第3課時：有理數(shù)的加減乘除乘方運算

初中數(shù)學(xué)知識點及典型題型

系統(tǒng)培訓(xùn)課件七年級上冊知識模塊一·有理數(shù)第三課時有理數(shù)的加減乘除乘方運算

知識點精講

問1：有理數(shù)加法法則是如何規(guī)定的？有理數(shù)加法遵循什么運算規(guī)律？

(1)有理數(shù)加法法則是如何規(guī)定的？①符號相同的兩數(shù)相加，取相同的符號，再把這兩個數(shù)的絕對值相加。

②符號不相同，絕對值不相等的兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號，再用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值。

③互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。④任意一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

(2)有理數(shù)加法遵循什么運算規(guī)律？①加法交換律：兩個數(shù)相加，交換被加數(shù)和加數(shù)的位置，和不變。即：a+b=b+a。②加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即：(a+b)+c=a+(b+c)。

問2：有理數(shù)減法法則是如何規(guī)定的？有理數(shù)減法運算遵循什么運算規(guī)律？

(1)有理數(shù)減法法則是如何規(guī)定的？①減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即：a－b=a＋(－b)。注：依據(jù)這條法則，可以把有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法，再運用有理數(shù)加法法則和運算規(guī)律運算。

②任意兩個相等的數(shù)相減都得0。③任意一個數(shù)減去0，仍得這個數(shù)。

0減去任意一個數(shù)，得數(shù)是這個數(shù)的相反數(shù)。

(2)有理數(shù)減法運算遵循什么運算規(guī)律？進行有理數(shù)減法運算時，不能直接運用交換律和結(jié)合律，必須把有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法之后，再運用加法的交換律和結(jié)合律，否則，運算結(jié)果會出錯。這就是有理數(shù)減法運算必須遵循的運算規(guī)律。比如：兩個數(shù)a、b相減，若直接運用交換律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：a－b≠b－a。三個數(shù)a、b、c相減，若直接運用結(jié)合律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：(a－b)－c≠a－(b－c)。

問3：如何進行有理數(shù)的加減混合運算？

方法1直接按運算式中加減的排列順序，按有理數(shù)加減法則運算。

方法2不直接按運算式中加減的排列順序，按有理數(shù)加減法則和運算規(guī)律分組相加運算。

①依據(jù)有理數(shù)減法法則“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，先把運算式中的有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法。

②先把其中“互為相反數(shù)”的數(shù)先相加，再正數(shù)一組和負數(shù)一組相加。

③最后把各組得數(shù)相加。例題解析分析：此題可按加減的排列順序運算，也可把運算式中的有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法運算，再分組結(jié)合相加。這兩種方法都可以。1解法1直接按運算式中加減的排列順序運算。解法2按有理數(shù)加減法則和運算規(guī)律分組相加運算。

問4：有理數(shù)乘法法則是如何規(guī)定的？有理數(shù)乘法遵循什么運算規(guī)律？

(1)有理數(shù)乘法法則是如何規(guī)定的？①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

②任何數(shù)同1相乘，都等于它本身。任何數(shù)同－1相乘，都等于它的相反數(shù)。③任何數(shù)同0相乘，都得0。(2)有理數(shù)乘法遵循什么運算規(guī)律？①乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積依然相等。即：ab=ba。②乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積依然相等。即：(ab)c=a(bc)。③乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，積依然相等。即：a(b+c)=ab+ac。

問5：如何判斷兩個數(shù)互為倒數(shù)？

(1)什么是倒數(shù)？乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。即：若a×b=1，則a、b互為倒數(shù)。注1：不僅正數(shù)之間可以互為倒數(shù)，負數(shù)之間也可以互為倒數(shù)。注2：因為0和任何數(shù)的乘積都是0，所以0沒有倒數(shù)。

