人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修距離問題

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時距離問題激趣誘思知識點撥某人在一片丘陵上開墾了一塊田地,在丘陵的上方架有一條直的水渠,此人想從水渠上選擇一個點,通過一條管道把水引到田地中的一個點P處,要想使這個管道的長度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計?激趣誘思知識點撥一、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離1.點到直線的距離2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.名師點析點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點確定一個平面,所以空間點到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點到直線的距離問題.激趣誘思知識點撥微練習(xí)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,則點A到直線EF的距離為

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激趣誘思知識點撥二、點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離點到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則點P到平面α的距離為2.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解.3.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解.激趣誘思知識點撥微練習(xí)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為

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解析:以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求點線距例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求點B到直線A1C1的距離.解:以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究1例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.解:如例1解中建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到A1C1的距離.解:以B為坐標(biāo)原點,分別以BA,過B垂直于BA的直線,BB1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A1(2,0,2),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求點面距例2在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面CMN的法向量,再求距離.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.如圖所示,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟求點到平面的距離的主要方法(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.(1)求證:B1C∥平面A1BD;(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)解:因為B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距離就等于點B1到平面A1BD的距離.如圖建立坐標(biāo)系,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.(1)求證:B1D⊥平面ABD;(2)求證:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.思路分析根據(jù)兩個平行平面間距離的定義,可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)一點到另一個平面的距離,即點面距.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法總結(jié)求兩個平行平面的距離,先在其中一個平面上找到一點,然后轉(zhuǎn)化為該點到另一個平面的距離求解.注意:這個點要選取適當(dāng),以方便求解為主.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是(

)答案:B

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是(

)答案:D

解析:分別以PA,PB,PC所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是(

)答案:B

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:3解析:以點C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(4,0,0),B(0,3,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5