數(shù)值分析賴志柱

數(shù)值分析課件賴志柱1第1頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis第二章插值法

2.1引言2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.3均差與牛頓插值多項式2.4Runge現(xiàn)象與插值多項式的收斂性2.5Hermite插值2.6分段插值2.7反插值2第2頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1引言2.1.1插值問題的提出2.1.2多項式插值2.1.3插值問題的一般提法3第3頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1.1插值問題的提出插值法是一個古老而實用的數(shù)值方法，它來自生產(chǎn)實踐。我國隋唐時期制定歷法時就應用了二次插值，隋朝劉焯（公元6世紀）將等距二次插值應用于天文計算。17世紀，牛頓(Newton)和格雷哥里(Gregory)建立了等距節(jié)點上的一般插值公式。18世紀，拉格朗日給出了更一般的非等距節(jié)點上的插值公式。4第4頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis近半世紀由于計算機的廣泛使用和造船、航空、精密機械加工等實際問題的需要，使插值法在理論上和實踐上都得到了進一步的發(fā)展，尤其是20世紀40年代后期發(fā)展起來的樣條函數(shù)(spline)插值，更獲得了廣泛應用，成為計算機圖形學的基礎。實際問題中遇到的函數(shù)f(x)是多種多樣的，有的表達式很復雜，有的甚至沒有給出表達式，只提供了一些離散點上的函數(shù)值或?qū)?shù)值。5第5頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis例如，給定了函數(shù)在中互異的個點的值，或者給出了函數(shù)的一個表，我們的任務是根據(jù)這個表，尋求一個函數(shù)來逼近。6第6頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis7第7頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis對插值問題的思考第一步是根據(jù)實際問題選擇恰當?shù)暮瘮?shù)類；第二步是具體構(gòu)造的表達式。當然還得考慮插值問題是否可解，如果有解，解是否唯一；插值函數(shù)逼近于的誤差如何估計，即截斷誤差的估計；進一步，當插值節(jié)點無限加密時，插值函數(shù)是否收斂于，即插值收斂問題。8第8頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1.2多項式插值9第9頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis求插值函數(shù)的方法稱為插值法，插值點在插值區(qū)間內(nèi)的叫內(nèi)插值，否則稱為外插值。10第10頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis若為分段的多項式，就稱為分段插值。若為三角多項式，就稱為三角插值。若為有理分式(函數(shù))，就稱為有理插值。設或表示次數(shù)的實系數(shù)多項式全體。11第11頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis定理2.1

滿足插值條件（2.1）的次代數(shù)插值問題的解是存在且唯一的。提示：采用待定系數(shù)法和Vandermonde行列式直接證明。12第12頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.1.3插值問題的一般提法

13第13頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis14第14頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis定理2.2

滿足插值條件（2.4）的次插值多項式存在且唯一。15第15頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis16第16頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis17第17頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis18第18頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.2.1Lagrange插值多項式2.2.2插值余項及估計2.2.3線性插值和拋物線插值2.2.4截斷誤差的事后估計法19第19頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.1Lagrange插值多項式20第20頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis21第21頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis22第22頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis23第23頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis24第24頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis我們稱（2.7）式所表示的多項式為次Lagrange插值多項式（或插值多項式的Lagrange形式），有時也稱（2.7）式為次Lagrange插值公式。一般情況下，次Lagrange插值多項式是次數(shù)為的多項式，特殊情況下其次數(shù)也可能小于。25第25頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis26第26頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis27第27頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis28第28頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.2插值余項及估計29第29頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis30第30頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis31第31頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis32第32頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis33第33頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.3線性插值和拋物線插值34第34頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis35第35頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis36第36頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis37第37頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis38第38頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.2.4截斷誤差的事后估計法39第39頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis40第40頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3均差與牛頓插值多項式2.3.1插值多項式的逐次生成2.3.2均差及其性質(zhì)2.3.3Newton插值多項式2.3.4差分形式的牛頓插值公式41第41頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.1插值多項式的逐次生成拉格朗日插值多項式結(jié)構(gòu)簡單緊湊，在理論分析中比較方便，在數(shù)值積分和常微分方程數(shù)值方法中經(jīng)常使用，但當實際應用中增加或減少插值節(jié)點時，構(gòu)造插值多項式的基函數(shù)需要重新構(gòu)造。42第42頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis拉格朗日插值零次式為拉格朗日插值一次式為上式可看成是零次式的修正，即43第43頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis考察有三個互異節(jié)點的二次插值，它滿足插值條件將表示為顯然它滿足44第44頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis上式中，令，得45第45頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis46第46頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.2均差及其性質(zhì)定義2.2

