應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章

第二章

積分學(xué)第一部分：不定積分原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的運(yùn)算法則不定積分的換元法不定積分的分部積分法1/22微分學(xué){導(dǎo)數(shù)微分積分學(xué){不定積分定積分2/22例(sin

x)=cos

x

,"

x

?

(-￥

,+￥

),一、原函數(shù)與不定積分的概念定義若在I

上恒有F￠(x)=f(x),則稱F(x)為f(x)在I

上的一個(gè)原函數(shù)。\sin

x

是cos

x

在I

=(-￥

,+￥

)上的一個(gè)原函數(shù)。因?yàn)?/p>

: (sin

x

+

c)

=

cos

x,故

sin

x

+

c

也是cosx

在R上的原函數(shù)。3/22考慮原函數(shù)的表達(dá)式：設(shè)F

(x)為f

(x)在I

上的一個(gè)原函數(shù)，則G(x)為f

(x)在I

上的一個(gè)原函數(shù)"

x

?

IG(

x)

-

F

(

x

)

=

CG

(

x)

=

f

(

x)

=

F

(

x)(G(

x)

-

F

(

x

))

=

0G(

x)

=

F

(

x)

+

C

.\f

(x)在I

上的原函數(shù)全體為{F

(x)+C

|

C

?

R},其中F

(x

)為f

(x

)在I

上的任一個(gè)原函數(shù),\f

(x)在I

上的原函數(shù)具有一般表達(dá)式：F

(x)+C

.4/22任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：

f

(x)dx=F(x)+C被積表達(dá)式積分變量稱f

(x)在I

上帶有任意常數(shù)的原函數(shù)（即所有原函數(shù)）為f

(x)在

I

上的不定積分，記為

f

(x)dx

.5/22求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算由定義馬上得到下列關(guān)系式(

f

(

x)dx

)￠=

f

(

x)

f

￠(x)dx

=

f

(x)

+c

df

(

x

)

=

f

(

x

)

+

c例1求

d

x

(=

1dx

).解

x

=

1

,

x

?

I

=

(

-￥

,+￥

),\

x

為1

在

I

=

(

-￥

,+￥

)上的

一個(gè)原函數(shù)

,x

?

(

-￥

,+￥

).x

?

(

-￥

,+￥

),x

?

(

-￥

,+￥

).)\

dx

=

x

+

C,(

又

(

x

+

1)

=

1,\

dx

=(

x

+

1)

+

C,注檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的基本方法是：積分結(jié)果的導(dǎo)函數(shù)=被積函數(shù)。7/22注

f

(

x)的一個(gè)原函數(shù)的圖形稱為

f

(

x)的一條積分曲線.求不定積分得到一個(gè)積分曲線族y=F(x)+C.y=F(x)+C斜率f(x)y=F(x)x9/22基本積分表積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此，對(duì)每一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個(gè)相應(yīng)的積分公式。將基本導(dǎo)數(shù)公式從右往左讀，（然后稍加整理）可以得出基本積分公式（基本積分表）。11/22(1)

kdx

=

kx

+

C(k是常數(shù));(2)

xm

dx

=x1(4)1

-

x21

+

x21dx

=arctan

x

+

C

=

-arccot

x+

C;dx

=arcsin

x

+

C

=

-arccos

x

+

C;(5)基本

(3)積分表

cos

xdx

=

sin

x

+

C;

sin

xdx

=

-

cos

x

+

C;(6)(7)12/22

dx

=

ln

|

x

|

+C;+

C

(m

?

-1);m

+

1xm

+1xa

x

a dx

=

ln

a

+

C;(8)

sec

2

xdx

=

tan

x

+

C;csc2

xdx

=

-

cot

x

+

C;

sec

x

tan

xdx

=

sec

x

+

C;cscxcot

xdx

=

-

csc

x

+

C;

e

x

dx

=

e

x

+

C;(13)基本積分表13/22解：由例2

求14/22y

=

x2的一個(gè)原函數(shù)

F(x),

使得F（1）=0F

(

x

)

=

x

2

dx

=2

+

13x

2

+

1

+

c

=

1

x

3

+

c1再由F

(1)

=

0=

0F

(1

)

=

1

+

c3=即得到：c3-

1則所求原函數(shù)為：3131x

3-[

f

(

x)

–

g(

x)]dx

=

f

(

x)dx

–

g(

x)dx;二、不定積分的運(yùn)算法則(1)(2)

kf

(

x)dx

=

k

f

(

x)dx.（k

是常數(shù)，k

?0)例315/22求:

y

=

3x2-

2x

+1

的一個(gè)原函數(shù)使得F(1)

=

3.解：F

(x)=(3x2

-2x+1)dx=3

x2dx-2

xdx+dx2

+13=

x3

-1+12

x2

+

x

+c=

x3

-

x2

+

x

+

c再由:F

(1)=3解得

c

=

2x

3

-

x

2

+

x

+

2故所求原函數(shù)為例416/22x+1dx：2

x

-43求xx

- +

1

dx43解：

21=2x2dx-4

x-

13

dx

+

dx3

23=

4

x

2

-

6

x

3

+

x

+

c例5x4

3求：4e

-

x

+

x

dxxx4

3解：

4e

- +

x

dx

dx+

x

dx1xx-3=4

e

dx45=

4ex

-3ln

x

+

1

x5

+

c三、換元法不定積分的計(jì)算，其技巧性很強(qiáng)，有的非常復(fù)雜，也有的不定積分用普通的方法“積不出來”，這里僅通過例題對(duì)換元法作一點(diǎn)介紹。例：求

