大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)理論誤差與數(shù)據(jù)處理教學(xué)課件

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)理論誤差與數(shù)據(jù)處理大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)理論誤差與數(shù)據(jù)處理大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)理論誤差與數(shù)據(jù)處理大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)理論

—誤差與數(shù)據(jù)處理理工學(xué)院物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心內(nèi)容分為四部分Ⅰ測(cè)量誤差Ⅱ不確定度Ⅲ有效數(shù)字Ⅳ數(shù)據(jù)處理（1）等精度測(cè)量：（2）不等精度測(cè)量：

對(duì)同一物理量在相同條件（指測(cè)量?jī)x器、方法、環(huán)境、觀測(cè)者等）下進(jìn)行的多次測(cè)量；在不同測(cè)量條件下進(jìn)行的多次測(cè)量。例如：用多檔位電流表測(cè)電流時(shí)，為防止燒壞電表，總是先用大檔位粗測(cè)電流后，在用小檔位細(xì)測(cè)，這種測(cè)量便是不等精度測(cè)量?！?.2誤差誤差定義：指測(cè)量值x與真值A(chǔ)之間的差異。誤差表示方式有兩種：（1）絕對(duì)誤差：d=x-A；有單位，可正可負(fù)，不能反映準(zhǔn)確度。（2）相對(duì)誤差：，無(wú)單位，可正可負(fù)，能反映準(zhǔn)確度。例如：兩電阻，絕對(duì)誤差均為，無(wú)法判斷哪一個(gè)測(cè)量更準(zhǔn)確。但從相對(duì)誤差便可判斷準(zhǔn)確度?！?.3誤差分類（1）系統(tǒng)誤差：

（2）隨機(jī)誤差：

在相同條件下多次測(cè)量同一物理量時(shí)，誤差的大小、符號(hào)恒定；或在測(cè)量條件改變時(shí)，誤差的大小和符號(hào)按一定規(guī)律變化。在相同條件下多次測(cè)量同一物理量時(shí)，由于不可預(yù)知的隨機(jī)因素，出現(xiàn)時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)的誤差。第二節(jié)

系統(tǒng)誤差§2.1系統(tǒng)誤差的來(lái)源（1）儀器本身的缺陷（如天平不等臂）或安裝調(diào)試不當(dāng)（零位不在零點(diǎn)）；（2）實(shí)驗(yàn)原理或方法不完善，如伏安法測(cè)電阻時(shí)未考慮電表電阻引起的誤差；（3）環(huán)境引起的，如溫度產(chǎn)生的零漂；（4）主觀誤差，由觀測(cè)者的習(xí)慣造成的。§2.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法（1）采用不同的測(cè)量方法測(cè)同一物理量，看結(jié)果是否一致；（如伏安法和電橋法）（2）更換不同的儀器、儀表測(cè)同一物理量；（3）改變測(cè)量步驟；如升溫和降溫（4）改變實(shí)驗(yàn)條件或測(cè)量者。2、理論分析：

3、數(shù)據(jù)分析法：分析理論公式的條件和儀器的使用條件是否與本實(shí)驗(yàn)相符。一旦條件不符，必然會(huì)出現(xiàn)偏差，甚至是錯(cuò)誤（真理的條件性）。系統(tǒng)誤差不滿足概率分布，因此誤差總是偏向一側(cè)。§2.3系統(tǒng)誤差的處理1、對(duì)于已知的系統(tǒng)誤差，給結(jié)果加一個(gè)負(fù)誤差或給出一個(gè)修正公式即可；2、對(duì)于難以找出的系統(tǒng)誤差，要采用下面的辦法盡量抵消：

L1L2xT(1)替代法：對(duì)未知量測(cè)量后，再用標(biāo)準(zhǔn)量代替未知量所得的結(jié)果即為所測(cè)量。如圖：為不等臂天平，用砝碼P代替未知量x，使天平再次平衡，則P即為待測(cè)值。當(dāng)臂長(zhǎng)L1和L2測(cè)出時(shí)，可用力矩修正公式（此為？測(cè)量）（2）抵消法：（3）交換法：

