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文檔簡介
第四章向量空間空間，并求它的一組基及其維數(shù).ni=1
xi
=0}是一個向量一、證明集合V
=
{(
x1
,
x2
xn-1
,
xn
)1
n證明：a
=
(
x
x
)
?
Vnii=1x
=
01
nb
=
(
y
y
)
?
Vn
yi
=
0i=1加法：a
+b
=(x1
+y1
xn
+yn
)?
V數(shù)乘：ka
=(kx1
kxn
)?
V滿足：(1)a
+b
=b
+a(3)a
+
0
=
a(5)(k
+
l
)a
=
ka
+
la(2)(a
+
b
)
+
g
=
a
+
(b
+
g)(4)a
+
(-a
)
=
0(6)k(a
+
b
)
=
ka
+
kb(7)(kl
)a
=
k(la
)
(8)1a
=
a這個向量空間是
x1
+
+
xn
=
0
的解空間A
=
(1
1)a
=
(-11
1
0)a
2
=
(-1
0
1
an-1
=
(-1
0
1)0)
維數(shù)：n
-1習(xí)題一 向量空間二、給定兩個矩陣10
0A
=
0
10
0
20
1
01
B
=
0
20
3-10
的行向量組是R
的兩組基，試問A
+B、A
-B、2
A
-B的行(列)向量組哪個是33R
一組基.1
解：A
+B
=
0
01
不是
03
2
2
A
-
B
=
0
05
2
0 0
3
3
0
0 0
A
-B
=
0
-1 1
不是
-3
1
0 0
0-3是三、設(shè)4R
中的兩個向量1Ta
=
(1,
2,
0,1)2a
=
(-1,1,1,1)T線性無關(guān)，試將其擴(kuò)充為R4的一組基.解：設(shè)1
2
3
4Ta
=
(
x
,
x
,
x
,
x
)11
4223
4TT(a
,a
)
=
a
a=
x1
+
2
x2+
x
=
0(a
,a
)
=
a
a=
-
x
+
x
+
x
+
x
=
0320)T1)T
a4
=
(-11
a
=
(-2
1
-30
-212=
0a1
2
1
03=
1
a1=
1
1與2
1
2
-1
-133四、給定三維向量空間R
的兩組基：a
2
b1
=
2
b
=
2
b
=
-1
-1由基a1、a
2、a
3
到基b1、b2、b3的過渡矩陣；求向量a
=
(3
,
1
,
-
2)
在這兩組基下的坐標(biāo).解：3
3
-2
-
232122
3
A
=
12
5
1-
2
(3
1
-2)1
5
32
2
2(--
)向量的內(nèi)積習(xí)題二一、設(shè)n
維實向量a
,b
的內(nèi)積組成的行列式(a
,a
)(a
,
b
)(b
,
b
)G(a
,
b
)
=
(b
,a
)，則G(a
,b
)=0
的充要條件是a
,b
線性相關(guān).(ka
,a
)
=
(b
,a
)(ka
-
b
,a
)
=
0\
(ka
,
b
)
=
(b
,
b
)
\
(ka
-
b
,
b
)
=
0證明：必要性
G(a
,
b
)
=
0
\
G
行向量之間線性相關(guān)即
k((a
,a
),(a
,
b
))
=
((b
,a
),(b
,
b
))(k
(a
,a
),
k
(a
,
b
))
=
((b
,a
),(b
,
b
))((ka
,a
),(ka
,
b
))
=
((b
,a
),(b
,
b
))\
k
(ka
-
b
,a
)
=
k
0\
(ka
-
b
,
ka
)
=
0\
ka
-
b
=
0\
(ka
-
b
,
ka
-
b
)
=
0\a
,b
線性相關(guān)充分性a
,b
線性相關(guān)\ka
=b(b
,a
)(a
,
b
)(b
,
b
)(a
,a
)G(a
,
b
)
=(b
,a
) (b
,
b
)
(ka
,a
)(a
,
ka
)(ka
,
ka
)(a
,a
)G(a
,
b
)
=(a
,
b
)
(a
,a
)=(a
,a
)
k(a
,a
)=
k(a
,a
)
k
2
(a
,a
)
=
0二、設(shè)1a2
02=
1
a-2
1
3=
0
a=
-2
2
1
是R3的一組基，試用施密特解：112b
=
a=
1
0211111(a
,
b
)(b
,
b
)正交化方法將其化成R3
的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并求向量a
=(2,3,4)T
在該標(biāo)準(zhǔn)基之下的坐標(biāo).