設函數(shù)在個互異點處的函數(shù)值，稱為函數(shù)在上的零階均差(差商)，稱為在上的一階均差(差商)，稱47第47頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis為在上的二階均差(差商)。一般地，稱

(2.16)為在上的階均差(差商)，即函數(shù)的階差商的差商稱為階差商。48第48頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis在實際計算中，常常采用表2.1所示差商表計算各階差商。49第49頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis差商是微商的離散形式，且差商有下列幾個主要性質(zhì)：50第50頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis51第51頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis52第52頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.3Newton插值多項式53第53頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis54第54頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis55第55頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysisNewton插值公式中各項系數(shù)即為的各階差商，且Newton插值多項式滿足下述遞推關系式（2.21）56第56頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis例2.6已知處的函數(shù)值為作4次Newton插值多項式。解：首先作差商表如下57第57頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis從而4次Newton插值多項式為58第58頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.3.4差分形式的牛頓插值公式59第59頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis60第60頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis性質(zhì)1

常數(shù)的向前差分為0。性質(zhì)2

差分算子為線性算子。61第61頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis62第62頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis性質(zhì)6

函數(shù)值與向前差分可以相互線性表出。63第63頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis在牛頓插值公式（2.19）中，利用性質(zhì)7的差分代替均差。當接近節(jié)點頭時，令則此時（2.23）

64第64頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis（2.24）

65第65頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis而余項為我們稱（2.24）式為牛頓（Newton）向前差分插值公式。（2.25）

66第66頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis67第67頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis68第68頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis69第69頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis70第70頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.4Runge現(xiàn)象與插值多項式的收斂性

71第71頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis72第72頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis73第73頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis74第74頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis75第75頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis幾點啟示（1）節(jié)點的加密并不能保證在兩點間插值函數(shù)很好地逼近。在實際應用中，高次插值很少被采用。（2）考慮尋求新的函數(shù)類作插值函數(shù)。對Runge引例來說，是一個有理分式，可考慮用有理分式作插值函數(shù)，這就是有理分式插值問題。76第76頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis（3）既然導數(shù)發(fā)生激烈變化，則可考慮修改插值條件，對插值函數(shù)的導數(shù)進行限制，這就是Hermite型插值問題。（4）在整個大區(qū)間上進行插值會出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，可考慮將大區(qū)間分成幾個小區(qū)間，再在每個小區(qū)間上進行低次插值，這就是分段插值的思想。77第77頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis（5）能否在整個區(qū)間上尋找一個新的函數(shù)，它不是插值函數(shù)，但卻仍然是簡單函數(shù)，該函數(shù)不要求在節(jié)點處的值等于，但要求它對于大區(qū)間中每一點的誤差都在允許范圍內(nèi)？這種逼近思想將提出一致逼近的問題。至于插值多項式的收斂性，F(xiàn)aber證明了下面的結(jié)論。78第78頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis79第79頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis80第80頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis81第81頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.5Hermite插值在對進行插值時，有時不僅要求插值多項式在節(jié)點處等于被插函數(shù)在這些點處的值，還要求插值多項式的導數(shù)在這些點處的值等于的導數(shù)在這些點處的值，即帶指定導數(shù)的插值，這便是Hermite插值。82第82頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis83第83頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis84第84頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis85第85頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis86第86頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis87第87頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis88第88頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis89第89頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.6分段插值分段低次插值是指將區(qū)間劃分為若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上采用低次插值多項式逼近被插值函數(shù)。常用的分段插值是分段線性插值、分段二次插值和分段三次Hermite插值。2.6.1分段線性插值2.6.2分段三次Hermite插值90第90頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.6.1分段線性插值91第91頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis92第92頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis93第93頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis94第94頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis95第95頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis96第96頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis2.6.2分段三次Hermite插值97第97頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis98第98頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值分析NumericalAnalysis由Hermite插值多項式可知，當