秘籍03四邊形綜合

秘籍03四邊形綜合概率預(yù)測☆☆☆題型預(yù)測解答題☆☆☆考向預(yù)測①三角形全等的判定②特殊四邊形的判定四邊形綜合題是全國中考?？碱}型。好多學(xué)生因特殊四邊形的定理弄混淆而失分。1．從考點頻率看，三角形的綜合和四邊形的綜合會二選一，四邊形綜合題以考查特殊四邊形性質(zhì)和判定為主，除了考查四邊形的性質(zhì)和判定外，還會結(jié)合三角形的全等進行考查。2．從題型角度看，以解答題為主，分值8-12分左右！平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)圖形邊角對角線平行四邊形對邊平行且相等對角相等對角線互相平分矩形對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等菱形對邊平行，四邊相等對角相等對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角正方形對邊平行，四邊相等四個角都是直角對角線互相垂直平分、相等，每一條對角線平分一組對角平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定圖形判定平行四邊形1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。5：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形1：有三個角是直角的四邊形是矩形2：有一個角是直角的平行四邊形是矩形3：對角線相等的平行四邊形是矩形。菱形1：四邊都相等的四邊形是菱形。2：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。3：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形2：有一個角是直角的菱形是正方形3：對角線互相垂直的矩形是正方形4：對角線相等的菱形是正方形典例1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：(1)△ABE≌△CDF；(2)四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件根據(jù)SAS即可證明；（2）根據(jù)可得，根據(jù)鄰補角的意義可得，可得，根據(jù)一組對邊平行且相等即可得出．【詳解】（1）證明：解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又，∴（SAS）；（2）證明：∵，∴∴，∴四邊形AECF是平行四邊形【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．典例2．如圖，在?ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB、DC于點E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；（2）證明四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）證明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∵OB=OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴DE=BF．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵．典例3．如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG=CE，連接DG、DE、FG．(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)若AD=2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先證明四邊形DEFG是平行四邊形，【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DF=EG，即可證明四邊形DEFG是矩形．∴ABCD，∴∠EAB=∠CFE，又∵E為BC的中點，∴EC=EB，∴在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(AAS)；（2）證明：∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∴DC=CF，又∵CE=CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵E為BC的中點，CE=CG，∴BC=EG，又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，∴平行四邊形DEFG是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．典例4．如圖，將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設(shè)AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．典例5．如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的邊長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）利用AAS即可證明△ABE≌△ADF；（2）設(shè)菱形的邊長為x，利用全等三角形的性質(zhì)得到BE=DF=x?2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四條邊相等），∠B=∠D（菱形的對角相等），∵AE⊥BC

AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定義），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；（2）解：設(shè)菱形的邊長為x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x?2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x?2（全等三角形的對應(yīng)邊相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x?2)2=x2，解得x=5，∴菱形的邊長是5．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．典例6．如圖，在Rt中，，．點D是的中點，過點D作交于點E.延長至點F，使得，連接、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，則的值為_______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；（2）設(shè)，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，勾股定理求得，根據(jù)，，即可求解．【詳解】（1）證明：，，∴四邊形是平行四邊形，∵，四邊形是菱形；（2）解：，設(shè)，則，四邊形是菱形；，，，在中，，，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．典例7．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點，于點E，于點F．求證：．【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證．【詳解】證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，正確找出兩個全等三角形是解題關(guān)鍵．中考四邊形綜合題?？嫉氖瞧叫兴倪呅?、矩形、菱形和正方形。特殊四邊形的性質(zhì)和判定都是從邊、角和對角線這3個方面著手。做題過程中經(jīng)常還要用到三角形的全等判定（性質(zhì)）和三角形相似判定（性質(zhì)），個別難度較大的題還要做輔助線。注意模型：中點四邊形模型、對角互補模型、半角模型等。典例8．四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；②當(dāng)對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析【分析】（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；②根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）分別延長BA、CD相交于點M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點四邊形是菱形；②當(dāng)對角線AC⊥BD時，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長BA、CD相交于點M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對角線相等，中點四邊形EFGH是菱形．