微專題2橢圓雙曲線的離心率

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，在近幾年的高考中頻繁出現(xiàn).在求離心率的值或范圍時常涉及平面幾何、不等式、方程等知識，綜合性強，且方法靈活.一、由雙曲線的漸近線求離心率例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為_________.解析由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況.當雙曲線的焦點在x軸上時，若其中一條漸近線的傾斜角為60°，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30°，如圖2所示，反思感悟雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助

＝

進行互求.一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論.二、利用焦點三角形求離心率√解析如圖，設PF1的中點為M，連接PF2.因為O為F1F2的中點，所以OM為△PF1F2的中位線.所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因為∠PF1F2＝30°，由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，(2)如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線

＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.解析如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2為直角三角形，反思感悟涉及到焦點三角形的題目一般都是利用圓錐曲線的定義，找a，b，c的關系，求解.三、利用齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：

＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是_____.2|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去).反思感悟求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關系，然后根據(jù)離心率的定義求得.但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關于a和c的關系式，進而求得

的值，其關鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關系來建立關于參數(shù)a，b，c的關系式，結合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡為參數(shù)a，c的關系式進行求解.四、求離心率的取值范圍又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，(2)已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點F1，F(xiàn)2，且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|＝10，雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，求橢圓的離心率的取值范圍.解設橢圓的半長軸長、半焦距分別為a1，c，雙曲線的半實軸長、半焦距分別為a2，c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，反思感悟求圓錐曲線離心率的取