正誤差和負(fù)誤差方向各測(cè)一次，取平均；如居里溫度測(cè)試。將被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量互換進(jìn)行兩次測(cè)量，取平均值；如（1）中的不等臂天平。（4）半周期偶數(shù)觀測(cè)法：偶數(shù)次觀測(cè)后取平均；如分光計(jì)。（5）對(duì)稱觀測(cè)法：隨時(shí)間線性變化的系統(tǒng)誤差，可將觀測(cè)程序相對(duì)某時(shí)刻對(duì)稱地再測(cè)一次，然后取平均；如靈敏電流計(jì)測(cè)前和測(cè)后分別校對(duì)一次零點(diǎn)，然后對(duì)零點(diǎn)取平均。（返回）§3.1統(tǒng)計(jì)規(guī)律

第三節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)處理

隨機(jī)誤差是隨機(jī)因素產(chǎn)生的，因此很難預(yù)料，也無(wú)法消除，只能按其滿足的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。多次測(cè)量的誤差滿足正態(tài)分布，具有以下特點(diǎn)：（1）對(duì)稱性：正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相同；（2）有界性：存在絕對(duì)值最大的誤差；（3）單峰性：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小；（4）抵償性：當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等，可相互抵消?！?.2隨機(jī)誤差的估算正態(tài)分布圖：橫坐標(biāo)為誤差，縱坐標(biāo)為誤差概率密度，誤差的總概率為1：。圖中稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，是曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。越小，曲線越窄，誤差分布越集中，可靠性高（黑線）；反之，可靠性低（藍(lán)線）。數(shù)學(xué)理論概率函數(shù)滿足高斯分布：。令此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，所求得的值即為概率曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。誤差在[-，]區(qū)間的概率為，把該區(qū)間稱為置信區(qū)間，在此區(qū)間上的誤差是可信的。

經(jīng)計(jì)算，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)誤差即是均方根誤差，即§3.3算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差1、算術(shù)平均值一組測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為：

算術(shù)平均值是真值的最佳近似值，因?yàn)?、標(biāo)準(zhǔn)偏差真實(shí)值是無(wú)法測(cè)得的，常用算術(shù)平均值來(lái)代替。測(cè)量值與算術(shù)平均值的差，稱為偏差，即。對(duì)上式平方求和整理得：又考慮到正態(tài)分布的對(duì)稱性，故類比標(biāo)準(zhǔn)誤差，定義標(biāo)準(zhǔn)偏差為表示這組數(shù)與其平均值的離散性。3、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)不可能有無(wú)限多，所以在相同條件下，測(cè)得的不同組數(shù)據(jù)的平均值也不完全相等，即它們與真值之間存在離散性，我們引入算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，可證明其為：

4、測(cè)量次數(shù)很少時(shí)置信區(qū)間的確定

當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，戈塞特提出一套t分布理論，可使置信率仍保持0.683。其中因子，以作為置信區(qū)間，便可保證置信率。

n23456789101520t1.841.321.201.141.111.091.081.071.061.041.031下面給出測(cè)量次數(shù)與t因子的對(duì)應(yīng)關(guān)系：（返回）第二部分不確定度表示誤差理論中提出的誤差對(duì)于評(píng)介測(cè)量結(jié)果質(zhì)量并不科學(xué)，因此人們又提出了不確定度，作為評(píng)介測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的國(guó)際慣例。

測(cè)量的不確定度表示是一個(gè)比較復(fù)雜的理論問(wèn)題，在物理實(shí)驗(yàn)中僅是一中簡(jiǎn)化表示?！?.1直接測(cè)量不確定度的評(píng)定測(cè)量不確定度簡(jiǎn)稱不確定度，是測(cè)量結(jié)果帶有的一個(gè)參數(shù)，用以評(píng)定測(cè)量結(jié)果的可靠性，它是被測(cè)量的真實(shí)值在某個(gè)量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定，即測(cè)量結(jié)果寫成：，稱做不確定度，稱置信區(qū)間，表達(dá)式的含義為被測(cè)量的真實(shí)值以一定的概率P落在該區(qū)間內(nèi)，P稱為置信概率。