-
2
5
b2
=
a
2
-b
=
4
5
3
23
1332122112(a
,
b
)(a
,
b
)(b
,
b
)(b
,
b
)
1
b
=
a
-b
-b
=
-
2
10b12
5
h1
=
b
=
1
5
222bb5
-2
34
3
5h
==
5
35
333bb
1
3
h
==
-2
3
2 3
a
=
(2
,
3
,
4)T在該標(biāo)準(zhǔn)基之下的坐標(biāo).,
,
)(
7
28
435
3
51三、給定a2=
(1,1,1,1)T
a=
(1,
0,
0,
-1)T正交，求非零向量解：設(shè)：1
2
3
4a
3、a4
使a1
,a
2
,a
3
,a
4
兩兩相交.Ta
=
(
x
,
x
,
x
,
x
)(a
,a1
)
=
x1
+
x2
+
x3
+
x4
=
0(a
,a
2
)
=
x1
-
x4
=
0121)Tb
=
(1
-2
0Ta
3
=
b1
=
(0b
=
(0
-1
1
0)T-1
1
0)2
33331)T(b
,a
)(a
,a
)a
=
(1
-1
-1a4
=
b2
-四、不唯一五、給定齊線性方程組：
x1
+
2
x2
-
x3
=
02
x
+
4
x
-
2
x
=
0
1
2
3求，其解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解：A
=
20
1
2
-1
1
2
-14
-2
fi
0
02
-2
1
a1
=
1
a
=
0
0
1
-2
1
5
b1
=
1
b2
=
2
5
0
1
單位化：正交化：05
130
-2
h1
=
1
5
b2
=
2
30
30
5
習(xí)題三正交矩陣一、若A
,B均為正交矩陣，則AB是正交矩陣，并問A
+B是否是正交矩陣，并證明你的結(jié)論.證明:AT
A
=E
,BT
B
=E(
AB)T
(
AB)
=
BT
AT
AB
=
E則AB是正交矩陣(
A
+
B)T
(
A
+
B)
=
(
AT
+
BT
)(
A
+
B)=
AT
A
+
AT
B
+
BT
A
+
BT
B
=
2E
+
AT
B
+
BT
A二、設(shè)a1
,a
2
annR是 的一個基，Aij
n·n=
(a
)為可逆矩陣，1
2
n則Aa
,Aa
Aa是Rn
的基.?
0證明：a1
,a
2
an是一個基，則a1
,a
2
anA(a1
,a
2
an)
=
(
Aa1
,
Aa
2
Aan
)A(a1
,a
2
an
)
=
(
Aa1
,
Aa
2
Aa
n)A
(a1
,a
2
an
)
=
(
Aa1
,
Aa
2
Aa
n)
?
