數(shù)學(xué)期望和方差

數(shù)學(xué)期望和方差第1頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機(jī)變量的平均取值——

數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的情況——

方差描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的某種關(guān)系的數(shù)——

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容第2頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月引例:測(cè)量50個(gè)圓柱形零件直徑(見下表)

則這50個(gè)零件的平均直徑為尺寸（cm）89101112數(shù)量（個(gè)）8715101050§4.1數(shù)學(xué)期望第3頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)Q個(gè)角度看,從這50個(gè)零件中任取一個(gè),它的尺寸為隨機(jī)變量X,則X

的概率分布為XP

89101112則這50個(gè)零件的平均直徑為稱之為這5個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均,數(shù)學(xué)期望的概念源于此.第4頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的定義定義1.1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱其和為隨機(jī)變量

X

的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X).第5頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0－1分布

這時(shí)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.

故

E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.第6頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)二項(xiàng)分布X的取值為0,1,…,n.且

P(X=k)=Cnk

pk

(1-p)n-k,k=0,1,…,n.第7頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)泊松分布X的可能取值為0,1,2,…，且第8頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)幾何分布X的可能取值為1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.第9頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月注:在第三個(gè)等號(hào)中利用了等式這可以由等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得到.第10頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例1 對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格.假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是p，試求平均需抽查的件數(shù).第11頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…,n，且第12頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1.2

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則稱此積分為隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X).注意：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是加權(quán)平均數(shù)，它是一個(gè)數(shù)，不再是隨機(jī)變量。第14頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望

(5)指數(shù)分布E()隨機(jī)變量X的密度為：第15頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限,概率密度f(x)關(guān)于定理1證明 g(x)是奇函數(shù).第17頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月推論第18頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例2設(shè)X的概率密度為：求E(X).解:注:由于f(x)是偶函數(shù)，由定理1.1也知E(X)=0.第19頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望.例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散.它的數(shù)學(xué)期望不存在.注：雖然f(x)是偶函數(shù)，但不能用定理1.1.第20頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說g(X)的數(shù)學(xué)期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？更一般的，已知隨機(jī)向量(X1,X2…,Xn)的聯(lián)合分布，

Y=

g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函數(shù),需要計(jì)算Y的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計(jì)算呢？我們下面就來處理這個(gè)問題.§4.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第21頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月A.隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X=(X1,…,Xn)為離散型隨機(jī)向量，概率分布為Z=g(X1,…,Xn),若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則第22頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（續(xù)）

設(shè)X=(X1,…,Xn)為連續(xù)型隨機(jī)向量，聯(lián)合密度函數(shù)為

Z=g(X1,…,Xn),若積分絕對(duì)收斂，則第23頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例3 設(shè)離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0

?11

E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:這里的

第24頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注:這里的第25頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),

Y=eaX,求E(Y).解:第26頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例6

設(shè)X~

U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度為所以第27頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解：(1)設(shè)整機(jī)壽命為N,

五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值.

第28頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月即

N~E(5),

(2)設(shè)整機(jī)壽命為M,第29頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長(zhǎng)11倍之多.注：128頁的4.20與此例為同一模型。第30頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月B.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).第31頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨(dú)立.第32頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月反例XYpij-101-1010p?jpi?第33頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月XY

P-101但第34頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

若X≥0，且EX存在，則EX≥0.推論:

若X≤Y，則EX≤EY.證明：設(shè)

X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),則由X≥0得：所以證明：由已知Y-X≥0，則E(Y-X)≥0.而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y).第35頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例1性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.第36頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例2 二項(xiàng)分布B(n,p),設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，問n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？解:引入則

X＝是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù).因此，這里，X～B(n,p).第37頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

將4個(gè)可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一:設(shè)

X為空著的盒子數(shù),則X的概率分布為XP0123第38頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月解二:再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10第39頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

將n個(gè)球放入M個(gè)盒子中,設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望.解:引入隨機(jī)變量:則X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每個(gè)隨機(jī)變量Xi都服從兩點(diǎn)分布,i=1,2,…,M.第40頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月 因?yàn)槊總€(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的均為1/M，所以，對(duì)第i個(gè)盒子,沒有一個(gè)球落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).

