東南大學(xué)工程矩陣?yán)碚?006

工程矩陣?yán)碚?教材

工程矩陣?yán)碚摚瑥埫鞔荆瑬|南大學(xué)出版社參考書(shū)高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等教育出版社MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,1985(中譯本，楊奇譯，天津大學(xué)出版社）2要求重點(diǎn)是基本理論，基本方法；結(jié)合授課內(nèi)容，熟悉課本；通過(guò)例題，掌握相關(guān)概念和理論；通過(guò)練習(xí)題，熟悉相關(guān)理論、方法；及時(shí)復(fù)習(xí)、總結(jié)，鞏固所學(xué)內(nèi)容。3本課程大致內(nèi)容第0章復(fù)習(xí)與引深第1章線性空間與線性變換第2章內(nèi)積空間、等距變換第3章矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第4章Hermite二次型第5章范數(shù)及矩陣函數(shù)第6章矩陣的廣義逆4矩陣?yán)碚?第0章復(fù)習(xí)與引深矩陣運(yùn)算線性方程組向量組的極大無(wú)關(guān)組及秩矩陣的秩及等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形6矩陣的乘法中應(yīng)注意的問(wèn)題1存在非零零因子例1

72不可交換8由此導(dǎo)致的一些問(wèn)題乘法消去律不成立一些代數(shù)恒等式對(duì)矩陣不再成立9例310分塊矩陣的乘法規(guī)則設(shè)在一定條件下，也可以寫(xiě)成分塊矩陣將這兩個(gè)矩陣分塊：其中，11條件：上式有意義12一些特殊的分塊形式1.13（接上頁(yè)）14（接上頁(yè)）15（接上頁(yè)）16非齊次線性方程組1.線性方程組2.3.17齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系對(duì)于齊次線性方程組1.有非零解當(dāng)且僅當(dāng)18Gauss消元法19例520簡(jiǎn)化階梯形矩陣21例522例623例624向量組的極大無(wú)關(guān)組及秩25例726矩陣的秩矩陣A的秩=A中非零子式的最高階數(shù)=A的行（列）向量組的秩有關(guān)矩陣的秩的不等式：27例8若A是可逆矩陣，證明r(AB)=r(B).28例9設(shè)A是n階冪等矩陣，證明：29矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形30（滿秩分解）31例11：32

線性空間和線性變換第一章

33第一節(jié)線性空間的定義用F表示實(shí)數(shù)全體（R）或復(fù)數(shù)全體（C）.34如果滿足下述公理，則稱(chēng)V是數(shù)域F上的線性空間，V中的元素稱(chēng)為是向量。35例136例1（續(xù)）37線性空間的性質(zhì)38第二節(jié)基、維數(shù)和坐標(biāo)如：

在線性空間中可以定義線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、秩等概念。39一些重要結(jié)論40一些重要結(jié)論（續(xù)）41例142定義（基，維數(shù)）43注：44例245定理146定義（坐標(biāo)）：47例448例549注2.基的幾何意義1.線性空間的基是有序的。

50定理251例652例753形式記號(hào)54形式記號(hào)55形式記號(hào)的性質(zhì)56例857定義(過(guò)渡矩陣)58過(guò)渡矩陣的性質(zhì)59例960定理3(坐標(biāo)變換公式)61例1062第三節(jié)子空間,交與和63定理164兩類(lèi)重要的子空間65命題：66例167例268例369例470定理271子空間的交與和72注：交與并的區(qū)別73定理4（維數(shù)定理）74例575例676例777直和78定理579例880例981多個(gè)子空間的直和82

定理683第四節(jié)線性映射84定義：85例186例287線性映射的性質(zhì)：88注89例390例491線性變換的運(yùn)算92線性變換的運(yùn)算的性質(zhì)：93線性映射（變換）的矩陣：94例595定理296定理397例698定理499第五節(jié)線性映射的值域及核子空間100值域的計(jì)算101核子空間的計(jì)算102定理2（線性變換的維數(shù)定理）103例1104定義（不變子空間）：105為何要討論不變子空間？106例2107第二章內(nèi)積空間、等距變換108第一節(jié)基本概念本章的目的：將內(nèi)積推廣到抽象的線性空間約定：數(shù)域F指實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C109例1110內(nèi)積的性質(zhì)111度量矩陣112向量的模（長(zhǎng)度）113C-B不等式114三角不等式115正交性116標(biāo)準(zhǔn)正交基117標(biāo)準(zhǔn)正交基下的內(nèi)積118Schmidt正交化方法119例2120例3121注122酉矩陣123定理1124定理2125第二節(jié)正交補(bǔ)空間126正交補(bǔ)空間127正交補(bǔ)空間的應(yīng)用128例1129一個(gè)幾何問(wèn)題130例2131最小二乘解132第三節(jié)等距變換133例1134定理1135例2136鏡像變換137138139140141142143第三章

矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形144矩陣與線性變換本章的目的：對(duì)給定的矩陣，找一最簡(jiǎn)單的矩陣與之相似。對(duì)給定的線性空間上的線性變換，找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡(jiǎn)單。145第一節(jié)特征值與特征向量矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題矩陣特征值、特征向量的計(jì)算146線性變換的特征值、特征向量147例1148線性變換的特征值、特征向量的計(jì)算149例2150定理1151特征多項(xiàng)式的計(jì)算152矩陣的跡153例3154化零多項(xiàng)式155第二節(jié)Hamilton-Cayley定理156例1157例2158最小多項(xiàng)式159定理1160例1161例2162例3163第三節(jié)可對(duì)角化的條件目的：對(duì)給定的矩陣，判斷其是否相似于對(duì)角陣；對(duì)給定的線性空間上的線性變換，判斷是否存在空間的一組基，使得其矩陣是對(duì)角陣。164已知的判別方法165線性變換的可對(duì)角化問(wèn)題166特征子空間167例1168定理1169定理2170例2171定理3172例3173例4174第四節(jié)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題：如果給定的矩陣不與任何對(duì)角陣相似，如何找一最簡(jiǎn)單的矩陣與之相似。等價(jià)的問(wèn)題：若線性空間上給定的線性變換不可對(duì)角化，如何找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡(jiǎn)單。175Jordan形矩陣176例1177Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性、唯一性178唯一性的證明思路179定理1180例2181例3182例4183分塊矩陣的最小多項(xiàng)式184Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與最小多項(xiàng)式185例5186例6187例7188例8189第五節(jié)特征值的分布190定理1191例1192K-區(qū)193例2194定理2195例3196譜半徑的估計(jì)197例4198例5199200201202203第四章Hermite二次型204第一節(jié)H陣、正規(guī)陣Hermite二次型與Hermite矩陣標(biāo)準(zhǔn)形慣性定理（唯一性）正定性205Hermite矩陣、Hermite二次型206H陣的性質(zhì)207正規(guī)陣208定理209推論210例1211例2212第二節(jié)Hermite二次型213標(biāo)準(zhǔn)形配方法（初等變換法）酉變換法214慣性定理215規(guī)范形216例1217正定性218如何建立判別方法219定理220例2221例3222例4223其它有定性224如何建立判別方法225定理226例5227第三節(jié)Rayleigh商228定理229例230231232233第五章范數(shù)和矩陣函數(shù)234本章的目的矩陣函數(shù)范數(shù)矩陣函數(shù)的應(yīng)用235第一節(jié)范數(shù)的概念和例子236內(nèi)積與范數(shù)237Cn中范數(shù)的例子238更多的例子239范數(shù)與極限240范數(shù)的可比較性241第二節(jié)矩陣范數(shù)242范數(shù)的相容性243定理1244算子范數(shù)245定理2246定理3247例1248例2249例3250第三節(jié)收斂定理251冪序列252矩陣冪級(jí)數(shù)253第四節(jié)矩陣函數(shù)254利用定義計(jì)算255例2256Jordan形矩陣的函數(shù)257Jordan塊的函數(shù)258例3259利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形計(jì)算260例4261定理262例5263待定系數(shù)法264例6265例7266矩陣函數(shù)的性質(zhì)267例8268例9269注270第四節(jié)線性微分方程組271性質(zhì)272常系數(shù)線性微分方程273常系數(shù)線性微分方程組274275定理276277278279280矩陣的廣義逆第六章281本章目的將“逆矩陣”推廣到一般情形廣義逆矩陣的計(jì)算廣義逆矩陣的性質(zhì)應(yīng)用：不相容線性方程組的求解282第一節(jié)廣義逆矩陣的概念1903年，F(xiàn)redholm，積分算子的廣義逆1920年，Moore，矩陣的廣義逆1955年，Penrose，證明了唯一性所以，在下面的矩陣的廣義逆的定