(1

+2

x

)4dx解，在基本積分公式中有t4dt

=

1t5

+c5作代換

1

+

2

x

=

t

,則有2x

=

t

-

12故原式

=

t

4d

(

t

-

1

)

dt=

t2

142=

1

t

4

dt1

t5

+

c=

12

510=

1

(1

+

2

x

)5

+

c例dx4

-

2x求1解，在基本積分公式中有

dt=ln|t|+c1t則x

=-作代換4-2x

=t,2t

-

4代入得：t4

-

2x12dx

=

1d

(-

t

-

4)

t

2=

1

-

1

dt

1

dt=

-2

t12=-1ln|

t

|

+c2=

-

1

ln

|

4

-

2x

|

+c例dx3

3

x

+

1x

+

1求解：求這一積分，如果作代換3x

+1=

t,問題會(huì)變得復(fù)雜，正確的代換是33x

+1

=

t,3t

3

-

1解得

：x

=代入得t

x

+1

dx

=

31

(t3

-1)+13

3x

+133d

(

t

-

1

)t1

(t3

-1)+1=

3

(t2dt)+

2

t

)dx3=

1

(t

4=

1

1

t

5

+

t

2

+

c3

5=5

2313x

+1)3

+

(3x

+1)3

+c1

(15四、分部積分法在微分中，有公式d(uv)

=(uv)dx=

uv

+uv

)dx=

v

u

dx)

+u(v

dx)=

vdu

+

udv將公式兩端求積分，左端為(注意：微分和積分互為逆運(yùn)算)

d

(

uv

)

=

uv右端為(vdu

+

udv)

=

vdu

+

udv故uv

=

vdu

+

ud

v最后得分部積分公式

udv

=

uv

-

vdu這條公式叫計(jì)算不定積分的分部積分公式，它非常重要，有的積分不用分部積分公式是算不出來的。下面的例題中可得出此公式的作用。例求

xe

x

dx解：

xe

x

dx

=

x(ex

)dx=

xdex=xex

-exdx=xex

-ex

+c例

x

5

ln

xdx解

：

x5

61xln

xdx

=

ln

xd

6=

1

x6

ln

x

-

1

x

6

d

ln

x6

66

=dx1xxx

ln

x

-16

6+

cx6

=66x

ln

x

-161原函數(shù)的概念；F

(x)=f

(x)不定積分的概念：

f

(x)dx

=F

(x)+C

；基本積分表；求導(dǎo)數(shù)與求不定積分的互逆關(guān)系；不定積分的運(yùn)算性質(zhì)；求不定積分的基本方法：將所求積分轉(zhuǎn)化為基本積分表中的積分。四、小結(jié)20/22一、 定積分的概念與性質(zhì)1/29第二節(jié)

定積分一、問題的提出abxo1、平面圖形的面積考慮如下曲邊梯形面積的求法。yy

=

f

(

x)A

=

?2/29這塊圖形是由一條連續(xù)的曲線y

=

f

(x)兩條與x

軸垂直的直線x=a和x

=b，以及x軸得圍成。abxyabx

oyo思路：用已知代未知，利用極限由近似到精確。一般地，小矩形越多，小矩形面積和越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）

（九個(gè)小矩形）用矩形面積近似曲邊梯形面積：3/29在區(qū)間[a，b]內(nèi)任意取一點(diǎn)x，考慮區(qū)間x

,

x

+

dx

]內(nèi)圖形的面積這里的

dx是一個(gè)無限小的數(shù)區(qū)間x,x

+dx]內(nèi)圖形的面積是無限狹窄的一的一塊區(qū)域，其面積為這塊面積也是無限小的。f

(

x

)

dx（高度×底邊)稱它是面積元素，也叫面積微元。每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)面積微元，將這些面積元素沿x共無窮多個(gè)，軸從a連續(xù)相加到b

，便得到所求面積。“沿x軸從a連續(xù)相加到b”用記號(hào)ba表示。所求面積A為一個(gè)數(shù)值，即：

bA

=af

(

x

)

dx二、定積分的概念設(shè)f

(x)是區(qū)間[a，b]連續(xù)函數(shù)，在[a，b]內(nèi)任意取一點(diǎn)x

,在無窮小的區(qū)間x,x

+dx

]內(nèi)作微元f

(x)dx將這些微元沿軸從a累加到b，得到的和就叫x定積分，記為ab

f

(

x)dx稱f

(x)為被積函數(shù)，稱a和b為積分下限和積分上限補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)a

>

b

時(shí)，f

(

x

)

dx

=

-abbaf

(

x

)

dx

.（2）當(dāng)a

=

b

時(shí)，f

(

x

)

dx

=

0

；ba三、

定積分的計(jì)算牛頓—萊布尼茨公式若f?

C[a,b]且F(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則a

aa

b

f

(

x

)dx

=

F

(b

)

-

F

(

a

)

=

F

(

x

)

|b

=

f

(

x

)

dx

|b1/14y

=lnx例：求由曲線在區(qū)間[1，2]上與x軸及x=2所圍成的面積A解

：A

=

2

ln

xdx1的不定積分，先求

ln

x由lnxdx=xlnx

-

xd(lnx)=xlnx

x

-

x

1

dx

=

x

ln