題意設點4（?,2f）,

由于4為拋物線C上第一象限內一點，

所以f>0,

因為點A在直線x=2的右側，可得尸>2,B|Jr>V2,

直線BA的方程為尸號（x+2）,

/-2I2

解得x=—-2,

代入y2=4x,

得V-2&：+2）尹8=0,

由韋達定理可得加?泗=8,

所以加='=*

T〔T1

因為30=2。/,可得”）=2（M-叩），

41A

所以］=-（2r—-）,解得t=V6,

所以A點坐標為（6,2V6）.

44

（2）由（1）知點。（―,

因為AO的中點為N,且加。1，

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則NAM。W90°,

所以總?薪>0,

—?44

因為MA=(尸-2,2f),MD=(―-2,-),

t乙t

44

從而(P-2)(――2)+2/*->0,

化簡可得Z4-8?+4^0,

解得4-2V3<?<4+2V3,

由于f>VL解得迎<±1+遮,

11482

SAADM=S&ABM~S^BDM—々x4XIt—)x4x—=4/——=4(/——)?

令于（t）=t-p則/（，）在（VLi+百］上單調遞增,

2

所以/(f)max=f(1+V3)—1+V3—=2,

1+75

所以，△AM。的面積的最大值為8.

【點評】本題考查向量與圓錐曲線的關系，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

3.拋物線具有如下光學性質：由其焦點發(fā)出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱

軸的方向射出如圖，已知拋物線C：x1=2py（p>0）的焦點為F,。為坐標原點.一條

平行于），軸的光線從上方射向拋物線C,經拋物線上M,N兩點反射后，又沿平行于y

軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距離為4.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過N向拋物線的準線作垂線，垂足為P,證明：M,O,P三點共線.

【分析】（1）先設出M,N的坐標，再求出拋物線的焦點的坐標，則可設直線的方

程，并與拋物線方程聯立，寫出韋達定理，由弦長公式求出兩平行光線間的距離，并求

出距離的最小值令其等于4,即可求出p的值，從而求出拋物線的方程；

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(2)可得「(X2,-1),k0M=察=泉k0p=1，由X1X2=-p2=-4,可得kop=今=koM,

X1x24

即可證明M,O,P三點共線.

【解答】解：（1）設M（xi,yi）N（孫*）,

由已知可得拋物線的焦點尸（0,9，則設直線MN的方程為尸丘+塔

x2=2py汽c

_,p.得x2_2成r_p2=0,

（y=KX十】

所以Xl+X2=2p&,X\X2=-p2?

則兩平行光線距離d=\x\-X2\=J（%1+%2）2—4%1不=J3P2k2+4P2>2^,

所以2p—4,

故拋物