誤差的合成與分配

誤差的合成與分配第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2間接測量的概念(1)直接測量——無需對被測的量與其它實測的量進行函數(shù)關(guān)系的輔助計算，而直接得到被測量值的測量。

例如用游標卡尺測量零件直徑。(2)間接測量——實測的量與被測的量之間有已知函數(shù)關(guān)系，通過計算而得到被測量值的測量。例如通過測量圓柱體的圓周長度L，通過關(guān)系式D=L/π，得到所求的零件直徑D。間接測量誤差是各個直接測量值誤差的函數(shù)，稱這種誤差為函數(shù)誤差。第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3第一節(jié)函數(shù)誤差一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計算

設(shè)間接測量中間接測量值y是各個直接測量量xi的多元函數(shù)，其表達式為式中－間接測量值－各個直接測量值?？芍?頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月4若已知各個直接測量值的系統(tǒng)誤差可近似得到函數(shù)的系統(tǒng)誤差為

稱為第i個直接測量值的誤差傳遞系數(shù)。

注意：這里講的是函數(shù)系統(tǒng)誤差計算，各個直接測量值的系統(tǒng)誤差對函數(shù)總誤差的貢獻基本是代數(shù)和的形式。第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月5幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差

1、線性函數(shù)2、三角函數(shù)形式

系統(tǒng)誤差公式當

當函數(shù)為各測量值之和時，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個測量值系統(tǒng)誤差之和第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月6【例6-1】用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高，弦長，工廠檢驗部門又用高準確度等級的卡尺量得弓高，弦長試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結(jié)果。

【解】建立間接測量大工件直徑的函數(shù)模型

不考慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在處的直徑測量值第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月7車間工人測量弓高、弦長的系統(tǒng)誤差直徑的系統(tǒng)誤差

故修正后的測量結(jié)果計算過程（求修正后的測量結(jié)果）：誤差傳播系數(shù)為若直接用h=50.1和L=499計算得：1292.62mm。第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月8二、函數(shù)隨機誤差的計算

設(shè)間接測量中，間接測量值y是各個直接測量量xi的多元函數(shù)，其表達式為下面來推導(dǎo)間接測量時函數(shù)隨機誤差的計算公式：

設(shè)對各個直接測量值xi皆進行了N次等精度測量，其相應(yīng)的隨機誤差為第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月9可得函數(shù)y的隨機誤差為將上式每個方程平方得:第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月10將上式相加第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月11上式各項除以N得:第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月12則可得：第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月13當各測量值的隨機誤差是相互獨立的，且N適當大時，相關(guān)項即相關(guān)系數(shù)上式可化簡為第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月14所以,當各測量值的隨機誤差相互獨立時，函數(shù)隨機誤差的計算式為：第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月15回到本章開始的例子用千分尺直接測量圓柱體的直徑d和高度h（d和h的基本尺寸均為10mm）各6次，測得值列于下表，求圓柱體體積V及標準差。直徑d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105解：第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月16按貝塞爾式計算和的標準差分別為第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月17又例：系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法中，

算術(shù)平均值的差值與標準差比較法中有計算公式，兩組算術(shù)平均值之差為：當時講：可以證明兩算術(shù)平均值之差的方差為：

（現(xiàn)利用函數(shù)隨機誤差計算方法來證明）第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月18三、相關(guān)系數(shù)（標準協(xié)方差）相關(guān)系數(shù)（標準協(xié)方差）是表達兩維隨機變量（ξ,η）相互依賴性的數(shù)字特征，若ξ,η是不相互獨立的隨機變量，定義：第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月19實際工作中相關(guān)系數(shù)的確定1.直接判斷法：根據(jù)專業(yè)知識來進行判斷；2.實驗觀察和簡略計算法：（1）觀察法第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月20（2）簡單計算法（3）直接計算法3.理論計算法第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月21第二節(jié)隨機誤差的合成誤差合成就是在正確地分析和綜合誤差因素的基礎(chǔ)上，正確地表述這些誤差的綜合影響。

標準差合成

極限誤差合成隨機誤差的合成形式包括：第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月22一、標準差合成合成標準差表達式:

q個單項隨機誤差，標準差誤差傳播系數(shù)由間接測量的顯函數(shù)模型求得根據(jù)實際經(jīng)驗給出知道影響測量結(jié)果的誤差因素而不知道每個和第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月23二、極限誤差合成

單項極限誤差:

單項隨機誤差的標準差單項極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差:

合成標準差合成極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差計算公式第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月24根據(jù)已知的各單項極限誤差和所選取的各個置信系數(shù)，即可進行極限誤差的合成各個置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機誤差的分布有關(guān)對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個置信系數(shù)相同對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個置信系數(shù)也不相同ij為第i個和第j個誤差項之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。應(yīng)用極限誤差合成公式時，應(yīng)注意：第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月25當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各單項誤差的數(shù)目q較多、各項誤差大小相近和獨立時，此時合成的總誤差接近于正態(tài)分布合成極限誤差：若各單項誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式此時第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月26第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類：1）已定系統(tǒng)誤差2）未定系統(tǒng)誤差定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號：合成方法：按照代數(shù)和法進行合成i為第i個系統(tǒng)誤差，ai為其傳遞系數(shù)系統(tǒng)誤差可以在測量過程中消除，也可在合成后在測量結(jié)果中消除！第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月27二、未定系統(tǒng)誤差的合成

