微分方程模型-數(shù)學(xué)建模真題解析課件

微分方程模型常微分方程的基本方法匚微分方程基礎(chǔ)分方程是含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程如果方程(組)只含有一個(gè)自變量(通常是肘間t),則稱為常微分方程。否則稱為偏微分方程。例:下面的方程都是徽分方程m+ku=mgsineSIl微分方程的解是函數(shù),對(duì)應(yīng)一個(gè)變化過(guò)程。常微分方程的解是隨肘間t`化的函數(shù),比如一輛汽車在公路上飛馳,一個(gè)球從空中落下等。偏微分方程不但描述物體隨時(shí)間變化發(fā)生位置的改變,而且物體各部分之間的位置的相對(duì)變化。如水的流動(dòng),煙雰的擴(kuò)散,公路上車流的涌動(dòng)等。微分方程解決的主要問(wèn)題:(1)描述對(duì)象特征隨肘間(空間)的演變過(guò)程(2)分析對(duì)象特征的變化規(guī)律(3)預(yù)報(bào)對(duì)象特征的朱來(lái)性態(tài)4)研究控制對(duì)象特征的手段微分方程模型包括兩個(gè)部分:方程和定解條件。由于微分方程的求解需要借助微分的逆運(yùn)算一積分,而積分出現(xiàn)任意常數(shù),因此方程的解不唯一,需要附加條件將所求的解唯一確定下來(lái)。這樣的條件稱為定解條件。帟徽分方程的定解條件:對(duì)一個(gè)m階常微分方程,需要積分m次才能將解函數(shù)求出,因此需要m個(gè)定解條件。方程組的定解條件個(gè)數(shù)是每個(gè)方程定解條件個(gè)數(shù)之和。定解問(wèn)題分為初值問(wèn)題和邊值問(wèn)題初值問(wèn)題的定解條件在同一個(gè)點(diǎn)上,而邊值問(wèn)題的定解條件在不同點(diǎn)上。導(dǎo)數(shù)的意義:瞬肘變化率在實(shí)際上我們遇到的描述變化的詞有速率(物理)增長(zhǎng)率(經(jīng)濟(jì),生物,人口等)哀變(原子反應(yīng))邊際的(經(jīng)濟(jì)噼時(shí)變化率的描述絕對(duì)增加率:單位肘間增加的量相對(duì)增加率:單位肘間增加的百分比。變化率三增加率減少率由于是噼肘的,其量的關(guān)糸只有在很短的肘間間隔中才能夠利用靜態(tài)的方法分析。(微元法)微分方程的建模方法(1)利用導(dǎo)數(shù)的意義,建立含有導(dǎo)數(shù)的方程(微分方程)。(2)微元法。微分方程的穩(wěn)定性理論對(duì)微分方程組=∫(x)dt若f(x)=0,則稱X是方程組的平衙點(diǎn)。如果在平衡點(diǎn)X處,f(X)的Jacob矩陣ofraf,afrfDfD(,f2,L,fn)2DxD(r,,x2,L,,)afaf,a0ax.a的所有特征值的實(shí)部都小于0,則Ⅺ是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)如果存在某個(gè)特征值的實(shí)部大于0,則Ⅺ是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的實(shí)際意義如果傲分方程存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn),設(shè)X(t是傲分方程的解,則當(dāng)t>∞肘,Ⅺ(t)趨句于某個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)例:對(duì)Logistic方程,=r(1dt它有兩個(gè)平衡點(diǎn)Ⅹ=0和X=N。其中X=0是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),X=N是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。例1:某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陳代謝。在健身訓(xùn)練中,他每公斤體重所消耗的熱量大約是16卡/天。設(shè)以脂肪形式貯存的熱量100%有效,且1公斤脂肪含熱量10000卡,分析這個(gè)人體重的變化。分析:問(wèn)題研究人體重量隨時(shí)間的烹化w(t)。條件給出的是熱量單位射間的變化2500-1200-16w(t)