數(shù)值計算方法誤差

數(shù)值計算方法誤差第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月抽象簡化實際問題數(shù)學(xué)模型問題近似解數(shù)值計算數(shù)值方法求解數(shù)學(xué)問題的過程§1.1誤差的來源和分類第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月模型誤差：實際問題的解與數(shù)學(xué)模型的解之差.觀測誤差：由觀測所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題（模型）中參量（數(shù)據(jù)）的誤差.截斷誤差：數(shù)學(xué)問題的準確解與數(shù)值方法所求得的近似解之差.舍入誤差：計算過程中對數(shù)字的舍取所產(chǎn)生的誤差.（計算機可以表示的數(shù)是有限的）第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2.1絕對誤差與相對誤差§1.2絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例：

例：測得會議室的長為30m寬為10m，長的誤差不超過5cm,寬的誤差不超過2cm,如何表示？哪一個精度高？第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月相對誤差：相對誤差限：

兩種誤差限的關(guān)系：第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2.2有效數(shù)字第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例如準確到小數(shù)點后第6位，有4位有效數(shù)字.具有7位有效數(shù)字，其誤差限第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月有效數(shù)字和絕對誤差限的關(guān)系（準確到哪一位）第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3數(shù)值計算中誤差的傳播1.3.1基本運算中的誤差傳播第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月特別地，和、差、積、商的誤差公式為：

第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

即和、差的絕對誤差限不超過各數(shù)的絕對誤差限之和，積、商的相對誤差極限不超過各數(shù)的相對誤差限之和.第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法：預(yù)先設(shè)計計算問題近似解的運算順序穩(wěn)定性：在按一個算法的計算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差在計算過程中不增長，則稱算法是穩(wěn)定的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月算法Ⅰ依次計算近似值.第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月n(算法Ⅰ)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月估計第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月算法Ⅱ由于取按公式計算例如第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月n(算法Ⅱ)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.01536914110.01406339120.01301636130.01184127140.01222222第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月分析什么原因：由算法Ⅰ對算法Ⅱ第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法

一個程序往往要進行大量的運算才能得出結(jié)果，每一步的運算都可能會產(chǎn)生舍入誤差。 在運算過程中，舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法；否則，就稱之為不穩(wěn)定的算法。第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.4數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題1.4.1.避免兩個相近的數(shù)相減兩數(shù)之差x-y的相對誤差為第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地，

當x充分大時，應(yīng)作變換：當接近零時，應(yīng)作變換第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例：如用四位有效數(shù)字計算:

結(jié)果只有一位有效數(shù)字;如改為:

有四位有效數(shù)字。避免了兩個相近數(shù)的相減。第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例：用四位浮點數(shù)計算解:

只有一位有效數(shù)字,有效數(shù)字大量損失,造成相對誤差擴大。 結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說明了算法設(shè)計的重要性。第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.2.避免大數(shù)“吃”小數(shù).

計算機在進行運算時，首先要把參加運算的數(shù)對階，即把兩數(shù)都寫成絕對值小于1而階碼相同的數(shù)。如，必須改寫成

如果計算機只能表示8位小數(shù)，則算出，大數(shù)“吃”了小數(shù)。這種情況有時允許，有時不允許。

第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例如:

被大數(shù)吃掉了。如按,

就沒有被吃掉。這也是構(gòu)造算法時要注意的問題。第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例:一元二次方程x2－(109+1)x+109=0其精確解為

x1=109,x2=1。

如用求根公式:和8位的計算機求解,有

及

;則的值與精確解差別很大。若用因此,算法的選用很重要。第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.3.避免除數(shù)絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值

,當時,舍入誤差會擴大。例:的舍入誤差均為,而,則的舍入誤差為:很小的數(shù)作除數(shù)有時還會造成計算機的溢出而停機。第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.4.簡化計算，減少運算次數(shù)，提高效率例如計算ln2的近似值，要求誤差不超過算法Ⅰ:由

絕對誤差限由得第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月算法Ⅱ絕對誤差限由得第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月又如計算n次多項式的值需2n-1次乘法運算，n次加法運算，2n+1個存儲單元需n次乘法運算，n次加法運算，n+2個存儲單元第32頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法.問題：什么叫數(shù)值穩(wěn)定性好的算法？舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法,穩(wěn)定性好指的是誤差可控范圍可以很小。第33頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月介紹MATLABmatlab語言是由美國的CleverMoler博士于1980年開發(fā)的

設(shè)計者的初衷是為解決“線性代數(shù)”課程的矩陣運算問題

取名MATLAB即MatrixLaboratory矩陣實驗室的意思第34頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月MATLAB已經(jīng)不僅僅是一個“矩陣實驗室”了，它集科學(xué)計算、圖象處理、聲音處理于一身，并提供了豐富的Windows圖形