（一）未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費過多精力去掌握，而只能或者只需估計出其不致超過某一范圍e的系統(tǒng)誤差。特征：1）

在測量條件不變時為一恒定值，多次重復(fù)測量時其值固定不變，因而單項系統(tǒng)誤差在重復(fù)測量中不具有低償性。2）隨機性。當測量條件改變時，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機性，且服從一定的概論分布，具有隨機誤差的特性。第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月281、標準差合成（二）未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機性，服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，它們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機誤差的合成公式。

同隨機誤差的合成類似，未定系統(tǒng)誤差合成時可以按照標準差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。若測量過程中有s

個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準差分別為u1，u2，……，us，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，……，as

，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準差u

為:第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月29則由各單項未定系統(tǒng)誤差標準差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，ij

為第i個和第j個誤差項的相關(guān)系數(shù)當ij=0時2、極限誤差的合成因為各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月30或者，由各單項未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月31第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成一、按極限誤差合成

誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差誤差形式合成、按標準差形式合成。測量過程中，假定有r

個單項已定系統(tǒng)誤差，s

個單項未定系統(tǒng)誤差，q

個單項隨機誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：1、單次測量情況若各個誤差的傳遞系數(shù)取1，則測量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R為各個誤差之間的協(xié)方差之和。第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月32當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關(guān)時，測量結(jié)果總的極限誤差可簡化為：一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機誤差的均方根值，即：2、n

次重復(fù)測量情況當每項誤差都進行n次重復(fù)測量時，由于隨機誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機誤差項應(yīng)除以重復(fù)測量次數(shù)n。總極限誤差變?yōu)椋旱?2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月33【例】用TC328B型天平，配用三等標準砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量，求測量結(jié)果的標準差。(1)隨機誤差:天平示值變動性所引起的誤差為隨機誤差。多次重復(fù)稱量同一球的質(zhì)量的天平標準差為(2)未定系統(tǒng)誤差:標準砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標準差），故這兩項誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。①砝碼誤差:天平稱量時所用的標準砝碼有三個，即10g的一個，2g的兩個，標準差分別為:故三個砝碼組合使用時，質(zhì)量的標準差為根據(jù)TC328B型天平的稱重方法，其測量結(jié)果的主要誤差如下：第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月34②天平示值誤差該項標準差為:最后測量結(jié)果應(yīng)表示為（１倍標準差）：

第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月35第五節(jié)誤差分配誤差分配

給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個單項誤差。在誤差分配時，隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。假設(shè)各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關(guān)，有：若已經(jīng)給定，如何確定Di

或相應(yīng)的i,使其滿足式中，稱為部分誤差，或局部誤差第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月36一、按等影響原則分配誤差等作用原則：各分項誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即由此可得：或用極限誤差表示：函數(shù)的總極限誤差各單項誤差的極限誤差進行誤差分配時，一般應(yīng)按照下述步驟：第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月37(1)造成對部分測量誤差的需求實現(xiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以達到。按等影響原則分配誤差的不合理性

(2)所以各個部分誤差相等，相應(yīng)測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進行適當調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調(diào)整。第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月38

測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑D

及高度

h，根據(jù)函數(shù)式誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計算實際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現(xiàn)的誤差項的誤差，合成后與要求的總誤差進行比較，直到滿足要求為止。【例】求得體積V，若要求測量體積的相對誤差為1％，已知直徑和高度的公稱值分別為，，試確定直徑D及高度h的測量精度。三、驗算調(diào)整后的總誤差

第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月39一、按等影響分配原則分配誤差得到測量直徑D

與高度h的極限誤差:【解】計算體積體積的絕對誤差:第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月40用這兩種量具測量的體積極限誤差為因為查資料，可用分度值為0.1mm的游標卡尺測高，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標卡尺測直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為。二、調(diào)整后的測量極限誤差

顯然采用的量具準確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為。此時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補償。第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月41調(diào)整后的實際測量極限誤差為因為因此調(diào)整后用一把游標卡尺測量直徑和高度即能保證測量準確度。第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月42第六節(jié)微小誤差的取舍原則將其中的部分誤差Dk取出后，則得若有則稱部分誤差Dk為微小誤差，可以舍去。

有的誤差對測量結(jié)果總誤差影響很小。當這種誤差小到一定程度，計算測量結(jié)果總誤差時可舍去。什么程度可以舍去？第42頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月43

根據(jù)有效數(shù)字運算準則，對一般測量，測量誤差取一位有效數(shù)字，若舍去某誤差后，它的影響達到以下要求，則該項誤差為微小誤差：解上式第43頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月44對于比