直接測(cè)量不確定度分為：A類不確定度：B類不確定度：由觀測(cè)數(shù)列用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的；由觀測(cè)數(shù)列用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的。A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定

在等精度條件下對(duì)同一被測(cè)量多次測(cè)量，考慮所有已知的誤差，并做出修正，用算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果，由一組測(cè)量數(shù)列用統(tǒng)計(jì)分析方法計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，結(jié)果表示為，即其統(tǒng)真實(shí)值落在區(qū)間的概率是68.3％，與不確定度的含義是一致的。因此用作為不確定度的A類評(píng)定，記作：。

當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，仍需將不確定度乘以一個(gè)t因子。（返回）B類不確定度的評(píng)定在測(cè)量過(guò)程中，必然涉及所用材料的一般特性參數(shù)、制造說(shuō)明書、檢定證書、所用儀器所提供的檢定數(shù)據(jù)以及取自手冊(cè)的一些參數(shù)，這些都會(huì)造成測(cè)量結(jié)果的不確定性。這類不確定性不能用統(tǒng)計(jì)分析的方法加以評(píng)定，這稱為B類評(píng)定，評(píng)定的依據(jù)就是上述內(nèi)容提供的一些信息。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是這些信息造成的不確定性仍具有概率分布特性，所以B類不確定度仍可估算標(biāo)準(zhǔn)偏差，只不過(guò)不能用統(tǒng)計(jì)分析的方法估算。例如以下幾種情形：（1）不確定度給出為標(biāo)準(zhǔn)差的若干倍

(2)不確定度給出較大的置信率區(qū)間例如：一標(biāo)值為1000g的標(biāo)準(zhǔn)砝碼，檢定證書給出信息：“質(zhì)量1000.000325g，該值的不確定度按三倍標(biāo)準(zhǔn)差為240mg”。則該值的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度SB=240mg/3=80mg。例如，標(biāo)值為10的標(biāo)準(zhǔn)電阻，標(biāo)準(zhǔn)證書給出“在23℃時(shí)，為10.000742+129m(P=O.99)”。則置信率為99％，所以129m不是標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它是展伸不確定度（即置信率不是O.683的不確定度，它是由標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以一個(gè)稱作包含因子的系數(shù)KP得到的。包含因子與置信率的關(guān)系是：

(3)通常信息給出的是儀器誤差限

P50%68.3%90%95%99%99.7%KP0.674511.6451.962.5763許多儀器給出的不是不確定度，而是誤差限△，則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為。其中系數(shù)K視△的概率分布而定，若△為正態(tài)分布，則K=3；若為均勻分布，則；若為三角分布。高級(jí)別的儀器△可視為正態(tài)分布，通?！骶暈榫鶆蚍植?。由表可知，129m是由標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以2.576得到的，所以電阻R的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度SB=129mg/2.576=50mg。不同性質(zhì)不確定度的合成

一個(gè)測(cè)量結(jié)果，一般情況下總是存在不同性質(zhì)的A類和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它們的評(píng)定方法雖然不同，但都具有概率特性，所以可以把它們直接合成為：。

在很多情況下，被測(cè)量Y不能直接測(cè)得，而是由N個(gè)其他量X1，X2，…，XN決定，即。設(shè)X1，X2，…，XN的測(cè)量值分別為x1，x2，…，xN，被測(cè)量Y的測(cè)量值可表示為。各測(cè)量值的不確定度必然造成y的不確定度。各xi的不確定度可得自于A類和B類評(píng)定，y的不確定度記為：

§1.2間接測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳遞公式

或§1.3舉例例1使用精度為的分光計(jì)測(cè)量一塊三棱鏡的頂角10次，其結(jié)果列于表中，試表達(dá)測(cè)量結(jié)果。n123456789100分4-3156-2-7-3-101691253644991解：算術(shù)平均值為算術(shù)平均值的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

該分光計(jì)的誤差限△=1分，故A類和B類不確定度的合成為相對(duì)不確定度為對(duì)三棱鏡頂角的測(cè)量結(jié)果表示為

注：通常絕對(duì)不確定度只保留一位有效數(shù)字，對(duì)于中間過(guò)程可保留兩位,比如求E時(shí)的S便取兩位。而相對(duì)不確定度通常取兩位。

