數(shù)值分析 二分法

第1頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1方程求根與二分法一、本章解決的問題二、求根的兩個步驟三、二分法第2頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月一、本章解決的問題在科學計算中常要求解各種方程，這些方程看似簡單，但難于求其精確解。而實際問題：只要能獲得滿足已定精確度的近似根就可以了。高次代數(shù)方程超越方程第3頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月本章解決的問題：f(x)為非線性函數(shù)或高次代數(shù)方程，若有數(shù)x*使f(x*)=0成立，則稱x*為方程f(x)=0的根(零點)。求

f(x)=0的根若f(x)可分解為m是正整數(shù)，且g(x*)≠0當m=1，稱x*是單根；當m>1，稱x*是m重根.第4頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月xy0y=f(x)方程根的幾何意義第5頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月二、求根的兩個步驟(1)確定根的初始近似值(稱之為初始近似根)，一般為一個包含根的區(qū)間，稱為“有根區(qū)間”(2)根的精確化。根據(jù)根的初始近似值按某種方法逐步精確化，直至滿足預先要求的精度為止。第6頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月如何求有根區(qū)間呢？逐步掃描法原理：設f(x)在[a,b]連續(xù)，且f(a)f(b)<0。則由連續(xù)函數(shù)的性質知f(x)=0在(a,b)內至少有一個根。若f(x)在[a,b]上單調，則f(x)=0在(a,b)上有且僅有一個根。第7頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月xyy=f(x)0故總假設(a,b)上有唯一根第8頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月逐步掃描算法(1)x0←a；(2)若

f(x0)f(x0+h)<0，則x*必在(x0,x0+h)中，取x0或x0+h作為有根區(qū)間，否則轉(3);(3)x0←x0+h，轉(2)；第9頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月例如考慮方程解由于故方程至少有一個正實根。設從x=0出發(fā)，取h=0.5為步長向右計算，將各個點上的函數(shù)值列于下表：x00.51.01.5f(x)

―――+第10頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月由于,且f(x)在區(qū)間[1，1.5]上滿足由此可知在(1，1.5)內有且僅有一個實根，故可取作為有根區(qū)間。(1，1.5)第11頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月下面將介紹幾種常用的數(shù)值解法：——二分法——簡單迭代法——牛頓迭代法——弦截法第12頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二分法/*BisectionMethod*/1.二分法的原理原理：若f

C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，則f

在(a,b)上必有一根x*。第13頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二分法的實施將方程根的區(qū)間平分為兩個小區(qū)間，然后判斷根在哪個小區(qū)間，舍去無根的區(qū)間，而把有根區(qū)間再一分為二，再判斷根屬于哪個更小的區(qū)間，如此周而復始，直到求出滿足精度要求的近似根。第14頁，課件共15頁，創(chuàng)作于20