數(shù)學(xué)物理方程第三章達(dá)朗貝爾公式

數(shù)學(xué)物理方程第三章達(dá)朗貝爾公式第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月對定解問題§3.1達(dá)朗貝爾（）公式1無界弦自由振動的達(dá)朗貝爾公式推導(dǎo)方程的特征方程為解得特征線為做變換，則代入方程并化簡得第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月其中為兩個任意函數(shù)。于是得偏微分方程的通解為于是的通解為第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)立求解得于是原問題的解為第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是無界弦自由振動的達(dá)朗貝爾公式。特解例1解定解問題解方程的特征方程為第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解得特征線為做變換，則于是方程的通解為兩式聯(lián)立，求解得第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月故原問題的解為第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月2達(dá)朗貝爾公式的物理意義的物理意義(1)即t=0時的波形即t時的波形表示在t時刻初始波以速度a沿x軸向右平移at個單位，稱為右行波。第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月同理表示以速度a沿x軸的左行波。的物理意義(2)行波例2在上述問題中，初值條件為試說明其解的物理意義。-22012第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月可見右行波與左行波分別為由達(dá)朗貝爾公式有于是右行波與左行波的波形均為隨著時間的推移，其波形如圖所示：第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月0-2-42412-224012-42012-2-424第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月012-2-424012-2-424012-2-424第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形演示：（1）初位移不為零，初速度為零：則解為解的動畫演示（my1）第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）初位移為零，初速度不為零：則解為解的動畫演示（my2）該式表示將函數(shù)表示的波形向左、右以a的速度移動。第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式，有例3用達(dá)朗貝爾公式求解下列問題第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域看達(dá)朗貝爾公式，回答下面三個問題：（1），即在(x,t)處函數(shù)值由哪些初值決定？進(jìn)一步由x軸上哪些點對應(yīng)的初值決定？答：由區(qū)間[x-at,x+at]上的初值決定。將此區(qū)間稱為點(x,t)的依賴區(qū)間。第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)一步分析：方程的特征線為過(x,t)的兩條特征線與x軸的交點正好是x-at和x+at.如圖（2）區(qū)間上的初值都能確定哪些點處的函數(shù)值？特征線，斜率1/a特征線答：過和分別作斜率為和的兩條直線，與x軸圍成的三角形區(qū)域內(nèi)任一點的函數(shù)值都可由上的初值決定。稱此區(qū)域為的決定域。依賴區(qū)間決定區(qū)域第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）區(qū)間上的初值都能影響到哪些點處的函數(shù)值？答：過和分別作斜率為和的兩條直線，與x軸圍成的無界區(qū)域內(nèi)任一點的函數(shù)值都能受到上的初值的影響。稱此區(qū)域為的影響域。一點的影響域如圖影響區(qū)域影響區(qū)域第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月4齊次化原理考慮非齊次問題不能用達(dá)朗貝爾公式可分解成如下兩個問題和用達(dá)朗貝爾公式求解如何求解？用齊次化原理（Ⅰ）（Ⅱ）第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次化原理：若是下列問題的解，則（Ⅱ）的解為#解的進(jìn)一步分析：令，則有由達(dá)朗貝爾公式，有第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月于是從而（Ⅱ）的解為例4：求解下列初值問題：自己驗證原問題的解為第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由如上公式，有第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例５求解Goursat問題解：令即于是有第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

補充作業(yè)：解定解問題作業(yè)：習(xí)題1，2，4；習(xí)題3（1）、（3）第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2髙維波動方程的初值問題1三維波動方程的泊松公式從形式上看，三維與一維相似，不妨將一維的達(dá)朗貝爾公式推廣到三維中來，為了便于推廣，將達(dá)朗貝爾公式寫成如下積分形式：表示在上的平均值第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月一維到三維的對應(yīng)一維三維區(qū)間區(qū)間中心球心區(qū)間長度球面面積區(qū)間上的平均值球面上的平均值于是推廣的三維波動方程的泊松公式球面第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月計算中采用球面坐標(biāo)，直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：此解法稱為平均值法?？梢则炞C。第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由泊松公式有例1計算下列初值問題的解：第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月2二維波動方程的降維法先將其看成三維問題，則由泊松公式有下面將曲面積分化成二重積分：曲面或投影區(qū)域第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月面積元素于是有第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求解下列問題解由泊松公式，有第33頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月3髙維波動方程初值問題泊松公式解的物理意義1三維泊松公式解的物理意義不妨假設(shè)初始擾動僅發(fā)生在空間某個有限區(qū)域內(nèi)，如圖。三維泊松公式為可見時刻在處的函數(shù)值是由以為球心、以為半徑的球面上的初值來確定。(見圖示)記到的最短距離為，在長距離為，則第34頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，上的初值為零，故，說明擾動還未到達(dá)點處；當(dāng)時，與相交，即上有初值，故一般有，說明點處于擾動狀態(tài)；當(dāng)時，上的初值為零，故，說明擾動已經(jīng)越過了點，此處恢復(fù)到原來的靜止?fàn)顟B(tài)。這種現(xiàn)象在物理學(xué)上稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。第35頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月可見時刻在處的函數(shù)值是由以為圓心、以為半徑的圓面上的初值來確定。(見圖示)2二維泊松公式解的物理意義也不妨假設(shè)初始擾動僅發(fā)生在某個有限區(qū)域內(nèi)，如圖。二維泊松公式為第36頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，與相交，即上有初值，故一般有，說明點處于擾動狀態(tài)；這種現(xiàn)象在物理學(xué)上稱為有后效現(xiàn)象或稱為波的彌散。當(dāng)時