例2用0～125mm、分度值為0.02mm的游標(biāo)尺測(cè)量一個(gè)鋼球的直徑d，進(jìn)而求鋼球體積V的間接測(cè)量結(jié)果。解：實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的原始數(shù)據(jù)如下表：

B類不確定度測(cè)量次數(shù)123數(shù)值mm5.885.865.88鋼球直徑平均值為A類不確定度注：上式中3次測(cè)量的因子，今后無(wú)特別說(shuō)明t都取為1。直徑的總不確定度為鋼球體積的不確定度為（返回）鋼球體積為鋼球體積的測(cè)量結(jié)果為注意：p作為中間量，所取的有效位應(yīng)比最終結(jié)果多一位；同理，直徑的不確定度作為中間變量也應(yīng)取兩位有效數(shù)字。如何決定有效數(shù)字的位數(shù)將在下面的章節(jié)中作詳細(xì)說(shuō)明。即直徑的測(cè)量結(jié)果為第三部分有效數(shù)字§1.1基本概念所有可靠數(shù)字和末位的一位有疑問(wèn)的數(shù)字（存疑數(shù)字）統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。如右圖：（厘米尺）圖a測(cè)量的有效數(shù)字為2.4cm圖b測(cè)量的有效數(shù)字為2.43cm注：存疑數(shù)字與不確定度數(shù)對(duì)齊，多余位需舍棄。§1.2多余尾數(shù)的舍入規(guī)則1、不確定度的舍入規(guī)則

不確定度一般只保留一位有效數(shù)字。為了保險(xiǎn)，多采用全入的辦法。對(duì)相對(duì)不確定度，通常保留兩位有效數(shù)字，結(jié)尾部分按下面一般數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則進(jìn)行舍入。

2、一般數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則“四舍五入”規(guī)則入的機(jī)會(huì)總是大于舍的機(jī)會(huì)，因而不合理?，F(xiàn)在通用的規(guī)則是：“四舍六入五湊偶”，即被舍位數(shù)字小于五舍大于五入；等于五時(shí)，若保留的末位數(shù)字為奇數(shù)時(shí)，則加1，為偶數(shù)時(shí)則不變，即把保留的末位數(shù)湊為偶數(shù)。

例如：對(duì)下面數(shù)保留4位有效數(shù)字。3.510593.5103.511593.512§1.3有效數(shù)字的幾個(gè)注意問(wèn)題1、“0”在數(shù)據(jù)中的作用

“0”在其他數(shù)字之間或之后為有效數(shù)字，在之前則不是有效數(shù)字。例如：O.3和0.03都是一位有效數(shù)字，而103.00則是五位有效數(shù)字。

2、單位換算對(duì)有效數(shù)字的影響非十進(jìn)制單位換算時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)可以改變。例如時(shí)間min，1.8為兩位有效數(shù)字，誤差位在O.1min=6s位上。若以秒為單位，應(yīng)寫成：s，誤差位仍在秒位上，并未改變數(shù)據(jù)的精度，但180為三位有效數(shù)字。

十進(jìn)制單位換算不影響有效數(shù)字

例如80.20g是四位有效數(shù)字，若用千克單位表示則為O.08020kg，仍為四位有效數(shù)字。但是用毫克單位表示寫成80200mg，就有問(wèn)題了，因?yàn)榘从行?shù)字規(guī)定，最后一位也有誤差的數(shù)，原來(lái)數(shù)據(jù)80.20g有誤差數(shù)是在1/100g位上，當(dāng)寫成80200mg時(shí)有誤差數(shù)是在1/1000g位上，則數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性變了。為了解決這個(gè)矛盾，應(yīng)使用所謂科學(xué)記數(shù)法，即把數(shù)據(jù)寫成小數(shù)點(diǎn)前只有一位，再乘以lO的冪次來(lái)表示。如上述質(zhì)量數(shù)據(jù)可寫成8.020×104mg或8.020×10-2kg，它們都是四位有效數(shù)字，這樣在十進(jìn)制單位換算時(shí)，不會(huì)改變有效數(shù)字的位數(shù)?！?.4運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字規(guī)則1、參與運(yùn)算的物理常量或常數(shù)（如p），保留的位數(shù)比運(yùn)算數(shù)據(jù)中位數(shù)最少的多一位即可；