0\Aa1
,Aa
2
Aa
n
線性無關(guān)任意n維向量均可由Aa1
,Aa
2
Aa
n線性表示ij
n·n三、若A
=
(a
)為
n
階正交矩陣，A
=
1
.證明：aij=Aij
(i,j
=1,2
n)其中Aij
為行列式A中元素aij
的代數(shù)余子式.證明：A
正交矩陣A
=
1A*AA-1
=
a11=
A*
=
ATan1
A11An1
a
A
1nnn
1nnn
=
a
A四、a1
,a2是R
中的兩個向量，證明：對任一
n
階正交矩陣A1
2
1
2T12T
T(
Aa
,
Aa
)
=
(
Aa
)
Aa
=
a
A
Aa1
2T=
a
EaT1
2
1
2=
a
a
=
(a
,a
)n均有(Aa1
,Aa2
)=(a1
,a2
)且Aa1
,Aa
2
的夾角等于a1
,a2
的夾角證明：
A
正交矩陣121
2121212(
Aa
,
Aa
)
(a
,a
)Aa
Aaa
acosq
===
cosq0
￡
q
￡
1800\
q1
=
q2也是對稱矩陣.五、試證：若A
是實對稱矩陣，T
正交矩陣，則T
-1
AT證明：AT
=
AT
TT
=
E(T
-1
AT
)T
=
(
AT
)T
(T
-1
)T
=
TT
ATT
=
T
-1
AT六、證明：若A是
n
階上三角正交矩陣，則
A是對角矩陣且主對角線上的元素是–1
.AT
A
=
E證明：A
正交A
上三角
AT
下三角AT
=
A-1A-1
上三角\A
是對角矩陣1a
an
A
=
1a1a
1
a1\
AT=
=
=
A-1a
n
n
\
ai
=
–1自測題一、選擇題31．由R
的基1
23x
,
x3
1
2
2,x到x
,x
-x
,x
基的過渡矩陣P
為(A)1
0
00
1
00
0
1（B）01
0
0
0
1
0
1
10
-1
10（C）0
-
11
0
0（
D）010
1
0
-1
1
0
0A,B
均為n
階正交矩陣，則（A）AB,A
+B都是正交矩陣；（B）AB是正交矩陣，A
+B
不是正交矩陣；（C）AB不是正交矩陣，A
+B
是正交矩陣；（D）AB,A
+B都不是正交矩陣.設(shè)
H
是正交矩陣，則(A)
H
=
E（B）H
=
1（C）H
T
=
H
-1（D）H
04．n維列向量a1
,a
2
an
是Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是（A）兩兩正交；(B）均為單位向量；（C）線性無關(guān)；T1
2
n
1
2
n（D）(a
,a
a
)
(a
,a
a
)
=
E1A
=
110
05．設(shè)
1，P
是二階正交陣，且P
-1
AP
=
0
2
則P
=
1
22(A)
-
1
1
2
1
（B）1
1
2-
1
1
2 2
1
2
1
2
1
2-（C）
1
2
12
12（D）
-
1
12 2
2
2
6．R4
的向量a
=
(0,
0,
0,1)
在基e1
=
(1,1,0,1)
e2
=
(2,1,
3,1)e3
=(1,1,0,0)
e4
=(0,1,-1,-1)之下的坐標(biāo)是(A)
(1,
0,1,
0)
（B）(1,
0,-1,
0)
（C）(-1,
0,-1,
0（)
D）(-1,
0,10)7．設(shè)向量a
=(1,2,-a,-3)，b
=(-3,2,5,1)且(a
,b
)=1
則a
=(A)255（B）
3
（C）
-
1
（D）
-
35
5二、填空題1．向量a
=(1,-1,1
-1)T
經(jīng)單位化后的向量(1
1
1
12
2
2
2)T,-
,
,-1
13
22．若向量K
(7, ,
1)T是單位向量，則
K
=
–
63．向量組a1
=
(1,
0,1)
a
2
=
(1,
-1,0)
a
3
=
(2,1,1)
則向量b
=(3,2,1)在這組基下的坐標(biāo)是(-1,0,2)4．與a1
=(1,-1,0,2)a2
=(2,3,1,1)a
3
=(0,0,1,2)都正交的單位向量是–(
1
,-
1
,
2
,-
1
)7
7
7
75．設(shè)A
為n
階正交矩陣，則2000A-1
=
12346．R2
兩個基a1
=
a
2
=
11b
=
5
和
121b
=3
則12a
、a到基12b
、b的過渡矩陣1
1
-
22
13
-
2 2
7．向量a
=（1，2，3，4）與向量b
=（4，a，2，1)正交，則a
=
-7三、計算題1．將向量1Ta
=
(1，-
1，0，2，1）2
3a
=
(3,
2,
4,
-1,
0)Ta
=
(4,1,
4,1,1)T4a
=(1,4,4,-5,-2)T