故，n個(gè)球都不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n，即第41頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月注：129頁4.27以此題為模型.第42頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.2隨機(jī)變量的方差

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.

但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.第43頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好.

中心中心第44頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差第45頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月A.方差的概念設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(X-E(X))2存在,則稱它為X的方差（此時(shí)，也稱X的方差存在)，記為Var(X)或D(X),即定義稱Var(X)的算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為(X).Var(X)=E(X-E(X))2第46頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=E[X-E(X)]2

方差第47頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：1)Var(X)0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).2）當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X).方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)特征.第48頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的計(jì)算公式(1)若X為離散型，概率分布為(2)若X為連續(xù)型，概率密度為f(x),則則第49頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算方差常用的公式證明:第50頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月常見隨機(jī)變量的方差

(1)參數(shù)為p的0－1分布

概率分布為：前面已經(jīng)計(jì)算過：E(X)=p，又所以第51頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)二項(xiàng)分布B(n,p)

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=np，又

所以第52頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)泊松分布P(λ)

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=λ，又

所以第53頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=(a+b)/2，又

所以第54頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

(5)指數(shù)分布E(λ)

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=1/λ，又

所以第55頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月(6)正態(tài)分布N(,2)

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=

，所以第56頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月B.方差的性質(zhì)性質(zhì)1 若X=C，C為常數(shù)，則

Var(X)=0.性質(zhì)2

若b為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在，則bX的方差存在,且Var(bX)=b2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)結(jié)合性質(zhì)1與性質(zhì)2就有第57頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3 若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的方差都存在，則X1+X2+...+Xn的方差存在，且第58頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則n＝2時(shí)就有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY)若X,Y獨(dú)立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)第59頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5 對(duì)任意常數(shù)C,Var(X)

E(X–C)2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X).第60頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)6注:以后若無特殊說明,都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于0.Var(X)=0P(X=E(X))=1稱X以概率1等于常數(shù)E(X).第61頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例1 設(shè)X~B(n,p)，求Var(X).解：

引入隨機(jī)變量故則由于相互獨(dú)立，且第62頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例2 （標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量） 設(shè)隨機(jī)變量

X

的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，第63頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例3則:

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，有共同的期望和方差，證明:第64頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個(gè)Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn.求E(Y2).解：由已知，則有因此，第65頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,2),Y～N(0,1),

試求Z=2X-Y+3的期望和方差.

由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,

且X和Y獨(dú)立.因此，解:第66頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2+3=5,注：由此可知Z～N（5,9）.第67頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地，第68頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月C.兩個(gè)不等式

定理3.2(馬爾可夫(Markov)不等式)對(duì)隨機(jī)變量X和任意的

0，有第69頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:設(shè)為連續(xù)型,密度函數(shù)為f(x),則第70頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月上式常稱為切比雪夫（Chebyshev）不等式

在馬爾可夫不等式中取α=2,X為X-EX得是概率論中的一個(gè)基本不等式.

第71頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例6

已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a，使股價(jià)超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解：由切比雪夫不等式令第72頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.3

(內(nèi)積不等式或Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)EX2

<∞，EY2

<∞則有第73頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:注意到對(duì)任意的t,有所以g(t)作為t的二次多項(xiàng)式,其判別式≤0,即第74頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布第75頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

這說明對(duì)于二維隨機(jī)變量，除了每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系. 問題是用一個(gè)什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.

數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系.第76頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月A.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義稱為X,Y的協(xié)方差.記為可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣.為（X,Y）的協(xié)方差矩陣.稱第77頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月若Var(X)>0,Var(Y)>0,稱為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱X,Y不相關(guān).無量綱的量第78頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月利用函數(shù)的期望或方差計(jì)算協(xié)方差

若(X,Y)為離散型，

若(X,Y)為連續(xù)型，

第79頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求Cov(X,Y),XY10pqXP

10pqY

P

已知X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解:10pqXY

P第80頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.設(shè)(X,Y)~N(1,12,2,22,),求

XY解:第82頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：若(X,Y)~N(1,12,2,22,),則X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)因此，第83頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

協(xié)方差的性質(zhì)

第84頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式第85頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為第86頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

X,Y不相關(guān)注：X與Y不相關(guān)僅僅是不線性相關(guān)，可以非線性相關(guān).