數(shù)學(xué)第一學(xué)期

萊布尼茲(Leibniz)

公式注:當(dāng)u,v有一個是次數(shù)不高的多項(xiàng)式時(shí),公式是特別有效的.(sin

x)(n)

=

sin(x

+2p

)n2p

)(cos

x)(n)

=

cos(

x

+

n(1a

+

x)(n)

=(-1)n(a

+

x)n+1n

!(1)(n)

=a

-

x(a

-

x)n+1n

!(

n)xn(-1)n-1

(n

-1)!(ln

x)

=(ax

)(n)

=

ax

lnn

a§2.3內(nèi)容回顧利用間接法求高階導(dǎo)數(shù):先將函數(shù)化為可利用高階導(dǎo)數(shù)公式的形式一、微分的概念二、微分運(yùn)算法則三*、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用§2.5

函數(shù)的微分第二章簡介一、微分的概念x0DxDx)2x0Dx(DxA

=

x20x0主部高階無窮小關(guān)于△x的線性Dx

fi

0

時(shí)，為△x故稱為函數(shù)在x0

的微分得增量D

x時(shí),面積的增量為引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0

變到x0

+

Dx

,

問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x

,面積為A

,則A

=x2

,當(dāng)x

在x0

取定義:若函數(shù)定理:

函數(shù)在點(diǎn)

x0

的增量可表示為=

ADx

+

o(Dx)(A

為不依賴于△x

的常數(shù))在點(diǎn)x0

可微的充要條件是即dy

=

f

(x0

)Dx則稱函數(shù)

y=

f

(x)

在點(diǎn)的微分,

記作dy

=

ADx可微,而AD

x

稱為即證:“必要性”已知在點(diǎn) 可微

,

則Dxfi

0Dxfi

0

Dx\

lim

D

y

=

lim

(

A

+

o(Dx)

)

=

A故D

y

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

=

ADx

+

o(Dx)Dx在點(diǎn) 的可導(dǎo),

且在點(diǎn)x0

可微的充要條件是定理:函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo),

且即dy

=

f

(x0

)Dx在點(diǎn)x0

可微的充要條件是定理:函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo),

且即dy

=

f

(x0

)Dx“充分性”已知0lim

D

y

=

f

￠(x

)Dxfi

0

Dx0Dx\

D

y

=

f

￠(x

)

+a( lim

a

=

0

)Dxfi

0故

D

y

=

f

(x0

)Dx

+a

Dx

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)即

dy

=

f

(x0

)Dx在點(diǎn) 的可導(dǎo),

則Dxfi

0

dyDylim

Dy

=

limDxfi

0

f

￠(x0

)Dx=f

￠(x0

)

Dxfi

0

Dx1lim

Dy

=1說明:

Dy

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)dy

=

f

(x0

)Dx當(dāng)

f

(x0

)

?

0

時(shí)

,所以Dx

fi

0

時(shí)

D

y

與dy

是等價(jià)無窮小,

故當(dāng)

Dx很小時(shí),

有近似公式D

y

?

dyx0

+

Dxxyoy

=

f

(x)ax0DydyDxdy

=

f

(x0

)Dx

=

tana當(dāng)Dx

很小時(shí),

Dy

?

dy則有dy

=

f

(x)

dx從而dxdy

=

f

￠(x)導(dǎo)數(shù)也叫作微商微分的幾何意義

切線縱坐標(biāo)的增量當(dāng)y

=x

時(shí)，dy

=1

Dx

=

dx(自變量的增量等于自變量的微分)(C

為常數(shù))=

f

(u)

j

(x)

dxdudy

=

f

(u)

du一階微分形式不變性!!!二、基本初等函數(shù)的微分公式

(見

P116表)與微分運(yùn)算法則設(shè)

u(x)

,

v(x)

均可微

,

則=

du

–

dv=

vdu

+

udv5.

復(fù)合函數(shù)的微分分別可微,則復(fù)合函數(shù) 的微分為求例1.解:1dy

=2d(1

+

ex

)=11+

ex221

+

ex1x221

+

ex=dx2xex221

+

exe

2xdx

=x2

d

(x2

)e22xex2

dxx=1=1+

ex2edx=1+

e22xex2

dxx=1Dx=0.01=1+

ex.0.02e=1+

e(Dx

=

dx

=

0.01)例2.

