2022-2023學年河南省開封市許河第一中學高三數(shù)學理模擬試題含解析

2022-2023學年河南省開封市許河第一中學高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6,一只螞蟻在其內(nèi)部爬行,若不考慮螞蟻的大小,則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是（☆）A.

B.

C.

D.參考答案：C2.對于指數(shù)函數(shù),“”是“在R上單調(diào)”的(

)A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略3.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是(

)A．

B．C.

D．參考答案：D圓的圓心關(guān)于直線對稱的坐標為，從而所求圓的方程為.故選D.

4.已知直線與平行，則的值是A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2參考答案：C若，則兩直線為，，此時兩直線平行，所以滿足條件。當時，要使兩直線平行，則有，即，解得，綜上滿足條件的值為或，選C.5.設(shè)集合,，那么“mA”是“mB”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：A

解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要條件.【高考考點】本題主要考查分式不等式及四種命題【易錯提醒】很容易混淆充分條件和必要條件的推導方向即那個為條件那個為結(jié)論.【備考提示】一定要勞記充分條件或者必要條件是由誰推誰?特別注意“A的充分不必要條件是（）”題型.6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

（

）A．

B．

C． D．參考答案：D略7.已知是復數(shù)z的共軛復數(shù)，且滿足（1﹣z）（1+）=2i，則z=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i參考答案：B【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用回代驗證法求解即可．【解答】解：如果z=i，則（1﹣i）（1﹣i）=﹣2i，不滿足題意；若z=﹣i，則（1+i）（1+i）=2i，滿足題意．故選：B．8.在可行域內(nèi)任取一點，其規(guī)則如流程圖所示，則能輸出數(shù)對（）的概率是（

）A.

B.C.D.參考答案：B略9.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且，則(

)A. B.2 C. D.參考答案：D設(shè)公比為，由已知得，即，又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以，故，故選D.10.已知，函數(shù)的定義域為M，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

☆

．參考答案：12.已知兩點，.以為圓心，為半徑作圓交軸于點（異于），記作⊙；以為圓心，為半徑作圓交軸于點（異于），記作⊙；……；以為圓心，為半徑作圓交軸于點（異于），記作⊙.當時，過原點作傾斜角為的直線與⊙交于，.考察下列論斷：當時，；當時，；當時，；當時，

.由以上論斷推測一個一般的結(jié)論：對于，

.參考答案：，.13.已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直線l過點P（0，4），則圓C上的點到直線l的距離的最大值為

．參考答案：考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題；直線與圓．分析：確定直線l的方程，求出圓心C到直線的距離，再加上半徑，即為C上各點到l的距離的最大值．解答： 解：由題意，方向向量的直線l過點P（0，4），方程為x﹣y+4=0圓心C到直線的距離為d==2∵圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半徑為∴C上各點到l的距離的最大值為2+=．故答案為：．點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知甲、乙兩名籃球運動員進行罰球訓練，每人練習10組，每組罰球40個，每組命中個數(shù)的莖葉圖如圖所示，則命中率較高的為

.參考答案：甲15.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得，則的最小值為

.參考答案：16.已知兩條直線和互相平行，則等于

.

參考答案：1或-3略17.如圖所示，在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點在第二象限，，則點的坐標為__________．參考答案：∵，∴，∴．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C的大??；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面積．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（1）由正余弦定理化簡可得角C的大?。唬?）由bsin（π﹣A）=acosB，根據(jù)正弦定理化簡，求出c，即可求出△ABC的面積．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根據(jù)正弦定理，可得，解得c=1，∴．19.如圖，某市準備在一個湖泊的一側(cè)修建一條直路，另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段是以為頂點，軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段是函數(shù)，時的圖象，圖象的最高點為，，垂足為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園，問：點落在曲線上何處時，水上樂園的面積最大？參考答案：解(1)對于函數(shù)，由圖象知

.將代入到中，

得，又，所以.

