高考數(shù)概率與統(tǒng)計知識點

高中數(shù)學之概率與統(tǒng)計求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應用以下知識:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的基本事件總數(shù);設所求事件A，并計算事件A包含的基本事件的個數(shù);依公式求值;答，即給問題一個明確的答復.(2)互斥事件有一個發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：對立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：獨立重復試驗的概率：Pn(k)＝.其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n展開的第k+1項.(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質即所給的問題歸結為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復.在五個數(shù)字中，。若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是（結果用數(shù)值表示）．[解答過程]0.3提示:某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、,且各輪問題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率;（Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.（注：本小題結果可用分數(shù)表示）[解答過程]解法一：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，，，該選手被淘汰的概率．（Ⅱ）的可能值為，，，．的分布列為123．解法二：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，，．該選手被淘汰的概率．（Ⅱ）同解法一．（3）離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的數(shù)學期望和方差 (1)離散型隨機變量的數(shù)學期望：…；期望反映隨機變量取值的平均水平.⑵離散型隨機變量的方差：……；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.⑶基本性質：；.(4)若～B(n，p)，則;D=npq（這里q=1-p）;如果隨機變量服從幾何分布，，則，D=其中q=1-p.例1．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下：ε012η012PP則比較兩名工人的技術水平的高低為.思路：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小.解答過程：工人甲生產出次品數(shù)ε的期望和方差分別為：，；工人乙生產出次品數(shù)η的期望和方差分別為：，由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術水平相當，但Dε>Dη，可見乙的技術比較穩(wěn)定.小結：期望反映隨機變量取值的平均水平；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.例2.某商場經銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．表示經銷一件該商品的利潤．（Ⅰ）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（Ⅱ）求的分布列及期望．[解答過程]（Ⅰ）由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，．（Ⅱ）的可能取值為元，元，元．，，．的分布列為（元）．抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法1．簡單隨機抽樣：設一個總體的個數(shù)為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.常用抽簽法和隨機數(shù)表法.2．系統(tǒng)抽樣：當總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）.3．分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應的頻率表示，幾何表示就是相應的條形圖.當總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應樣本的頻率分布.總體密度曲線：當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.典型例題例1.某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品，產品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產品有16件.那么此樣本的容量n=.解答過程：A種型號的總體是，則樣本容量n=.例2．一個總體中有100個個體，隨機編號0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為，那么在第組中抽取的號碼個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，若，則在第7組中抽取的號碼是．解答過程：第K組的號碼為，，…，，當m=6時，第k組抽取的號的個位數(shù)字為m+k的個位數(shù)字，所以第7組中抽取的號碼的個位數(shù)字為3，所以抽取號碼為63．正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念及主要性質（1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為，x其中、為常數(shù)，并且＞0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.（2）期望E=μ，方差.（3）正態(tài)分布的性質正態(tài)曲線具有下列性質:①曲線在x軸上方，并且關于直線x＝μ對稱.②曲線在x=μ時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.③曲線的對稱軸位置由μ確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原則即為

數(shù)值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率為0.6526

數(shù)值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率為0.9544

數(shù)值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率為0.9974（4）標準正態(tài)分布當=0，=1時服從標準的正態(tài)分布，記作（0，1）（5）兩個重要的公式①,②.（6）與二者聯(lián)系.若，則;②若，則.2.線性回歸簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關系的一種數(shù)學方法.變量和變量之間的關系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關系和不確定的函數(shù)關系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關關系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關關系的經驗公式.具體說來，對n個樣本數(shù)據(jù)（），（），…，（），其回歸直線方程，或經驗公式為：.其中，其中分別為||、||的平均數(shù).例1.如果隨機變量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，則P（－1＜ξ≤1＝等于()A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答過程：對正態(tài)分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.答案：B例2.將溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內，調節(jié)器設定在d℃，液體的溫度ξ（單位：℃）是一個隨機變量，且ξ～N（d，0.52）.（1）若d=90°，則ξ<89的概率為；（2）若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，則d至少是?（其中若η～N（0，1），則Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）.解答過程：（1）P（ξ<89）=F（89）=Φ（）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d