設(shè)求解:

利用一階微分形式不變性

,

有d(

y

sin

x)

-

d(cos(x

-

y))

=

0sin

x

dy

+

y

cos

x

dx

+

sin(x

-

y)

(dx

-

dy)

=

0dy

=

y

cos

x

+

sin(x

-

y)

dxsin(x

-

y)

-sin

x例3.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:2w說明:上述微分的反問題是§4不定積分要研究的內(nèi)容.(1) d(

1

x2

+

C

)

=

xdx(2)d(

1

sinwt

+

C)

=

cosw

t

d

t(

y￠=

y

cos

x

+sin(x

-

y))sin(x

-

y)

-

sin

x三*、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用使用原則:

1)f(x0

),

f

￠(x0

)好算且f

￠(x0

)?0；2)

x

與x0

靠近（

Dx

1）.D

y

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)當(dāng)

Dx

很小時(shí),

得近似等式:D

y

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

?

f

(x0

)Dxf

(x0

+

Dx)

?

f

(x0

)

+

f

(x0

)Dx令x

=x0

+Dxf

(x)

?

f

(x0

)

+

f

(x0

)(x

-

x0

)特別當(dāng)

x0

=

0

,

x

很小時(shí),f

(x)

?

f

(0)

+

f

(0)x常用近似公式:

(

x

很小)xxx1

+

x1

+a

xf

(x)

=

(1+

x)a證明:

令得f

(0)

=1,f

(0)

=a\

當(dāng)

x

很小時(shí),180解:

設(shè)

f

(x)

=

sin

x

,取則dx

=-p18029=

sin

p6?

sin

p+

cos

p2

2=

1

+

3

(-0.0175)6

180(-

p

)例4.

求 的近似值

.sin

290=

f

(x

+

dx)?

f

(x0

)

+

f

￠(x0

)dxf

￠(x)

=

cos

x

.證:(sin

x

+

cos

x)n

?1+

nx.例5.

利用微分證明近似計(jì)算公式當(dāng)

x

1

時(shí),令

f

(t)

=

(sin

t

+

cost)n

,f

￠(t)

=

n(sin

t

+

cost)n-1

(cos

t

-

sin

t).t0

=

0,

Dt

=

x.(sin

x

+

cos

x)n

=

f

(x)

=

f

(0

+

x)?

f

(0)

+

f

￠(0)x=1

+

nx.R

=1DR

=

0.01=

4p

R2DRR

=1DR

=

0.01?

0.13

(cm3

)因此每只球需用銅約為8.9

·0.13

=1.16

(

g

)例6.有一批半徑為1cm的球?yàn)?了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,估計(jì)一下,每只球需用銅多少克.解:已知球體體積為鍍銅體積為

V

在 時(shí)體積的增量某量的精確值為

A

,

其近似值為

a

,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量A

的絕對誤差限(簡稱為絕對誤差)稱為測量

A

的相對誤差限

(簡稱為相對誤差)絕對誤差與相對誤差的概念內(nèi)容小結(jié)微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.

微分運(yùn)算法則微分形式不變性

:

d

f

(u)

=

f

(u)

d

u(u

是自變量或中間變量)3.

微分的應(yīng)用：近似計(jì)算作業(yè)P1231;3

(7)

,

(8)

,

(9)

,

(10)

;4(填在書上);5; 8(1)

;

9(2)利用一階微分形式的不變性求導(dǎo)數(shù)如,已知解：方程兩邊求微分,得再譬如,

P103

4.一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率§2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的相關(guān)變化率第二章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由例如,表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).可確定顯函數(shù)可確定y

是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)我們不能顯化.若方程函數(shù)為隱函數(shù).可確定y

是x

的函數(shù),則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)y

的方程)例1.

求由方程在

x=0處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對

x

求導(dǎo)得5

y

4

dy

+

2

d

y

-1

-

21x6

=

0d

x

d

x\dy

1

+

21x6dx

=

5

y4

+

2因

x

=

0

時(shí)

y

=

0

,

故確定的隱函數(shù)(注意y=y(x))例2.

求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)x

+

2y

y

=

08

9\

y2x=2y=3

316

y=

-

9

x3x=2y=2

343=

-故切線方程為2y

-343

=

-3

(x

-

2)即例3.

求的導(dǎo)數(shù).解:

兩邊取對數(shù)

,

化為隱函數(shù)兩邊對x

求導(dǎo)yx1

y

=

cos

x

ln

x

+

sin

xxy￠=

xsin

x

(cos

x

ln

x

+

sin

x

)\另解:yu1

y

=

v

ln

u

+

u

vy￠=

uv

(

v￠ln

u

+

u

v

)uy￠=

uv

ln

u

v￠+

vuv-1

u說明:1)對冪指函數(shù)y

=uv

可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):ln

y

=

v