一輪復習人教A版6.2平面向量的數(shù)量積及其應用課件（17張）

高考

數(shù)學專題六平面向量6.2平面向量的數(shù)量積及其應用基礎篇考點平面向量的數(shù)量積

1)如圖1,設a,b是兩個非零向量,

=a,

=b,考慮如下的變換:過

的起點A和終點B,分別作

所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到

,稱上述變換為向量a向向量b投影,

叫做向量a在向量b上的投影向量.

圖1

圖22)如圖2,在平面內任取一點O,作

=a,

=b.過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則

就是向量a在向量b上的投影向量.設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則1)e·a=a·e=|a|cosθ.2)a⊥b?a·b=0.3)當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2.4)cosθ=

.5)|a·b|≤|a|·|b|.a=(x1,y1),b=(x2,y2),則1)證明垂直問題,常用向量垂直的充要條件:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.2)求夾角問題,利用夾角公式:cos<a,b>=

=

.3)求向量的模:|a|=

=

或|AB|=|

|=

(其中A(x1,y1),B(x2,y2)).綜合篇考法一求平面向量模的方法1)|a|=

;2)|a±b|=

;3)若a=(x,y),則|a|=

;4)解向量所在三角形,轉化為求三角形的邊長;5)通過解方程(組)求解.2.求向量模的最值(范圍)的方法1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求最值的方法求解.2)幾何法(數(shù)形結合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結合動點表示的

圖形求解.3)利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范圍.例1

(2022廣東湛江?？?4)已知單位向量a,b的夾角為

π,若向量m=2a,n=4a-λb且m⊥n,則|n|=

(

)解析因為m⊥n,所以2a·(4a-λb)=0,即8a2-2λa·b=0,故4-λ·

=0,解得λ=-4

,故n=4a+4

b,故|n|2=

=16a2+32

a·b+32b2=16,故|n|=4.故選B.答案

B例2

(2020課標Ⅰ理,14,5分)設a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=

.解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故a·b=-

,|a-b|=

=

=

=

.答案

例3

(2021山東濱州二模,14)已知平面向量a,b,d是單位向量,且a·b=0,則|d

-a-b|的最大值為

.解析因為a·b=0,所以a⊥b,建系如圖所示,可設a=(1,0),b=(0,1),d=(x,y),因為|d|=1,所以d的終點為單位圓上任意一點,又d-a-b=(x-1,y-1),所以|d-a-b|=

,表示點(x,y)與點A(1,1)間的距離,由圖可得,當(x,y)位于圖中B點時,點B與點A間的距離最大,且為

+1,所以|d-a-b|的最大值為

+1.答案

+1考法二求平面向量夾角的方法1.定義法:當非零向量a,b是非坐標形式時,需求出a·b及|a|,|b|或得出它們之

間的關系.2.坐標法:若已知非零向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則可直接利用公式cos<a,b>

=

求解,注意<a,b>∈[0,π].3.轉化成解三角形問題,利用正弦、余弦定理求解.例4

(2022河北邯鄲三模,13)若向量a,b滿足|a|=|b|,|a+2b|=

|a|,則向量a,b的夾角為

.解析由|a+2b|=

|a|得|a+2b|2=3|a|2,又|a|=|b|,∴|a|2+4|a|·|b|cos<a,b>+4|b|2=5|a|2+4|a|2cos<a,b>=3|a|2,∴cos<a,b>=-

,又<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=

.答案

考法三平面向量數(shù)量積的綜合應用1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平

面幾何問題轉化為向量問題;2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,

如距離、夾角等問題;3)把運算結果轉化成幾何關系.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c.1)在

=λ

的條件下,存在λ使得I為△ABC的內心;a

+b

+c

=0?P為△ABC的內心.2)|

|=|

|=|

|?P為△ABC的外心.3)

+

+

=0?G為△ABC的重心.4)

·

=

·

=

·

?P為△ABC的垂心.例5

在△ABC中,向量

與

滿足

·

=0,且

·

=

,則△ABC為

(

)解析∵

·

=0,

,

分別為

,

方向上的單位向量,∴∠A的平分線與BC垂直,則AB=AC.由

·

=|

|·|

|·cosB,可得cos

B=

·

=

,則∠B=

,∴∠B=∠C=

,∠A=

.∴△ABC為等腰直角三角形.答案

D例6

(2019江蘇,12,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O.

若

·

=6

·

,則

的值是

.解析解法一:過D作DF∥EC,交AB于F.∵D為BC的中點,∴F為BE的中

點,又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=

AD,∴

=

=

(

+

).∴

·

=

(

+

)·

=

.∵

·

=6

·

,∴

·

=

-

+

·

,∴

=3

,∴|

|=

|

|,∴

=

.解法二:由于題目中對∠BAC沒有限制,所以不妨設∠BAC=90°,AB=c,AC=

b,建立如圖所示的平