河北省唐山市路北區(qū)新起點(diǎn)培訓(xùn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案二倍角的正弦、余弦、正切公式（提高）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2．能熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式．但不要求記憶），能靈活地將公式變形并運(yùn)用．3．通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會(huì)換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要點(diǎn)詮釋：(1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時(shí)才成立；（2)倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵。如：；2．和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下:要點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1．對(duì)公式會(huì)“正著用”,“逆著用”,也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等;2．掌握“角的演變”規(guī)律,尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向,準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等）；3．將公式和其它知識(shí)銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接?！镜湫屠}】類型一：利用二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1。求下列各式的值：（1）；；（3）．【思路點(diǎn)撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）；（2)；（3）【解析】(3）【總結(jié)升華】解答本類題型重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系、次數(shù)的關(guān)系等,抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起至關(guān)重要的作用,而且抓住了公式的特征,有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論中所具有的與公式相似的結(jié)構(gòu)特征,并聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)．舉一反三：類型二:利用二倍角公式求非特殊角的三角函數(shù)值例2。求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．【思路點(diǎn)撥】解這類題型有兩種方法：方法一：將原式中角度成二倍角的正弦形式全部轉(zhuǎn)化為余弦形式，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)．方法二：把原式作為A式，然后把A式中正弦形式全部化為余弦形式，把這個(gè)式子作為B式，再兩式相乘．【答案】【解析】方法一：原式【總結(jié)升華】一般地，對(duì)于，可以通過乘以sinα后連結(jié)使用二倍角公式化簡(jiǎn)，這樣便可以生產(chǎn)“連鎖反應(yīng)”．方法二：設(shè)所求為A，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78°設(shè)B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°則=【總結(jié)升華】在不能觀察到所求角的互余角的倍數(shù)關(guān)系以前．通過設(shè)B來構(gòu)造可以利用二倍角公式的“對(duì)偶”式，算出乘積再約去B．從而得到原式的值．這也是處理類似問題的一種常見方法．舉一反三：【變式1】【解析】例3．求值：．【思路點(diǎn)撥】化正切為正弦、余弦，便于探索解題思路．【答案】【解析】原式．【總結(jié)升華】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得問題簡(jiǎn)單化．舉一反三：【高清課堂：兩角和與差的三角公式401863例4】【變式1】求值：【解析】原式====4【高清課堂：兩角和與差的三角公式例5】【變式2】求值:【解析】原式=====1類型三：利用二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例4．化簡(jiǎn)：．【思路點(diǎn)撥】觀察式子的結(jié)構(gòu)，把倍角展開成單角，然后再進(jìn)行化簡(jiǎn)．【答案】【解析】方法一：原式．方法二:原式．方法三：原式方法四：原式．【總結(jié)升華】在對(duì)三角函數(shù)作變形時(shí)，以上四種方法提供了四種變形的角度，即分別從“角"的差異，“名”的差異，“冪"的差異以及“形”的特征四個(gè)方面著手研究，這也是研究其他三角問題時(shí)經(jīng)常要用的變形手法．舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)下列各式:(1）（2）【答案】（1）(2)【解析】（1）(2)原式=====【變式2】化簡(jiǎn)：．【答案】1【解析】原式．類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應(yīng)用例5．已知，且,求的值．【思路點(diǎn)撥】觀察所求的角與已知角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關(guān)系,所以用二倍角公式去求解．【答案】【解析】原式．∵，∴．∵，∴．∴，∴．又∵，∴．【總結(jié)升華】要注意本題中的角“2x”與“”的變換方法,即．舉一反三：【高清課堂：倍角、半角公式370633例2】【變式1】求值：（1）已知，求．（2）已知，求．【答案】（1)（2）【解析】（1）===（2）===【變式2】已知：tanθ=2，求的值．【答案】解法一：=（轉(zhuǎn)化成了齊次式）=解法二:∵tan=2,∴sin=2k，cos=k原式又∵sin2+cos2=1即(2k）2+k2=1∴例6．已知，，且、都是銳角，求．【答案】【解析】由，得，即．由，得．．∵0°＜＜90°，0°＜＜90°，∴0°＜＜270°．在0°與270°之間只有90°的余弦值為0,故．【總結(jié)升華】給值求角題的求解一般按如下兩個(gè)步驟進(jìn)行（這兩個(gè)步驟缺一不可）：①根據(jù)題設(shè)條件，求角的某一三角函數(shù)值；②討論角的范圍，必要時(shí)還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍，從而確定角的大小．類型五:二倍角公式的綜合應(yīng)用例7．已知函數(shù)（x∈R,ω＞0）的最小正周期是．(1）求ω的值；（2）求函數(shù)的最大值,并且求使取得最大值的x的集合．【思路點(diǎn)撥】用降冪公式把“”降冪，然后用輔助角公式化成的形式．【答案】（1)2（2）【解析】(1）．因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，可得，所以=2．（2)由(1）知,．當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以函數(shù)的最大值是，此時(shí)x的集合為．【總結(jié)升華】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦公式及的性質(zhì)等知識(shí)．要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應(yīng)用：（1）縮角升冪公式，．，．(2）擴(kuò)角降冪公式,．舉一反三：【變式1】已知函數(shù)．(Ⅰ）求的定義域及最小正周期；(Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?。所以函?shù)的定義域?yàn)椋á?因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí),的最大值為;當(dāng)時(shí),即時(shí)，的最小值為。例8．已知A、B、C為三個(gè)銳角，且A＋B＋C＝π.若向量＝（2－2sinA，cosA＋sinA)與向量＝（cosA－sinA，1＋sinA）是共線向量。（Ⅰ）求角A;（Ⅱ)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos的最大值?！舅悸伏c(diǎn)撥】首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值，再根據(jù)角的范圍即可解決第(Ⅰ）小題；而第(Ⅱ)小題根據(jù)第(Ⅰ）小題的結(jié)果及A、B、C三個(gè)角的關(guān)系，結(jié)合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的表達(dá)式，再根據(jù)B的范圍求最值?！敬鸢浮?Ⅰ）（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）∵、共線,∴(2－2sinA)(1＋sinA）＝(cosA＋sinA)（cosA－sinA)，則sin2A＝，又A為銳角,所以sinA＝,則A＝。(Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos，＝2sin2B＋cos(－2B）＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin（2B－)＋1?！連∈（0,)，∴2B－∈（－，),∴2B－＝,解得B＝，ymax＝2?！究偨Y(jié)升華】本題主要考查向量共線（平行)的充要條件、三角恒等變換公式及三角函數(shù)的有界性。本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題；（2）根據(jù)條件確定B角的范圍.一般地,由于在三角函數(shù)中角是自變量，因此解決三角函數(shù)問題