【2022蘇教數(shù)學】《幾何概型》

1幾何概型lixinlan游戲導入真知灼見源于實踐2駛向勝利的彼岸

議一議1樹狀圖可以是:“配紫色1”游戲開始紅白黃藍綠(紅,黃)(紅,藍)(紅,綠)(白,黃)(白,藍)(白,綠)黃藍綠游戲者獲勝的概率是1/6.3

探究11.A盤的轉動是否受B盤影響？A盤轉到紅色的概率對B盤轉到藍色的概率是否有影響？2.配出紫色的概率與A盤為紅色、B盤為藍色的概率有何關系？結論：A,B相互獨立，則A,B同時發(fā)生的概率為：

P(AB)=P(A)·P(B)4

探究22.游戲“配紫色2”中的概率也可以用古典概率來求嗎？為什么？1.游戲“配紫色1”中的概率為何可用古典概率來求？51、取一根長度為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，求剪出的兩段的長都不小于1米（記為事件A）的概率。引例

此試驗中，從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3cm的繩子上的任一點。62、射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)。從外向內為白色、黑色、藍色、紅色靶心是金色，金色靶心叫“黃心”。奧運會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm,運動員在70m外射箭，假設箭都能射中靶，，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率是多少？引例此試驗中，射中靶面上每一點是一個基本事件，這一點可以是靶面直徑為122cm的圓內的任意一點引例

3.假設你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30—7:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?

事件A包含的基本事件有多少?

能否用古典概型的公式來求解?7引例總結、分析8

上面的幾個引例雖各不相同，但都有以下共同點：（1）基本事件都有無限多個；（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的。

顯然不能用古典概型的方法求解。引例1分析：記“剪得兩段繩長都不小于1m”為事件A。把繩子3等分，于是當剪斷位置在中間一段上時，事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的1/3,故:P(A)=概率與線段長度成比例9剛才的游戲“配紫色2”怎么求概率？Try!概率與圖形面積成比例101.如果一個隨機試驗，我們可以把每

個基本事件轉化為從某個幾何區(qū)域D內隨機

的取一點，而且每一點取得的可能性相同，這個試驗包含的隨機事件A的發(fā)生就可以理解為從上面區(qū)域的子區(qū)域d內取點，用這種方法去處理試驗的模型叫幾何概型。3.求幾何概型概率的基本步驟（1）求區(qū)域D的“測度”；（2）求區(qū)域d的“測度”；（3）代入計算公式:幾何概型的定義和概率計算：11例1（1）取一個長為2a的正方形及其內切圓，

隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內

的概率。

（2）根據上面的問題，設計一個估計圓周率的試驗。幾何概型應用(1)解：記“豆子落入圓內”為事件A,則圓面積正方形面積P(A)=答：豆子落入圓內的概率為12(2)由(1)可知，豆子落入圓內的概率為

如果我們向正方形內撒n顆豆子，其中落在圓內的豆子數(shù)為m,那么當n很大時，比值m/n,即頻率應接近于P(A),于是有P(A)≈m/n,由此得：π≈4m/n.

可用Excel來模擬撒豆子的試驗，以此來估計圓周率。請看P104布豐試驗13練習：一張方桌的圖案如圖所示。將一顆豆子隨機地扔到桌面上，假設豆子不落在線上，求下列事件的概率：（1）豆子落在紅色區(qū)域；（2）豆子落在黃色區(qū)域；（3）豆子落在綠色區(qū)域；（4）豆子落在紅色或綠色區(qū)域；（5）豆子落在黃色或綠色區(qū)域。141.幾何概型適用條件：

(1)基本事件有無限多個（無限性）；(2)事件都是等可能發(fā)生的（等可能性）.2.適用情況：用于解決與長度,面積和體積等幾何測度有關的問題（即每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的測度(長度、面積或體積等)成比例）;3.公式構成事件A的區(qū)域測度(長度,面積,體積)全部結果所構成的區(qū)域測度(長度,面積,體積)P(A)=利用幾何概型求概率應注意哪些？15例2

在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少？解：取出10mL麥種，其中含有病種子這一事件記為A，則答：含有麥銹病種子的概率是1/100.16例3

在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率。解：在AB上截取AC′=AC，于是

P(AM<AC)=P(AM<AC′)答：AM小于AC的概率為17解:記“等待的時間不多于10分鐘”為事件A.

