數(shù)模培訓(xùn)圍棋模型

數(shù)模培訓(xùn)圍棋模型第1頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題及分析

眾所周知，自圍棋問世以來，圍棋棋盤的設(shè)置經(jīng)歷了數(shù)次變化，這自然會(huì)令人提出一個(gè)問題：現(xiàn)在的棋盤是否還會(huì)變化？方形棋盤每邊設(shè)計(jì)多少道才是最佳的？

另外，關(guān)于先手貼后手的目數(shù)規(guī)定也經(jīng)歷了一些變化，那么，到底先手帖后手多少目才最為合理呢？第2頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們先來研究一下方形棋盤。

圍棋棋盤是由縱橫交錯(cuò)的線組成的方形交叉點(diǎn)域，我們把四條邊界線稱為一線，與邊界相鄰的四條線稱為二線，這樣，依次根據(jù)與邊界的距離而稱為各線為三線、四線——各線上的點(diǎn)由于距離邊界相同，因此，它們便具有比較一致的特性。第3頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

下圍棋最先考慮的還是棋塊的死活問題，所謂棋塊，即是棋子相互接連沒有被斷而形成的整體，如果一塊棋不活，占的交叉點(diǎn)再多也沒用，因此，研究每一線圍棋的作用時(shí)，應(yīng)首先考慮那一線棋子的成活速度，即最快——更確切地說是用最少的點(diǎn)來得到活棋，我們先引入準(zhǔn)活型的概念：第4頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月定義一棋塊雖不是成活型棋塊，但當(dāng)對(duì)方進(jìn)攻此棋塊時(shí)，總可以通過正確應(yīng)對(duì)而最終成為活棋，則此塊棋稱為準(zhǔn)活型棋塊。

準(zhǔn)活型的概念顯然有其實(shí)際意義，事實(shí)上，對(duì)弈開局時(shí)棋手們只是把棋走成大致的活型，而并非耗費(fèi)子力去真正把棋塊做成成活型。第5頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

計(jì)算二線、三線、四線棋子形成準(zhǔn)活型棋塊所用的最少子數(shù)。我們擺出二線、三線、四線的最快準(zhǔn)活型：圖1第6頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月用

由此可以看出，三線較二線、四線的成活速度要快。從此例還可以看出，五線、六線等其他線型成準(zhǔn)活型的速度顯然要慢于三線，即（i為自然數(shù)）表示第i線形成準(zhǔn)活型所用的最少子數(shù)，從圖1易得到第7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，就控制邊的能力上看，三線具有最快成活的特點(diǎn)，從而成為圍棋桿上重要的一線。二、棋盤模型的建立

為了對(duì)圍棋問題建立數(shù)學(xué)模型，需對(duì)圍棋棋子價(jià)值有個(gè)數(shù)學(xué)描述，為此我們給出如下定義：第8頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義2對(duì)于一塊成活型棋塊，用它的棋子數(shù)去除這些棋子所包含的目數(shù)，得到的商值稱為此棋塊的目效率，記為PE。從上邊定義看出，目效率表示單位棋子所占的目數(shù)，即表示此棋塊平均占有目數(shù)的能力。

下面利用此概念對(duì)圍棋棋盤問題建立模型。第9頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

圍棋的棋盤由古時(shí)的每邊11道增至現(xiàn)在的每邊19道，其間歷經(jīng)數(shù)千年。這種進(jìn)化的過程也顯示著人們的認(rèn)識(shí)逐漸接近真理?，F(xiàn)在的棋盤經(jīng)受了二千年的考驗(yàn)，其邊數(shù)設(shè)置必有其合理性，關(guān)鍵在于先手和后手的無差異上，古人在不貼子的情形下仍可公平對(duì)弈，說明先下的一方占的便宜不會(huì)太大?？梢酝茰y(cè)，圍棋內(nèi)部一定存在兩種抗衡的力量，使先手即使先落子也無法取得多少優(yōu)勢(shì)。第10頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

