利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法分別求教學(xué)課件

利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法分別求1、戰(zhàn)鼓一響，法律無聲?！?、任何法律的根本；不，不成文法本身就是講道理……法律，也----即明示道理。——愛·科克3、法律是最保險的頭盔?！獝邸た瓶?、一個國家如果綱紀(jì)不正，其國風(fēng)一定頹敗?！麅?nèi)加5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。——波洛克利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法分別求利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法分別求1、戰(zhàn)鼓一響，法律無聲?！?、任何法律的根本；不，不成文法本身就是講道理……法律，也----即明示道理?！獝邸た瓶?、法律是最保險的頭盔?！獝邸た瓶?、一個國家如果綱紀(jì)不正，其國風(fēng)一定頹敗。——塞內(nèi)加5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。——波洛克利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．圖1利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．圖1又A1A綊B1B，所以A1A綊C1D，所以A1ADC1是平行四邊形，所以A1C1∥

AD，所以AD∥平面A1C1C，同理，B1D∥平面A1C1C；又因?yàn)锽1D∩AD＝D，所以平面ADB1∥平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.(3)由(1)知AB⊥平面AA1C，又二面角A1—AB—C是直二面角，【反思啟迪】

1.求直線和平面所成的角也有傳統(tǒng)法和向量法兩種．傳統(tǒng)法關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影，從而找出線面角；向量法則可建立坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算求解．用向量法可避開找角的困難，但計(jì)算較繁，所以要注意計(jì)算上不要失誤．2．角的計(jì)算與度量總要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角．【解】

(1)證明∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，圖2∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中點(diǎn)O，連接EO，∵EA＝ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，設(shè)M(x，y，z)，利用空間向量法求二面角的方法：(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．以上兩種方法各有利弊，要善于結(jié)合題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}．【規(guī)范解答】

取BC的中點(diǎn)E，AD的中點(diǎn)P，連接PE.在△SAD中，SA＝SD＝a，P為AD的中點(diǎn)，所以SP⊥AD.又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以，SP⊥平面ABCD.顯然有PE⊥AD.如圖，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PE為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，【反思啟迪】

1.當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立時，用向量法較為簡潔明快．2．用法向量求二面角的大小時，有時不易判斷兩法向量的大小就是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但我們完全可以根據(jù)圖形得出結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是比較明顯的．【解】

(1)證明∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又DE?平面SAD，∴DE⊥AB.∵SD＝AD，E是SA的中點(diǎn)，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB，∵DE?平面BED，∴平面BED⊥平面SAB.(2)由題意知SD，AD，DC兩兩垂直，以DA、DC、DS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，不妨設(shè)AD＝2，則 (2013·深圳模擬)如圖5，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；(2)求二面角D—AA1—C的余弦值；(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．【規(guī)范解答】

設(shè)BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.【反思啟迪】

利用空間向量解決探索性問題，可將所求問題轉(zhuǎn)化為方程(組)是否有解的問題，可通過解方程(組)來判斷是否有解．又DC與EC相交于C，∴EF⊥平面DCE.謝謝！21、要知道對好事的稱頌過于夸大，也會招來人們的反感輕蔑和嫉妒。——培根

22、業(yè)精于勤，荒于嬉；行成于思，毀于隨?！n愈

23、一切節(jié)省，歸根到底都?xì)w結(jié)為