第4章-線性離散系統(tǒng)的受迫振動課件

船舶振動與噪聲控制

4.1單自由度系統(tǒng)4.2二自由度系統(tǒng)4.3多自由度系統(tǒng)機(jī)械振動基礎(chǔ)

第4章

線性離散系統(tǒng)的受迫振動

4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

工程振動中一個很重要方面是分析系統(tǒng)對外部激勵的響應(yīng)，這種振動有別于上節(jié)的自由振動，稱為強(qiáng)迫振動。

對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對于初始條件的響應(yīng)和對于外部激勵的響應(yīng)，然后再合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。4.1.1

系統(tǒng)對于簡諧激勵的響應(yīng)

對于上圖所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運動方程為（4-0）首先考慮最簡單的情況，即簡諧激勵情況，設(shè)F(t)

有如下形式圖

單自由度模型（4-1）

運動方程4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

（4-1）將（4-1）代入（4-0），兩邊同除以m

有

（4-2）當(dāng)A

為零時，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)，自由振動響應(yīng)隨時間衰減，最后消失，所以自由振動響應(yīng)也叫瞬態(tài)響應(yīng)。式（4-2）的特解也就是強(qiáng)迫振動響應(yīng)不會隨時間衰減，所以稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

（4-3）將（4-3）代入方程（4-2），可得

（4-4）利用三角函數(shù)關(guān)系

并令（4-4）式中和項的系數(shù)相等可得（4-5）設(shè)系統(tǒng)（4-2）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有如下形式

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

（4-6）（4-7）將（4-6）、（4-7）代入（4-3）得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。解（4-5）式可得

4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

典型的激勵與響應(yīng)關(guān)系曲線如圖所示。

將f(t)用復(fù)數(shù)形式表示:

圖

簡諧激勵f(t)

與響應(yīng)x(t)曲線

（4-8）

f(t)的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由f(t)的實部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由x(t)

的實部表示。式中A

一般為復(fù)數(shù)。

4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

（4-10）由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x(t)與激振力f(t)

成正比，且比例因子為（4-11）這稱為復(fù)頻響應(yīng).在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵滿足關(guān)系（4-9）4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

可見的模等于響應(yīng)幅值和激勵幅值的無量綱比，即

常稱為幅值因子。

（4-12）4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

圖

簡諧激勵的響應(yīng)下圖給出了在不同阻尼比下

與的關(guān)系曲線。

從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對于的位置左移。4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

（4-13）

當(dāng)ζ=0時，在ω=ωn處︱H(ω)︱不連續(xù)。對（4-12）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點對應(yīng)的ω

值

當(dāng)ζ=0時，對應(yīng)于無阻尼情況，此時系統(tǒng)的齊次微分方程就是簡諧振子。當(dāng)驅(qū)動頻率ω趨近于系統(tǒng)的自然頻率ωn時，簡諧振子的響應(yīng)趨于無窮，這種狀態(tài)稱為共振，系統(tǒng)會發(fā)生劇烈振動。4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

值得注意的是，當(dāng)ω=ωn

時，（2-10）式所表示的解已不適用了，必須對系統(tǒng)（2-2）重新求解。

在微小阻尼情況下，如ζ＜0.05，︱H(ω)︱的極大值的位置幾乎與ω/ωn=1相差無幾，引入符號︱H(ω)︱max=Q

，在微小阻尼情況下，有（4-14）品質(zhì)因子Q（4-2）

Q通常稱為品質(zhì)因子。4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

另外，在工程上︱H(ω)︱

常將取值為的兩點P1

和P2稱為半功率點。半功率點所對應(yīng)頻率之差稱為半功率點帶寬，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點帶寬Δω

取如下值（4-15）比較（4-14）和（4-15）式，可得

（4-16）（4-16）式給出了一種快速估計Q

和ζ

值的方法。

4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

下面將注意力轉(zhuǎn)到相角上來，由（4-11）和（4-12）式，不難得到

（4-17）這里（4-18）根據(jù)（4-17）式和（4-18）式，（4-16）式可寫為

（4-19）相角φ4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

從（4-19）式和上圖可以看出:對應(yīng)于不同ζ值的所有曲線均在ω/ωn=1處通過共同點對于ω/ωn＜1情況隨ω/ωn減小，相角趨于零。

對于ω/ωn＞1情況，隨ω/ωn增大，相角趨于π

。

即ω/ωn＜1時響應(yīng)同相，ω/ωn＞1時響應(yīng)反相。4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

可見，受迫振動的振幅在共振點前后相位出現(xiàn)突變，這一反?，F(xiàn)象，常被用來作為判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)共振的依據(jù)。方程（4-20）也清楚地表明簡諧振子在驅(qū)動頻率ω

趨近于自然頻率ωn時，響應(yīng)變?yōu)闊o窮大。（4-20）4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

考慮兩個激勵和，并設(shè)和分別為對應(yīng)于和的響應(yīng)，則有

接下來考慮為和的線性組合，即

4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

疊加原理則稱系統(tǒng)是線性的，否則系統(tǒng)是非線性的。很明顯，它僅適用于線性系統(tǒng)。換句話說，疊加原理可理解為，對于線性系統(tǒng)，可以先分別求解系統(tǒng)對于單獨激勵的響應(yīng)，然后將各個響應(yīng)合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。如果的響應(yīng)滿足

4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

4.1.2

系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)

在工程振動中，也遇到大量其他類型的非簡諧周期激勵。利用Fourier級數(shù)展開的方法，可以將周期為T

的任何函數(shù)展成如下形式和由右式求得

,4.1單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

而F(t)中的求和號中的每一項都是正弦和余弦項,故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

由解的表達(dá)式可看出，對于周期激勵的響應(yīng)也是周期的，且與有同樣的周期。另外，當(dāng)某個激振頻率接近系統(tǒng)的自然頻率時，系統(tǒng)的響應(yīng)中此簡諧分量將占主導(dǎo)地位，系統(tǒng)發(fā)生共振，也就是說周期激勵同樣可以激起系統(tǒng)共振。4.1單自由度系統(tǒng)4.2二自由度系統(tǒng)4.3多自由度系統(tǒng)機(jī)械振動基礎(chǔ)

第4章受迫振動系統(tǒng)

4.2二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動有阻尼二自由度系統(tǒng)為設(shè)簡諧激振力為相應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解可表示為

其中，X1，X2

一般為與激振力頻率ω

和系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)的復(fù)數(shù)。

簡諧激勵下的二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動響應(yīng)

代入方程式，得兩個代數(shù)方程引入表達(dá)式這里函數(shù)稱為機(jī)械阻抗，方程可以改寫成比較緊湊的矩陣形式其中稱為阻抗陣，為位移幅值列向量，為激振力幅值列向量。4.2二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動解得其中由此得4.2二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(4-23)當(dāng)系統(tǒng)無阻尼且時，方程

變?yōu)?4-24)將方程(4-24)代入(4-23)中，可得對于一組給定的系統(tǒng)參數(shù)，由上式可給出系統(tǒng)響應(yīng)幅值隨激振頻率的變化曲線—頻響曲線。4.2二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(4-25)方程(4-25)變?yōu)?a)式(a)

中，和表達(dá)式的分母為特征行列式(b)其中

(c)解：4.2二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動為系統(tǒng)自然頻率的平方，這樣(a)式可以寫為如下形式

(d)