電臺報時間隔為60分鐘，所以答：等待的時間不超過10分鐘的概率為P1021某人睡午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.18P1034如圖在直角坐標系中內，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內的概率。解：記“射線OA落在

∠xOT內”為事件A，則答：射線OA落在∠xOT內的概率為1/6.191、幾何概型的定義2、幾何概型的兩個基本特征（1）無限性（2）等可能性3、幾何概型中，事件A的概率計算公式小結：構成事件A的區(qū)域測度(長度,面積,體積)全部結果所構成的區(qū)域測度(長度,面積,體積)P(A)=作業(yè)：P137習題7.3：2,420凡是值得思考的事情，沒有不是被人思考過的，我們必須做的只是試圖重新加以思考而已.——歌德21

例：某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤，并規(guī)定:顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會。如果轉盤停止時，指針正好對準紅、黃或綠的區(qū)域，顧客分別可獲100元、50元、20元的購物券（轉盤等分成20份）甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？

思維引導：甲顧客購物的錢數(shù)在100元到200元之間，可以獲得一次轉動轉盤的機會，轉盤一共等分了20份，其中1份紅色、2份黃色、4份綠色，因此對于顧客來說：P（獲得購物券）=P（獲得100元購物券）=P（獲得50購物券）=P（獲得20購物券）=生活中的概率剖析生活中的概率剖析

在一所小學的門口有人設一游戲（如圖）吸引許多小學生參加。小學生每轉動指針一次交5角錢，若指針與陰影重合，獎5角錢；若連續(xù)重合2次獎文具盒一個；若連續(xù)重合3次，獎書包一個；若連續(xù)重合4次，獎電子游戲機一臺。不少學生被高額獎品所誘惑，紛紛參與此游戲，卻很少有人得到獎品，這是為什么呢？22

利用幾何概率可以解釋這個問題。由于指針位于圓周上陰影部分才能得獎，設圓周周長為100cm，陰影部分位于圓周上的每一弧長為2cm，由幾何概型及指針的對稱性知，指針落于陰影

上的概率為

23

可見，參加游戲者得獎的概率很小，得到一個文具盒的可能性僅有0.0064，那么要想得到游戲機，則幾乎是天方夜譚。由小概率原理可知，只參加一次游戲，幾乎不可能中獎。所以，這是一個騙人的把戲。

即參加一次游戲不用花錢的概率為0.08。由于每次轉動可看成相互獨立的隨機事件，記“指針與陰影連續(xù)重合i次”為事件Ai，則答:父親在離開家前能得到報紙的概率是87.5%引例3

假設你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30—7:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標表示報紙送到時間,以縱坐標表示父親離家時間建立平面直角坐標系,假設隨機試驗落在方形區(qū)域內任何一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據題意,只要點落到彩色部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即時間A發(fā)生,所以251.一個質地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0,5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉它，求當它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間[2,3]上的概率。幾何概型的應用解：記“陀螺停時與桌面接觸處刻度位于[2，3]上”為事件A答：陀螺停時與桌面接觸處刻度位于[2，3]上的概率為1/5.3.如右下圖,假設你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆,分別計算它落到陰影部分的概率.2.有一杯1升的水,其中含有1個細菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個細菌的概率.27分別取AM,MB的中點D,E.則只有當點C落在DE上時就能滿足于AC-CB<AM,由于D,E為中點,所以DE=AB,所以當點C落在DE上時,AC,CB,AM三條線段就能構成三角形,

構成三角形的概率P(A)=0.521分析：將‘構成三角形’記為事件A，由三角形的性質知；AC+CB=AB>AM,同時要AC-CB<AM.4.如圖所示,設M為線段AB的中點,在AB上任取一點C,則AC,CB,AM三條線段能否構成三角形?若能,求出構成三角形的概率是多少?ABMC285.已知關于x的方程ax2-ax+a-3=0.(1)若方程有兩實根,求實數(shù)a的值;(2)在(1)的前提下,任取一實數(shù)a,方程

有兩正根的概率是多少?P103529p=—————=1-

–=5/9。解：以7點為坐標原點，小時為單位。x，y

分別表示兩人到達的時間，(x，y)構成邊長為1的正方形，顯然這是一個幾何概率問題。6.兩人相約于

7時到

8時在公園見面，先到者等候

20分鐘就可離去，求兩人能夠見面的概率。

11

o

x

yS

1/3

1/3他們能見面的充要條件是

|

x–

y|≤1/3,因此，

A

x

–

y=–1/3

x

–

y=1/3

A的面積

S的面積4930

7.甲乙二人相約定6：00-6：30在預定地點會面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率，假定他們在6：00-6：30