擴(kuò)充成R5一組基，并化為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基解：(a1
a
2
a
3
01
a4
)
fi
0
00
00
1
0
1
-2
1
1
0
0
0
\
a1
,a
20
00
0為其一個極大無關(guān)組1
2
3
4
5x
x
)T設(shè)：a
=
(
x
x
x3
4(a
,a1
)
=
x1
-
x2
+
2
x4
+
x5
=
0(a
,a
)
=
3
x
+
2
x
+
4
x
-
x
=
01h
=
(-23
75
50
1
0)Th
=
(-335
52
1
24
-
4
1
0
0)T5
50
0
1)Th
=
(-
2正交化、單位化1g
=
(02g
=
(0
0
0
1
0)T3g
=
(042222g
=
(-
0
0
0)T50
1
0
0)T0
0
0
1)T2
22
20
0
0)Tg
=
(1
2
3
44x1
+
x2
+
x3
-
x4
=
02、求線性方程組3
x
+
2
x
-
x
+
2
x
=
02
x
+
x
-
2
x
+
3
x
=
0
1
2的解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解：
1A
=
32
fi
0
23
00
31
1
-1
1
0
-3
4
2
-1
1
41
-2
0
0
12
3
-4
-5
h
=
-4
,h
=
5
,
1
0
0
1
正交化單位化1
-
4
13
3
1
-4
b1
=
1
,h2
=
13
,
16
13
0
1
-
4
13
3
1
13
1
-4
13
,442
16
13a1
=
26
1
,h2
=
0
3已知R2
兩個基a1
=(1,1)a2
=（1，-1）和b1
=（1，3）b2
=（3
，1）求由基a1、a
2
到基b1、b2
的過渡矩陣和坐標(biāo)變換公式.1
2解：(b
b
)=(a
a
)A1
2
1
2-1A
=
(a
a
) (b
b
)1
22
A
=
21
-1
y1
x1
=
A
y
x
2
2
1
2
34．a(chǎn)=（0，1，1）T、a
=（1，0，1）T、a
=（1，1，1）T是R3一組基試用施密特正交化方法將其化成R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基.解：正交化單位化
0
1
h1
=
1
2
1
2
61
2
h2
=
-6
6
1
3
1
3
h3
=
-
1
-
3
5．R4
中兩個向量a1
=(1,1,0,1)a2
=(-1,1,1,0)求非零向量a
3
,a
4
使a1
,a2
,a3
,a4解：設(shè)：正交。a
=
(
x1
x2
x3
x4
)2
1
2
3(a
,a1
)
=
x1
+
x2
+
x4
=
0(a
,a
)
=
-
x
+
x
+
x
=
0121
12
2a0
=
1
-
13
2a
=-4
0
11236給定R3
的基a=(1,-2,2)T
、a=（-1，0，1）T、a=（5，-
3，-
7）T（1）將其化為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基3R1
2
3x
,x
,x在標(biāo)準(zhǔn)正交基Ta
=
(1,1,,1)123x
,x
,x下的坐標(biāo).(2）求向量解：正交化單位化1231
1
10
3
-
9
79
x
=
-
2
,x
=
,x
=
-39
8438
3
3
217
979
-26
2
3
任意線性組合四、證明題1．a(chǎn)
與b1
,b2
,b3
都正交，試證a
與b1
,b2
,b3均正交.證明:(a
,k1
b1
+k2
b2
+k3
b3
)=
(a
,
k1
b1
)
+
(a
,
k2
b2
)
+
(a
,
k3
b3
)=
k1
(a
,
b1
)
+
k2
(a
,
b2
)
+
k3
(a
,
b3
)
=
02．若a1
,a2
,a3是R3一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明：31
239b
=
1
(-4a
-
4a
+
7a
)11
2
39b
=
1
(a
-
8a
-
4a
)2
12
39b
=
1
(-8a
+
a
-
4a
)也是的一組正交基.1
2
3
1219
9
1證明:(b
,b
)=(a
-
8a
-
4a
),
(-8a
+
a
-
4a
)1
2
3
1=
81
(a1
-
8a
2
-
4a
3
,
-8a1
+
a
2
-
4a
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