新教材人教A版4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課件（34張）

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用關(guān)鍵能力探究探究點一指數(shù)函數(shù)模型【典例1】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人,如果年自然增長率為1.2%,試解答下列問題:(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式.(2)計算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人).(3)計算大約多少年后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年).10≈1.127,log1.20≈15).【思維導(dǎo)引】具體列出一年后、二年后、三年后的人口總數(shù),利用歸納的方法,確定函數(shù)關(guān)系.【解析】(1)1年后該城市人口總數(shù)為:y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);2年后該城市人口總數(shù)為:y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2;3年后該城市人口總數(shù)為:y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2%)3;x年后該城市人口總數(shù)為:y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為:100×(1+1.2%)10≈112.7(萬).(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬,即100×(1+1.2%)xx=1.20.所以x=log1.20≈15(年).【類題通法】指數(shù)函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用(1)在實際問題中,有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示.通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.(2)增長率問題多抽象為指數(shù)函數(shù)形式,當(dāng)由指數(shù)函數(shù)形式來確定相關(guān)的量的值要求不嚴(yán)格時,可以通過圖象近似求解.用函數(shù)的圖象求解未知量的值或確定變量的取值范圍,是數(shù)學(xué)常用的方法之一.【定向訓(xùn)練】某公司預(yù)投資100萬元,有兩種投資方案可供選擇:方案一:年利率10%,按單利計算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年復(fù)利一次計算,5年后收回本金和利息.哪一種投資更有利?這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元?(結(jié)果精確到0.01萬元)【解析】本金100萬元,年利率10%,按單利計算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150(萬元).本金100萬元,年利率9%,按每年復(fù)利一次計算,5年后的本息和是100×(1+9%)5≈153.86(萬元).由此可見,方案二更有利,5年后多得利息約3.86萬元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】每次用同體積的水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢的,若洗x次后存留的污垢在1%以下,則x的最小值是________.

【解析】每次洗去污垢的,就是存留了,故洗x次后,還有原來的(x∈N*),故有<1%,所以5x>100,解得x的最小值為3.答案:3探究點二對數(shù)函數(shù)模型【典例2】(2020·成都高一檢測)近年來,我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就,得益于我國先進(jìn)的運載火箭技術(shù).據(jù)了解,在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下,可以用公式v=v0ln計算火箭的最大速度vm/s,其中v0m/s是噴流相對速度,mkg是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量,Mkg是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和,稱為“總質(zhì)比”.已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s.(1)當(dāng)總質(zhì)比為330時,利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度.(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后,A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍,總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?若要使火箭的最大速度至少增加800m/s,求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值.參考數(shù)據(jù):ln330≈5.8,2.225<e<2.226.【思維導(dǎo)引】(1)將數(shù)據(jù)代入公式v=v0ln直接計算.(2)列出不等式,解不等式求的最小整數(shù)值.【解析】(1)當(dāng)總質(zhì)比為330時,v=2000ln330.由參考數(shù)據(jù)得v≈2000×5.8=11600m/s,所以當(dāng)總質(zhì)比為330時,A型火箭的最大速度約為11600m/s.(2)由題意,經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后,A型火箭的噴流相對速度為3000m/s,總質(zhì)比變?yōu)?要使火箭的最大速度至少增加800m/s,則需3000ln-2000ln≥800.化簡,得3ln-2ln≥0.8.所以≥0.8,整理得ln≥0.8.所以≥e,則≥125×e.由參考數(shù)據(jù),知2.225<e<2.226.所以278.125<125×e<278.25.所以材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值為279.【類題通法】對數(shù)函數(shù)y=logax(x>0,a>1)經(jīng)復(fù)合可以得到對數(shù)型函數(shù),其函數(shù)值變化比較緩慢.直接以對數(shù)型函數(shù)作為模型的應(yīng)用問題不是很多,但我們知道,對數(shù)運算實際上是求指數(shù)的運算,因此在指數(shù)函數(shù)模型中,也常用對數(shù)計算.【定向訓(xùn)練】1.地震的等級是用里氏震級M表示,其計算公式為,M=lgA-lgA0,其中A是地震時的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅”(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測量中的誤差).一般5級地震的震感已比較明顯,則8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍.