2、加減運(yùn)算f=x+y+z

（1）運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字的末位應(yīng)與小數(shù)點(diǎn)位最高的分量末位對(duì)齊。（2）由傳遞公式計(jì)算不確定度，中間過(guò)程取兩位，最終取一位。（3）最后由不確定度決定結(jié)果的末位有效數(shù)字。例如：求f=x+y-z，其中

解：不確定度為而故最終結(jié)果為4位有效數(shù)字注意：若時(shí)，則3、乘除法f=xyz

（1）以有效位數(shù)最少的分量為準(zhǔn)，將其他分量取到比它多一位，計(jì)算得到f的有效位數(shù)和有效位數(shù)最少的分量相同；（2）若分量給出了不確定度，則（1）的結(jié)果還要多保留一位或多位，再用傳遞公式計(jì)算不確定度；（3）由不確定度決定最終結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。例如：求，其中測(cè)得，

。解：所以，最終的結(jié)果為：

注意：若

，則

；

若

，則

。

4、乘方和開方結(jié)果的有效數(shù)字同乘除。5、函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則及有效數(shù)字（1）通常函數(shù)的有效數(shù)字同自變量的；（2）若自變量給出了不確定度，則（1）的結(jié)果多保留一位或幾位，再用傳遞公式計(jì)算函數(shù)的不確定度；（3）由不確定度決定最終有效數(shù)字位數(shù)。另外，自變量未給出不確定度，還可以用近似不確定度的辦法確定函數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)。自變量的近似不確定度即為量具的最小分度值。例1：解：注意：若x未給出不確定度，可取其近似不確定度為量具的最小分度值1分，進(jìn)而可求出y的不確定度，最后決定y的有效數(shù)字位數(shù)，如例2。已知

，計(jì)算。例2：解：x的近似不確定度為

已知，計(jì)算。由y的不確定度決定了y的有效數(shù)字需保留到小數(shù)點(diǎn)后3位。通常對(duì)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)與真數(shù)的有效位數(shù)相同?？偨Y(jié)：

當(dāng)分量未給出不確定度時(shí)：加減運(yùn)算結(jié)果的小數(shù)位數(shù)與分量中小數(shù)位數(shù)最少的取齊；而其他運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)同有效位數(shù)最少的分量的位數(shù)；函數(shù)的有效位數(shù)同自變量的有效位數(shù)。（返回）

當(dāng)分量給出不確定度時(shí)：首先由傳遞公式求出不確定度，再由不確定度決定結(jié)果的有效位數(shù)。第四部分?jǐn)?shù)據(jù)處理

常用的數(shù)據(jù)處理辦法有：

（1）作圖法（2）逐差法（3）最小二乘法第一節(jié)作圖法

§1.1圖示法1、概念：一組測(cè)量數(shù)據(jù)以及物理量之間的關(guān)系在一固定坐標(biāo)系內(nèi)以圖線的形式表示出來(lái)。2、作圖規(guī)則（1）根據(jù)不同需要，

選取合適的坐標(biāo)紙。（2）選擇和標(biāo)定坐標(biāo)軸。一般以橫軸表示自變量，縱軸表示因變量。坐標(biāo)軸一定要標(biāo)明所代表物理量的名稱及量度單位。坐標(biāo)軸標(biāo)定要利于讀數(shù)，通常以l代表1，2，4，5，8個(gè)單位值，而不要代表3，7，9個(gè)單位值。原點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)實(shí)際需要確定，不一定均為(0，0)，這樣可使圖線協(xié)調(diào)。

(3)數(shù)據(jù)點(diǎn)的表示。在圖紙上，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)要用一定的符號(hào)表示出來(lái)。(4)圖線的擬合。根據(jù)圖紙上標(biāo)出的各點(diǎn)數(shù)據(jù)，用所謂擬合法擬合成一條較理想的圖線，在顧及到各數(shù)據(jù)點(diǎn)的同時(shí)，使擬合成的圖線呈光滑的曲線或直線，并不要求圖線通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要通過(guò)各數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差矩形即可，但最好使不在圖線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)較均勻地分布在圖線的兩側(cè)。

