數學物理方程總復習教學課件

知識要點總結主要內容包括:1、三類典型數理方程的定解問題。2、無界域波動方程初值問題的行波解。各種邊界條件下的三類方程的分離變量法4、特殊函數的應用。5、積分變換法。6、格林函數法第一章定解問題數學物理方程主要研究偏微分方程的求解問題:amLF(,,x,,LOxaxlax偏微分方程的階數、線性與非線性、齊次與非齊次我們的重點:f波動方程雙曲型方程D△+f熱傳導方程拋物型方程L穩(wěn)定場方程」橢圓型方程」定解問題泛定方程+定解條件泛定方程的確定(1)對所研究的問題做數學抽象表述,從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分,即微元作為研究對象,分析相鄰部分與這一小微元的相互作用;(2)根據相關領域中的物理學的規(guī)律(如前面所用的牛頓第二定律、能量守恒定律、髙斯定律等),以數學表達對微元的這種作用關系(3)化簡、整理,取相應的極限過程,得到數學物理方程例:利用麥克斯韋方程組導出電磁場所滿足的波動方程電磁場的麥克斯韋方程組的微分形式是DEBBVxH=i+D其中,E是電場強度,H是磁場強度,D是電位移矢量,B是磁感應強度,j是傳導電流,P電荷的體密度。這組方程還必須與下述場的物質方程聯立,EDB.RE其中,E是介電常數:μ是磁導率,σ是電導率。若介質是均勻且各向同性的,則ε,μ,σ均為常數。方程組(1)中的第二式和第四式都同時包含有E和H,從中消去一個變量就可以得到關于另一個變量的微分方程。首先消去E,用V×作用于(1)的第四式并利用(2)的第一和第三式,得V×E+σV×E將(1)中的第二式與(2)中的第二式代入(3)式,得(V×H=-EH-ouH又由矢量公式得:Vx(V×H)=V(VH)-V2H。又V·H=-V.B=0所以,H所滿足的方程為VH=Eu,+ouh同理,若消去H,即得E所滿足的方程為2E=SE,+OLE如果介質不導電(即σ=0),則上面兩個方程可簡化為HAHEVE式(⑦)和(8)稱為電磁場所滿足的三維波動方程。在直角坐標系下,這個三維波動方程以標量函數的形式表示出來,即ln=a2v2n=a2(2+,+n2)定解條件的確定初始條件十邊界條件(1)初始條件:如果泛定方程是關于時間變量t的n階方程,就必須給岀n個初始條件,只有這樣才可能給出具體問題的定解2)邊界條件:三類邊界條件+自然邊界條件三類給定的邊界第一類(狄利克萊)邊界條件f(M,)第二類(諾依曼)邊界條件anl=f(M,n)第三類(混合)邊界條件(u+hu,)lu=f(,t)(根據∫是否為零還可以分為齊次和非齊次邊界)其他邊界條件:銜接性邊界條件自然邊界條件有界性自然邊界條件→>有限周期性自然邊界條件+2丌)=d(q)定解問題包括初值問題:泛定方程十初始條件邊值問題:泛定方程十邊界條件混合問題:泛定方程十初始條件十邊界條件例:設有一單位球,其邊界球面上溫度分布為al=1=cos2O試寫出球內的穩(wěn)定溫度分布的定解問題解△u=0COS0,ul=0->有限例:試寫出三類典型數理方程的一般數學表達式,并寫出半無限長理想傳輸線一端加正弦電壓時的定解問題解:ln=a2△+fDAu+f△定解問題為:u=asinot0p(x),l10=v(x)提出定解問題:泛定方程十定解條件→求解:分離變量法等→分析解答第二章行波解中心:行波法求解無界空間波動問題重點知識包括:達朗貝爾公式一一利用坐標變換求通解的方法泊松公式一一化三維為一維的平均值法沖量原理一一非齊次方程定解,推遲勢對于一維問題:一一變量代換法定解問題:j2(x0)=y()lx(0)=v(x)思路:)u=