(2)如何求一個數(shù)的倒數(shù)？注：0沒有倒數(shù)，a、b可以是除“0”之外的任意正數(shù)或負數(shù)。(3)如何判定兩個數(shù)互為倒數(shù)？依據(jù)倒數(shù)的定義，只要兩個數(shù)的乘積是1，就可以判定兩個數(shù)互為倒數(shù)。

問6：有理數(shù)除法法則是如何規(guī)定的？有理數(shù)除法運算遵循什么運算規(guī)律？

(1)有理數(shù)除法法則是如何規(guī)定的？(2)有理數(shù)除法運算遵循什么運算規(guī)律？進行有理數(shù)除法運算時，不能直接運用交換律、結(jié)合律和分配律，必須先把有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法，再運用乘法的交換律、結(jié)合律和分配律。否則，運算結(jié)果會出錯。這就是有理數(shù)除法運算必須遵循的運算規(guī)律。比如：兩個數(shù)a、b相除，若直接運用交換律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：

a÷b≠b÷a。三個數(shù)a、b、c相除，若直接運用結(jié)合律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：

(a÷b)÷c≠b÷(a÷c)。一個數(shù)a同兩個數(shù)b、c的和相除，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：

a÷(b+c)≠a÷b+a÷c。

問7：如何進行有理數(shù)的乘除混合運算？

方法1直接按運算式中各數(shù)之間的乘除排列順序，按有理數(shù)乘除法則運算。方法2不直接按運算式中各數(shù)之間的乘除排列順序，按有理數(shù)乘除法則和運算規(guī)律分組相乘運算。

①依據(jù)有理數(shù)除法法則“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”，先把運算式中的有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法，再按有理數(shù)乘法法則和運算規(guī)律運算。②先把其中“互為倒數(shù)”的數(shù)為一組相乘，分子或分母相乘能約分的數(shù)為一組相乘。③最后把得數(shù)按相乘順序相乘即可。例題解析2

此題有兩種解法。一是直接按乘除運算順序，按乘除運算法則計算。二是不直接按乘除運算順序，按乘除運算法則和乘法運算規(guī)律分組相乘運算。解法1直接按運算式中各數(shù)之間的乘除排列順序運算。解法2按有理數(shù)乘法法則和運算規(guī)律分組相乘運算。問8：什么是乘方？

(1)有理數(shù)運算包括哪幾種形式？有理數(shù)運算包括以下幾種運算形式：

1、有理數(shù)加法運算

2、有理數(shù)減法運算

3、有理數(shù)乘法運算

4、有理數(shù)除法運算

5、有理數(shù)乘方運算乘方運算是有理數(shù)運算的一種形式。

(2)什么是乘方？(3)

問9：乘方運算法則是如何規(guī)定的？

(1)乘方運算和乘法運算有什么關(guān)系？由乘方的定義可知：乘方就是幾個相同因數(shù)a的乘積運算。所以，有理數(shù)的乘法法則和運算規(guī)律同樣適合乘方運算。(2)乘方運算法則是如何規(guī)定的？

問10：

如何進行有理數(shù)的加減乘除乘方混合運算？

①運算式中若無括號，直接按“先乘方，再乘除，最后加減”的順序運算。②運算式中若有括號，通常要先去括號。去括號時，按小括號、中括號、大括號的順序依次去括號。括號內(nèi)、外的運算，都按“先乘方，再乘除，最后加減”的順序運算。例題解析

【例3】例題解析【例4】解法1按有理數(shù)乘法的分配率，先把括號內(nèi)各項與60相乘，再把得數(shù)相加。解法2先計算括號內(nèi)的值，再把得數(shù)和60相乘。

【典型題型】

有理數(shù)的加減乘除乘方運算（答案及解析見《教程》）

本課時培訓(xùn)收獲

1、掌握有理數(shù)加法的四條運算法則。2、掌握有理數(shù)減法的三條運算法則。3、掌握進行有理數(shù)加減混合運算的兩種常用方法。4、掌握