福建省福州市私立育英學校高二數(shù)學理模擬試題含解析

福建省福州市私立育英學校高二數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.是等腰三角形，=，則以A,B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為A.

B.

C.

D.參考答案：B由題意知設焦距為2c，則|AB|=2c,|BC|=2c,則|AC|=2|AB|cos30°=,【答案】略3.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)題意，設，為的圖象上兩點，由導數(shù)的幾何意義可得為函數(shù)在處切線的斜率，為函數(shù)在處切線的斜率，，分析函數(shù)的圖象變化的趨勢即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設，為的圖象上兩點，

則為函數(shù)在處切線的斜率，

為函數(shù)在處切線的斜率，

，

由函數(shù)圖象分析可得：函數(shù)為增函數(shù)，但增加的越來越慢，

則

故選【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義，關鍵是掌握導數(shù)的定義，屬于基礎題．4.在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為(

)A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【專題】常規(guī)題型．【分析】連接C1B，D1A，AC，D1C，將MN平移到D1A，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠D1AC為異面直線AC和MN所成的角，而三角形D1AC為等邊三角形，即可求出此角．【解答】解：連接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC為異面直線AC和MN所成的角而三角形D1AC為等邊三角形∴∠D1AC=60°故選C．【點評】本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．5.已知直線ax+y﹣2=0與圓心為C的圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a=（）A．± B．± C．1或7 D．4±參考答案：D【考點】直線與圓相交的性質．【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式即可得到結論．【解答】解：圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=4的圓心C（1，a），半徑R=2，∵直線和圓相交，△ABC為等邊三角形，∴圓心到直線的距離為Rsin60°=，即d==，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故選：D【點評】本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離是解決本題的關鍵．6.在同一坐標系中，方程與的曲線大致是（

）參考答案：C7.“a＝－1”是“直線a2x－y＋6＝0與直線4x－（a－3）y＋9＝0互相垂直”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件參考答案：A8.橢圓上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為

（

）A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：C9.命題“若，則”的逆否命題為（

）A．若≥1，則≥1或≤－1

B．若或，則C．若，則

D．若≥1或≤－1，則≥1參考答案：D10.定義運算，則符合條件的復數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知下列命題（其中a，b為直線，α為平面）：①若一條直線垂直于平面內無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面垂直；②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線一定垂直于這個平面；③若a∥α，b⊥α，則a⊥b；④若a⊥b，則過b有惟一α與a垂直．上述四個命題中，是真命題的有．（填序號）參考答案：③④【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】①平面內無數(shù)條直線均為平行線時，不能得出直線與這個平面垂直，故①錯誤；②垂直于這條直線的直線與這個平面可以是任何的位置關系，故②錯誤．若a∥α，b⊥α，則根據(jù)線面平行、垂直的性質，必有a⊥b．【解答】解：①平面內無數(shù)條直線均為平行線時，不能得出直線與這個平面垂直，將“無數(shù)條”改為“所有”才正確；故①錯誤；②垂直于這條直線的直線與這個平面可以是任何的位置關系，有可能是平行、相交、線在面內，故②錯誤．③若a∥α，b⊥α，則根據(jù)線面平行、垂直的性質，必有a⊥b，正確；④若a⊥b，則過b有且只有一個平面與a垂直，顯然正確．故答案為③④．12.曲線在點P0處的切線平行于直線，則P0點的坐標為

．參考答案：（1，0），（-1，4）略13.已知是雙曲線上的一點，是C的兩個焦點，若，則的取值范圍是

．參考答案：由題意，,.

14.已知關于的不等式的解集為,

則ac=_______.參考答案：-2415.若函數(shù),若存在區(qū)間,使得當時,的取值范圍恰為,則實數(shù)k的取值范圍是________.參考答案：略16.某程序框圖如圖，則該程序運行后輸出的值為

參考答案：49試題分析：輸出n=49.考點：程序框圖和算法.17.下面關于四棱柱的四個命題：①若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；②若有兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個側面面面全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱。其中真命題的編號是

（寫出所有真命題的編號）。參考答案：②④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的中心是原點，對稱軸是坐標軸，拋物線的焦點是的一個焦點，且離心率。（I）求橢圓的方程；（II）已知圓的方程是（），設直線：與圓和橢圓都相切，且切點分別為，。求當為何值時，取得最大值？并求出最大值。參考答案：（I）依題意可設橢圓的方程為，則因為拋物線的焦點坐標為，所以又因為，所以，所以故橢圓的方程為。（II）由題意易知直線的斜率存在，所以可設直線：，即∵直線和圓相切

∴，即①聯(lián)立方程組消去整理可得，∵直線和橢圓相切∴，即②由①②可得現(xiàn)在設點的坐標為，則有，，所以，所以等號僅當,即取得故當時，取得最大值，最大值為。略19.(本題滿分12分)已知兩點，點在以為焦點的橢圓，且構成等差數(shù)列。（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，當最大時，求直線的方程參考答案：（Ⅰ）依題意，設橢圓的方程為．∵構成等差數(shù)列，，又∵c=1，，橢圓的方程為．

。。。。。。。。。4分（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

。。。。。。。。。6分設坐標原點到動直線的距離為，則

。。。。。。。。。8分時

最大此時故所求直線方程為或

。。。。。。。。。12分

20.已知函數(shù)f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）證明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且對（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)x∈（0，）時，f′（x）＜0，得出f（x）是單調減函數(shù)，再根據(jù)f（0）＞0，f（）＜0，得出此結論；（Ⅱ）構造函數(shù)h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零點t1∈（0，），即證g（x）存在唯一的零點x1∈（，π），滿足x0+x1＜π．【解答】證明：（Ⅰ）∵當x∈（0，）時，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，）上為減函數(shù)，又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）考慮函數(shù)h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，令t=π﹣x，則x∈[，π]時，t∈[0，]，記函數(shù)u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），則u′（t）=﹣?=﹣=﹣==，由（Ⅰ）得，當t∈（0，x0）時，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函數(shù)，又u（0）=0，∴當t∈（0，x0]時，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上無零點；在（x0，）上u（t）是減函數(shù)，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵當x∈（，π）時，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）與h（x）有相同的零點，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．21.《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085

（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)少與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（3）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下2×2列聯(lián)表：

不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050

能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？參考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）；（2）66人；（3）有的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關．【分析】（1）利用所給數(shù)據(jù)計算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程；

（2）由（1）中的回歸直線方程計算x=7時的值即可；

（3）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K2，對照臨界值得出結論．【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)知，，∴，∴，∴所求回歸直線方程為。（2）由（1）知，令，則人.（3）由表中數(shù)據(jù)得，根據(jù)統(tǒng)計有把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關．【點睛