一般的棋類（如象棋），往往有攻有守，攻守之間有一種平衡，而且隨時(shí)可以轉(zhuǎn)換，因此，先手一方即使先進(jìn)行攻擊也未必得勝。由此可以說，一般棋類之所以變化無窮，根本原因在于其包含了攻與守這既對(duì)立又統(tǒng)一的兩個(gè)方面。它們?cè)趧儇?fù)的天平上地位相同，相互抑制，一切取勝的走法或定式不過是圍繞著攻與守，或以守為攻——來進(jìn)行罷了。第11頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

圍棋亦如此，但圍棋的攻守（攻為欲殺死對(duì)方，守為不被對(duì)方殺死）卻顯然不同于其他棋類。由于弈棋雙方輪換落子，因此，單純?yōu)闅⑺缹?duì)方而進(jìn)行攻擊要比防守來得困難。就是說，圍棋里的攻與守?zé)o法取得相同的地位，因此，絕不能把圍棋也認(rèn)為是攻與守的對(duì)立一體。第12頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

但圍棋那樣富于變化，從根本上講，其內(nèi)部一定存在著兩種力量的抗衡。這兩種力量既可以對(duì)抗，又可隨時(shí)轉(zhuǎn)換。關(guān)于這兩種力量的確定自然要涉及圍棋的特點(diǎn)，我們知道，任何事物的兩個(gè)對(duì)立面之間的斗爭(zhēng)都是圍繞著事物的發(fā)展規(guī)律而展開的，象棋的兩個(gè)對(duì)立面之所以是攻與守，無非是緣于其取勝規(guī)則為吃掉對(duì)方的將（帥），不進(jìn)攻當(dāng)然不行。第13頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，在確定圍棋中對(duì)抗的兩種力量時(shí)必須意識(shí)到：這兩種力量抗?fàn)幍淖罱K目的與圍棋的目的應(yīng)統(tǒng)一的，即多占地盤。

首先，我們把圍棋棋盤按區(qū)域特點(diǎn)籠統(tǒng)地分為邊部和中腹。從做活和占地兩個(gè)角度看，邊部因空間受阻而易受攻擊，但可利用邊部成目快的特點(diǎn)迅速做活，有根據(jù)地后再圖發(fā)展；第14頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月中腹則由于四方皆可發(fā)展，不容易受到攻擊，做活便退居其次，而先去搶占空間，由此可見，邊部和中腹將成為圍棋中的兩種對(duì)抗的努力，除此之外，還應(yīng)保證兩種勢(shì)力所具有的價(jià)值相同，從而使二者能夠真正地進(jìn)行抗衡，這是必要的，否則，無論偏重哪一方，圍棋都會(huì)成為單一爭(zhēng)奪邊部或中腹的乏味游戲，而且使先手棋獲益頗大。第15頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月前面在討論三線的作用時(shí)，曾經(jīng)指出三線控制邊部的優(yōu)勢(shì)，顯然，控制中腹的重任無疑落到了緊鄰的四線上，這樣，問題最終可化為：怎樣設(shè)計(jì)方形棋盤（即每邊選取多少道）使三線圍成的邊部與四線圍成的中腹具有相同的地位或最小的差異？三線點(diǎn)、四線點(diǎn)設(shè)置如圖2（此時(shí)棋盤每邊道數(shù)為19）、設(shè)三線點(diǎn)、四線點(diǎn)組成的棋塊目效率分別為第16頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)三線與四線目效率相近的原則，我們提出本節(jié)的數(shù)學(xué)問題：方形圍棋棋盤每邊設(shè)置多少道數(shù)，將使的絕對(duì)值最?。康?7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月三、模型求解

假設(shè)棋盤每邊為x道，x為自然數(shù)，為了實(shí)用的需要，圍棋棋盤不宜太大，也不宜太小，設(shè)11≤x≤23。參照?qǐng)D2（此時(shí)x＝19），由于對(duì)x的限制，三線圍成的邊及四線圍成的中腹已成為實(shí)空，對(duì)方無法在其中做活。這樣，所有三線圍成的目數(shù)為8x-16，其目效率為