【解析】因為8=lgA1-lgA0,5=lgA2-lgA0,所以A1=108A0,A2=105A0,所以A1∶A2=108A0∶105A0=1000.答案:10002.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn),兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=5log2,單位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位?(2)當(dāng)燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度是多少?【解題指南】(1)燕子靜止時的耗氧量即v=0時Q的值.(2)燕子的耗氧量是80個單位時,求它的飛行速度,即為當(dāng)Q=80時v的值.【解析】(1)由題意,當(dāng)燕子靜止時,它的速度v=0,代入題中給出的公式可得:0=5log2,解得Q=10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.(2)將耗氧量Q=80代入題中給出的公式得:v=5log2=5log28=15(m/s).【思維導(dǎo)引】根據(jù)增長速度的不同選定模型,用待定系數(shù)法確定解析式,再根據(jù)解析式求最小月份.探究點三擬合函數(shù)模型的應(yīng)用【典例3】某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮,這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快,二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為24m2,三月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為36m2,鳳眼蓮覆蓋面積y(單位:m2)與月份x(單位:月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=kax(k>0，a>1)與y=可供選擇.(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式.(2)求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份.(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【解析】(1)兩個函數(shù)y=kax(k>0，a>1),y=在(0,+∞)上都是增函數(shù),隨著x的增加,函數(shù)y=kax(k>0,a>1)的值增加越來越快,而函數(shù)y=的值增加越來越慢,由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快,所以函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1)適合要求.由題意可知,當(dāng)x=2時,y=24;當(dāng)x=3時,y=36,所以所以該函數(shù)模型的解析式是y=(2)當(dāng)x=0時,y=,所以元旦放入鳳眼蓮面積是m2,由所以x>因為≈5.7,所以x≥6,所以鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份.【類題通法】數(shù)據(jù)擬合問題的三種求解策略(1)直接法:若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型,或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型,則可直接代入所給數(shù)據(jù),問題即可獲解.(2)列式比較法:若題目所涉及的是最優(yōu)化方案問題,則可根據(jù)數(shù)據(jù)先列式,然后進(jìn)行比較.(3)描點觀察法:若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型,則可根據(jù)數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點,作出散點圖,然后觀察這些點的位置變化情況,確定所需要用的數(shù)學(xué)模型,問題即可順利解決.【知識延拓】數(shù)據(jù)擬合的作用一般情況下數(shù)學(xué)建模,是離不開假設(shè)的,假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面:(1)進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用.(2)降低解題難度,經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就可以有能力建立數(shù)學(xué)模型,并且得到相應(yīng)的解.(3)一般情況下,是先在最簡單的情況下組建模型,然后通過不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實際,從而得到更滿意的解.【定向訓(xùn)練】某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn),并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙,1.2萬雙,1.3萬雙,1.37萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎,前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時,接受訂單不至于過多或過少,需要估計以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析,產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是廠長,就月份x,產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量?【解題指南】本題是通過數(shù)據(jù)驗證,確定系數(shù),然后分析確定函數(shù)變化情況,最終找出與實際最接近的函數(shù)模型.【解析】由題意,知將產(chǎn)量隨時間變化的離散量分別抽象為A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)這4個數(shù)據(jù).(1)設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+b時,將B,C兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)式,得解得所以有關(guān)系式y(tǒng)=0.1x+1.由此可得結(jié)論為:在不增加工人和設(shè)備的條件下,產(chǎn)量會每月上升1000雙,這是不太可能的.(2)設(shè)模擬函數(shù)為y=ax2+bx+c時,將A,B,C三點的坐標(biāo)代入函數(shù)式,得解得2+0.35x+0.7.結(jié)論為:由此法計算4月份的產(chǎn)量為1.3萬雙,比實際產(chǎn)量少700雙,而且由二次函數(shù)性質(zhì)可知,產(chǎn)量自4月份開始將每月下降(圖象開口向下,對稱軸為x=3.5),不合實際.(3)設(shè)模擬函數(shù)為y=abx+c時,將A,B,C三點的坐標(biāo)代入函數(shù)式,得由①,得ab=1-c,代入②③,得解得則a==-0.8.x+1.4.4+1.4=1.35.x+1.4模擬比較接近客觀實際.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示:t1.99345.16.12u1.54.047.51218.01則最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是 ()A.u=log2t B.u=2t-2C.u= D.u=2t-2【解析】選C.t=1.99,log21.99≈1,2-2≈2,≈1.5,2×1.99-2=1.98;t=3,log23≈1.6,23-2=6,=4,2×3-2=4;t=4,log24=2,24-2=14,=7.5,2×4-2=6;t=5.1,log25.1<3,2-2>30,≈12.51,2×5.1-2=8.2.故排除A、B、D.2.在一次數(shù)學(xué)實驗中,采集到如下一組數(shù)據(jù):x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x,y的函數(shù)關(guān)系最接近(其中a,b為待定系數(shù))函數(shù) ()A.y=a+bx B.y=bxC.y=ax2+b D.y=【解析】選B.散點圖如圖所示:由散點圖可知,此函數(shù)圖象不是直線,排除A;此函數(shù)圖象是上升的,是增函數(shù),排除C,D.3.某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品,試銷售中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與每件的售價x(元)滿足一次函數(shù):m=162-3x.若要每天獲得最大的銷售利潤,每件商品的售價應(yīng)定為 ()【解析】選B.設(shè)每天的銷售利潤為y元,則y=(x－30)(162－3x),30≤x≤54,將上式配方后得y=-3(x－42)2+432,當(dāng)x=42時,y取得最大值.故每件商品的售價定為42元時,每天才能獲得最大的銷售利潤.4.據(jù)報道,全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%,如果按此速度,設(shè)2000年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m,則從2000年起,經(jīng)過x年后,北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是 ()【解析】選A.設(shè)北冰洋冬季冰雪覆蓋面積每年為上一年的q%,則(q%)50