【點睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點四邊形的定義，掌握中點四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．典例9．正方形ABCD中，點E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點G．（1）如圖1，求證AE⊥BF；（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點H，交BF于點N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；【答案】（1）見解析；（2）見解析；【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC，，用SAS證明，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；（2）過點B作，交AN于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，用SAS證明，得，根據(jù)角平分線性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，用SAS證明，得AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理即可得；【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過點B作，交AN于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AC，，∵，，∴，由（1）得，，∴，∴,∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵AN平分，∴，∴，，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴BH=BN，在和中，∴（SAS），∴AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理，∴；【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用這些知識點．典例10．四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°或40°【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計算發(fā)現(xiàn)E是AC中點，點F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴點F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，∴四邊形DECG是正方形，∴CG＝CE＝2；（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點睛】此題考查了正方形的判定以及性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明、等腰直角三角形等性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．典例11．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析【分析】（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？级＃┰诹庑沃校謩e是邊的中點，連接(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，若，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個等于的角．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可證，由此即可求證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵P、Q分別是邊的中點，，∴，∴，∴．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵分別是邊的中點，∴，∵，∴根據(jù)直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半，得，由（1）可知，，∴，∴，∴，∵分別是邊的中點，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為．【點睛】本題主要考查菱形，含角的直角三角形的綜合，掌握菱形的性質(zhì)，含特殊角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在正方形中，E是邊上一點，在延長線上取點F，使．過點F作交于點M，交于點G，交于點N．(1)求證：；(2)若E是的中點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，以及公共角，利用即可證得；（2）根據(jù)點E是邊的中點，即有，在結(jié)合（1）的結(jié)論，可得，即可證明，則有．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，，∴，又∵，，∴；（2）解：，理由如下：如圖，連接，∵點E是邊的中點，∴，由（1）知，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是平行四邊形的邊、上的高，對角線、相交于點，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，時，求的余切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等面積法證明即可；（2）可設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解方程求出，則．【詳解】（1）證明：∵、分別是平行四邊形的邊、上的高，∴，∴，又∵，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵，∴設(shè)，∵四邊形是菱形，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得（負值舍去），∴，在中，．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，求余切值，熟知菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）在正方形中，E是邊上一點（點E不與點B，C重合），，垂足為點E，與正方形的外角的平分線交于點F．(1)如圖1，若點E是的中點，猜想與的數(shù)量關(guān)系是_________；證明此猜想時，可取的中點P，連接，根據(jù)此圖形易證，則判斷的依據(jù)是_______．(2)點E在邊上運動，如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請說明理由．【答案】(1)，ASA；(2)成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)提示，利用ASA證明，從而得到；（2）利用（1）的解題思路，在上取一點P，使，連接，則，同樣利用ASA證明，從而得到．【詳解】（1）∵在正方形中，，點E是的中點，點P是的中點，，∵在正方形中，是等腰直角三角形平分在和中（ASA）故答案為：，ASA．（2）①成立，理由如下：如圖，在上取一點P，使，連接，則，由（1）得：，∴是等腰直角三角形∴在和中∴；【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，證明利用即可證明出；（2）首先證明出四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合即可證明出四邊形是菱形．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，，在和中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形AECF是菱形；【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵6．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，，．點P在AD上運動（點P不與點A、D重合）將沿直線翻折，使得點A落在矩形內(nèi)的點M處（包括矩形邊界）．(1)求AP的取值范圍；(2)連接DM并延長交矩形ABCD的AB邊于點G，當(dāng)時，求AP的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點P在AD上運動可判斷出，點M落在CD上時，AP的長度達到最大．利用翻折的性質(zhì)和勾股定理求出和長度，再利用，即可推斷出最大長度，從而求出取值范圍．（2）利用已知條件和翻折性質(zhì)推出，從而證明，得出，再根據(jù)翻折性質(zhì)、矩形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)推出，．在中，，即可求出長度．【詳解】（1）解：當(dāng)M落在CD上時，AP的長度達到最大，如圖所示，四邊形ABCD是矩形，，，，沿直線翻折，，，，．．