故

（2）在中，令，得，

所以曲線所在拋物線的方程為設(shè)點，則矩形的面積為，．因為，由，得且當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減

所以當時，最大，此時點的坐標為略20.設(shè)f（α）=sinnα+cosnα，n∈{n|n=2k，k∈N+}（I）分別求f（α）在n=2，4，6時的值域；（Ⅱ）根據(jù)（I）中的結(jié)論，對n=2k，k∈N+時f（α）的取值范圍作出一個猜想（只需寫出猜想，不必證明）．參考答案：【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】綜合題；探究型；對應(yīng)思想；數(shù)學模型法；三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）當n=2時，由平方關(guān)系求得f（α）=1，得到f（α）的值域為{1}；當n=4時，把f（α）變形可得f（α）=，得f（α）的值域為[，1]；當n=6時，f（α）=，f（α）的值域為[，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論猜想，當n=2k，k∈N*時，．【解答】解：（Ⅰ）當n=2時，f（α）=sin2α+cos2α=1，∴f（α）的值域為{1}；當n=4時，f（α）=sin4α+cos4α=，此時有f（α）≤1，∴f（α）的值域為[，1]；當n=6時，f（α）=sin6α+cos6α=（sin2α+cos2α）（sin4α+cos4α﹣sin2αcos2α）=，此時有f（α）≤1，∴f（α）的值域為[，1]．（Ⅱ）由以上結(jié)論猜想，當n=2k，k∈N*時，．【點評】本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查三角函數(shù)的值域，訓練了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．21.幾何證明選講）（本小題滿分0分）已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，E是下半圓的中點．求證：直線PC經(jīng)過點E．參考答案：【考點】圓周角定理．【專題】立體幾何．【分析】連結(jié)AE，EB，OE，因為AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，E是下半圓的中點，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圓周角定理得到．

利用，∠APB的平分線有且只有一條，只要證明PC與PE重合．【解答】證明：連結(jié)AE，EB，OE，因為AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，E是下半圓的中點則∠AOE=∠BOE=90°．

…因為∠APE是圓周角，∠AOE同弧上的圓心角，所以．

…同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分線．

…又PC也是∠APB的平分線，∠APB的平分線有且只有一條，所以PC與PE重合．所以直線PC經(jīng)過點E．…【點評】本題考查了圓周角定理的運用；關(guān)鍵是熟練圓周角定理的內(nèi)容，正確運用．22.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)當m=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時,求f(x)的極小值;(Ⅱ)討論函數(shù)g(x)=f'(x)-零點的個數(shù);(Ⅲ)若對任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范圍.參考答案：【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的零點．B12

【答案解析】（Ⅰ）2（Ⅱ）當m>時,函數(shù)g(x)無零點;當m=或m≤0時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點;當0<m<時,函數(shù)g(x)有兩個零點.(Ⅲ)[，+∞）解析：(Ⅰ)由題設(shè),當m=e時,f(x)=lnx+,則f'(x)=,∴當x∈(0,e),f'(x)<0,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,當x∈(e,+∞),f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,∴x=e時,f(x)取得極小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的極小值為2.(Ⅱ)由題設(shè)g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).設(shè)φ(x)=-x3+x(x≥0),則φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),當x∈(0,1)時,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當x∈(1,+∞)時,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.∴x=1是φ(x)的唯一極值點,且是極大值點,因此x=1也是φ(x)的最大值點,∴φ(x)的最大值為φ(1)=.又φ(0)=0,結(jié)合y=φ(x)的圖象(如圖),可知①當m>時,函數(shù)g(x)無零點;②當m=時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點;③當0<m<時,函數(shù)g(x)有兩個零點;④當m≤0時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點.綜上所述,當m>時,函數(shù)g(x)無零點;當m=或m≤0時,函數(shù)g(x)有且只有一個零點;當0<m<時,函數(shù)g(x)有兩個零點.(Ⅲ)對任意b＞a＞0，＜1恒成立，等價于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；設(shè)h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；對于m=，h′（x）=0僅在x=時成立；∴m的取值范圍是[，+∞）．【