PE3=第18頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月而由四線圍成中腹的目數(shù)為（其目效率為兩目效率之差為第19頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月圖2方形棋盤每邊19道時(shí)的情形第20頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于PE3，如果把x看作連續(xù)變量，易看出它是關(guān)于x的單調(diào)下降函數(shù)，這是因?yàn)镻E3可改寫為同理，對(duì)有第21頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月將關(guān)于x求導(dǎo)得由，從而即關(guān)于x單調(diào)上升，這將導(dǎo)致也關(guān)于x單調(diào)上升。因而，對(duì)于方程若有解，其解只能有一個(gè)。第22頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月又由于

故由連續(xù)函數(shù)介值定理，開區(qū)間（18，19）中，顯然其解非整數(shù)。而我們尋求的是使最小的整數(shù)解，的單調(diào)性及即知將使最小。的解含在由第23頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月四、勝負(fù)貼目的估算圍棋是一項(xiàng)競(jìng)技活動(dòng)，從公平的意義上講，弈棋雙方如果水平棋力嚴(yán)格相同的話（盡管這在實(shí)際中不可能），無論誰先手下棋，其結(jié)果都是兩方占地相同。因此圍棋對(duì)弈應(yīng)該有和棋。對(duì)圍棋最終的結(jié)局必須有明確合理的規(guī)定——先手貼后手幾目――以保證弈棋雙方的平等地位。下面利用目效率對(duì)勝負(fù)貼目的可能目數(shù)做一估算。第24頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月圍棋棋盤每邊道數(shù)的確定19×19，使圍棋中的三線與四線的地位幾乎相同。確切地講，是三線點(diǎn)占邊部實(shí)空與四線點(diǎn)占中腹實(shí)空的目效率近似相等，當(dāng)一方搶占邊角（占三線點(diǎn)）時(shí)，另一方可用中腹（占四線點(diǎn)）相對(duì)抗。從數(shù)學(xué)的角度抽象地看，目效率的概念也可使我們擺脫棋盤的束縛，不必考慮三線點(diǎn)、四線點(diǎn)數(shù)目的不同及它們?cè)谔囟ㄆ灞P上的位置差異，而把圍棋直接想象為三線點(diǎn)與四線點(diǎn)的陣營(yíng)對(duì)抗。第25頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月由于四線點(diǎn)目效率比三線點(diǎn)的目效率略高約0.09，故先手一方挑選四線而占之，后手因?yàn)橛凶銐虻馁N目補(bǔ)充抵消三線與四線的差異而從容地在三線應(yīng)之，效率對(duì)雙方不偏不倚?，F(xiàn)在的問題是：先手需貼后手多少目可平衡這微小差異？三線點(diǎn)、四線點(diǎn)設(shè)置仍如圖２，再設(shè)四線需貼三線ｙ目，由雙方目效率相等的原則，第26頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月有

即先手終局時(shí)需貼出5.2目（事實(shí)上目數(shù)不會(huì)出現(xiàn)這種小數(shù)），這與現(xiàn)在中國（貼子）及日本（貼5目半）的勝負(fù)規(guī)則比較接近。第27頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月五、總結(jié)與討論以上推理演繹拋開了圍棋的具體弈法，利用效率概念從宏觀上對(duì)圍棋進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，提出了兩個(gè)數(shù)學(xué)問題。令人鼓舞的是，這兩個(gè)問題的數(shù)學(xué)結(jié)果恰巧與圍棋的實(shí)際狀況或經(jīng)驗(yàn)相符或接近。當(dāng)然，我們的模型應(yīng)是客觀地建立在圍棋本身的規(guī)則或規(guī)律上，關(guān)于圍棋本質(zhì)性的東西還有待進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。對(duì)以上的推理和計(jì)算我們還可做另外的假設(shè)。第28頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月我們考查圖２中的四個(gè)三三點(diǎn)與四個(gè)四四點(diǎn)（即星位），發(fā)現(xiàn)它們對(duì)圍空并未起什么作用，去掉它們?nèi)€點(diǎn)與四線點(diǎn)依然連成一體成空地，故這些點(diǎn)對(duì)成目不起效用，而只能算官子，或防止對(duì)方切斷的一手。