，．，．．．．．AP的取值范圍是．故答案為：．（2）解：如圖，由折疊性質(zhì)得：，，，，，，．設(shè)，過M作于H，連接，由折疊性質(zhì)得：，，．，．．，．，MN為的中位線，則，在中，，，．．．（舍去）．．故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的綜合題，涉及到的知識點有翻折性質(zhì)、三角形相似、中位線定理和勾股定理．解題的關(guān)鍵在于是否能判斷出M落在CD上時，AP的長度達到最大．解題的難點在于是否能正確畫出圖形，解題的易錯點在于是否能排除的其中一個值．7．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，．(1)求證：．(2)連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）由得到，又由即可證明；（2）由得到，則，即可判斷四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）∵，∴，即，∵，∴；（2）如圖，連接，四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，交于點O，且，的平分線交于點E．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形直接證明即可；（2）先根據(jù)勾股定理求邊長，證明后，再利用勾股定理直接求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴平行四邊形為矩形；（2）解：過點E作于點G，如圖所示：∵四邊形是矩形，，∴．在中，，∴，∵，∴，∵為的平分線，，∴．在和中，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：．【點睛】此題考查矩形的判定和勾股定理，解題關(guān)鍵是通過勾股定理求三角形的邊長．9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，對角線，相交于點O，過點D作且，連接，，．(1)求證：是菱形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得到四邊形是平行四邊形，結(jié)合得到平行四邊形是矩形，從而得到，即可得到證明；（2）由（1）得，，，結(jié)合得到是等邊三角形，得到，，最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案.【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形，∴，∴，∴是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，由（1）可知，四邊形是矩形，∴，，∴，即的長為；【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是得到四邊形是菱形及是矩形．10．（2023·北京·模擬預(yù)測）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點與點重合，得到，連接(1)試判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(2)如圖②，點分別在正方形的邊的延長線上，，連接，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)．證明見解析(2)．證明見解析【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)化進而得出結(jié)論；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到全等三角形，再利用全等三角形得到邊相等，進而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．證明如下：由旋轉(zhuǎn)，可知：∴點共線∵∴在和中∴∴∵∴（2）解：．證明如下：在上?。B接，∵，∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．11．（2023·北京·校考模擬預(yù)測）在平行四邊形中，相交于點O，過點C作交的延長線于點E，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)證明，再推出，得到，推出，根據(jù)矩形的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作垂直于于H，通過矩形的性質(zhì)結(jié)合已知條件求得、的長，進而由勾股定理可得到答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖，作垂直于于H，則有，∵點O為矩形對角線的交點，即點O為的中點，∴，∴點H為中點，即，∴，∵，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形；熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖1，P是正方形對角線上一點，點E在的延長線上，．(1)比較與的大小，并說明理由；(2)當(dāng)時，求的長；(3)如圖2，把正方形改為菱形，其他條件不變，若，則的度數(shù)是________．【答案】(1)．理由見解析(2)(3)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得，，利用證明，得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）可證明，，然后證明，最后利用勾股定理求解即可；（3）仿照（1）證明，得出，，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，然后證明，即可求解．【詳解】（1）解：，理由：∵正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，設(shè)與交于F，由（1），，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖，設(shè)與交于F，∵菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴；∴，又，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．13．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是正方形．(1)問題解決：如圖①，若，分別是，上的點，且．求證：；(2)類比探究：如圖②，若點，，，分別在，，，上，且，求證：F．(3)遷移應(yīng)用：如圖③，在中，，，點是的中點，點是上一點，且，求：的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，根據(jù)等角的余角相等得出，即可證明；（2）過點作交于點，過點作交于點，得出四邊形與四邊形是平行四邊形，則，，由知：，則，即可得出；（3）過點作，交的延長線于點，證明，得出，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出：：：，根據(jù)是的中點，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，＋，＋，，．（2）如圖②，過點作交于點，過點作交于點．四邊形是正方形，，四邊形與四邊形是平行四邊形．，由知：，；（3）如圖③，過點作，交的延長線于點．，＋，，＋，，，，，，，即，，：：：是的中點，，：：：【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖1，正方形的邊長為5，點為正方形邊上一動點，過點作于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接．(1)證明：．(2)延長交于點．判斷四邊形的的形狀，并說明理由；(3)若，求線段的長度【答案】(1)見解析(2)正方形，見解析(3)3【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，即可得出答案；（2）先證明四邊形是矩形，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；（3）設(shè)正方形邊長為x，在中用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：（1）由題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，四邊形是正方形，，即：由：，可得：，；（2）（2）四邊形是正方形，理由如下：由（1）得：，且，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形；（3）（3）在正方形中，，在正方形中，設(shè)，，則，在中，，即：，解得：（不符合題意，舍去），，故答案為：3．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定、正方形的判定及性質(zhì)、以及勾股定理的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、正方形的判定方