(5)一定要標(biāo)明圖線的名稱及獲得此圖線的實(shí)驗(yàn)條件，如可能最好將所測(cè)得數(shù)據(jù)以表格形式列在圖紙的適當(dāng)位置。

§1.2圖解法圖解法就是利用所擬合的圖線求解問(wèn)題。

1、確定直線的斜率和截距。

例如：電阻溫度關(guān)系，由測(cè)量數(shù)據(jù)得到的直線的縱軸截距即為，而直線的斜率為，從而可得到電阻溫度系數(shù)。過(guò)、兩點(diǎn)直線的斜率為：，其相對(duì)誤差為。2、線性轉(zhuǎn)換

實(shí)際中遇到的被測(cè)量間的關(guān)系有些并非線性關(guān)系，也就不能直接求斜率和截距，這時(shí)可通過(guò)變量代換將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系。

例如：?jiǎn)螖[的周期T與擺長(zhǎng)L的關(guān)系在0級(jí)近似下為

，二者并非線性，但令，則X與L成為線性關(guān)系，可用圖解法處理。或者對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得：，從而對(duì)數(shù)lnT與lnL變成了線性關(guān)系。（返回）第二節(jié)逐差法

逐差法是把實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)列成表格，然后進(jìn)行逐次相減或等間隔相減的處理辦法。逐差法計(jì)算簡(jiǎn)便，可以隨測(cè)隨檢，及時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)差錯(cuò)和數(shù)據(jù)規(guī)律。

例如：伸長(zhǎng)法測(cè)鋼絲繩的楊氏模量數(shù)據(jù)如下加碼質(zhì)量（kg）標(biāo)尺讀數(shù)（mm）逐次相減（mm）等間隔減（mm）增碼減碼平均值099.099.4L0=99.2L1-L0=14.3L1'=L3-L0=43.12113.0114.0L1=113.5L2–L1=14.84128.0128.5L2=128.3L3–L2=14.0L2'

=L4–L1=43.56142.0142.5L3=142.3L4–L3=14.78156.0158.0L4=157.0L5–L4=13.0L3'=L5–L2=41.710170.0L5=170.0由表可知：

最后一個(gè)伸長(zhǎng)量L5–L4=13.0mm，與前幾個(gè)相差偏大，這是因?yàn)樽詈笠粋€(gè)數(shù)據(jù)為單次測(cè)量，所以誤差不能被抵消，這種數(shù)據(jù)在計(jì)算中應(yīng)盡量回避。

任取兩個(gè)數(shù)據(jù)就可以求出楊氏模量，不過(guò)這樣不能充分利用數(shù)據(jù)去抵消掉一部分測(cè)量誤差的影響。但利用逐次相減值求平均也不行。因?yàn)?，這樣的平均值：實(shí)際上仍然只用了兩個(gè)數(shù)據(jù)，誤差較大。逐差法是將數(shù)據(jù)分成L0、L1、L2和

L3、L4、L5兩組，然后求兩組間隔最大的差值，然后再取差值的平均值，即上述平均值是6kg砝碼重量的伸長(zhǎng)量，故楊氏模量為：

用逐差法求得的結(jié)果，還可以估計(jì)它們的不確定度。根據(jù)不確定度傳遞關(guān)系，在忽略砝碼的不確定度后，K的不確定度就由的不確定度決定，暫不考慮B類不確定度，可根據(jù)L的三次結(jié)果，計(jì)算其A類標(biāo)準(zhǔn)不確度為

由于對(duì)L只相當(dāng)于測(cè)了三次，所以需要引入t因子，查得在n=3時(shí)，t=1.32，因而L的置信區(qū)間應(yīng)為

。

（返回）第三節(jié)最小二乘法（亦稱線性回歸法）

最小二乘法擬合曲線是以誤差理論為依據(jù)的嚴(yán)格方法，是實(shí)際研究工作中采用的正規(guī)數(shù)據(jù)處理方法。

§3.1原