13-電路方程的矩陣形式

本章內(nèi)容佳木斯大學(xué)信息電子技術(shù)學(xué)院第13章電路方程的矩陣形式割集13.1關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣13.2回路電流方程的矩陣形式13.3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式13.4狀態(tài)方程13.6割集電壓方程的矩陣形式13.5本章學(xué)習(xí)目的及要求本章主要在圖的基本概念的基礎(chǔ)上介紹了關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣，以及用這些矩陣表示的KCL、KVL方程。由此導(dǎo)出電路方程的矩陣形式，包括回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程、割集電壓方程的矩陣形式。并介紹了狀態(tài)方程的初步知識(shí)。

§

13.1

割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個(gè)端點(diǎn))

，將圖分成兩個(gè)分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。一、割集定義①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}注意：在移去支路時(shí)，與其相連的結(jié)點(diǎn)并不移去。割集示例：非割集示例：215634215634213456342156215634二、割集判斷方法

在圖G上作一個(gè)高斯面（閉合面），使其包圍G的某些結(jié)點(diǎn)，而每條支路只能被閉合面切割一次，去掉與閉合面相切割的支路，圖G將被分為兩部分，那么這組支路集合即為圖G的一個(gè)割集。在圖G上畫(huà)高斯面（閉合面）Q1、Q2、Q3如下圖所示，對(duì)應(yīng)割集Q1、Q2、Q3的支路集合為{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一條支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465三、獨(dú)立割集這種由一條樹(shù)支及相應(yīng)的連支構(gòu)成的割集稱為單樹(shù)支割集或基本割集。215634Q1Q2Q3對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，b條支路的連通圖G，獨(dú)立割集的數(shù)目等于樹(shù)支數(shù)，為（n－1）。圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：圖的矩陣表示:結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣

回路支路回路矩陣割集支路

割集矩陣§

13.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣一、關(guān)聯(lián)矩陣aij

=

1有向支路j

背離

i結(jié)點(diǎn)

-1有向支路j指向

i結(jié)點(diǎn)

0i結(jié)點(diǎn)與j

支路無(wú)關(guān)1.關(guān)聯(lián)矩陣：Aa={aij}n

b結(jié)點(diǎn)數(shù)支路數(shù)645321①②④③Aa=1234

123456

支結(jié)

100-101-110010

0-1100-1

00-11-10設(shè)④為參考結(jié)點(diǎn)，劃去第4行。

-110010A=123

123456

支結(jié)

100-101

0-1100-1稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣

(n-1)b

，表征獨(dú)立結(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。也稱關(guān)聯(lián)矩陣。各行不獨(dú)立。

2.關(guān)聯(lián)矩陣A描述的基爾霍夫定律的矩陣形式（1）KCL的矩陣形式設(shè):以結(jié)點(diǎn)④為參考結(jié)點(diǎn)Aib

=-1-1100000-1-101100110n-1個(gè)獨(dú)立方程矩陣形式的KCL:Aib=0（2）KVL的矩陣形式設(shè):矩陣形式1支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向一致。-1支路j

與回路i關(guān)聯(lián)，方向相反。0支路j

不在回路i中。bij=（2）支路排列順序?yàn)橄冗B支后樹(shù)支。1.約定：（1）回路電流的參考方向取連支電流方向。二.基本回路矩陣：B={bij}lb基本回路數(shù)支路數(shù)選4、5、6為樹(shù)支，連支為1、2、3。123B=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101-1BlBt123

654l3l2l3l1（1）KVL的矩陣形式設(shè)ulutBf

ub=100-1-100101010010-11l個(gè)獨(dú)立KVL方程矩陣形式的KVL：Bf

ub=02.基本回路矩陣Bf表示的基爾霍夫定律的矩陣形式設(shè)：（2）KCL的矩陣形式獨(dú)立回路電流1２３６５４①②④③231矩陣形式的KCL：Bf

T

il=ib

13-1如圖所示，選支路（3，5、6）為樹(shù)支，求基本回路矩陣。2523613514563基本回路如下：124356例：解：2134561支路j與割集i方向一致。-1支路j

與割集i方向相反。0支路j

不在割集i中。qij=（2）支路排列順序?yàn)橄葮?shù)支后連支。1.約定：（1）割集方向與樹(shù)支方向相同。三.基本割集矩陣：Q={qij}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)選4、5、6為樹(shù)支，連支為1、2、3。Q1Q2Q3Q=456123支路割集100-1-10

01011-1=[1

Ql]

0010-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

6542.基本割集矩陣Qf描述的基爾霍夫定律的矩陣形式矩陣形式的KCL：100-1-10010101001-1-1

-1Qf

ib=矩陣形式的KCL：Qf

ib=0

（1）KCL的矩陣形式1２３６５４Q1Q3Q2?。?，5，6）為樹(shù)，（2）KVL的矩陣形式電路中的（n-1）個(gè)樹(shù)支電壓可用（n-1）階列向量表示，即1２３６５４Q1Q3Q2連支電壓可以用樹(shù)支電壓表示。注意小結(jié)QfQfib=0QfT

ut=ubABfKCLAib=0BfT

il=ibKVLATun=ubBfub=0取回路電流（連支電流）為未知變量?；芈贩匠叹仃囆问?/p>

支路電壓與支路電流的關(guān)系代入上面方程，整理后得§

13.3回路電流方程的矩陣形式Zk+-+-回路矩陣方程（回路電壓源相量）Zl（回路阻抗陣）電路中電感之間有耦合，規(guī)定每個(gè)支路必須僅有一個(gè)阻抗。

jωM*+-+-*++--Z不是對(duì)角陣列寫(xiě)回路電流方程矩陣形式的步驟如下：根據(jù)已知電路，畫(huà)出有向圖，寫(xiě)出回路矩陣B；寫(xiě)出支路阻抗矩陣Z，電源列向量3.求出回路阻抗矩陣4.列出回路方程；；。13-2電路及其有向圖如圖所示，選樹(shù)（4，5，6）。（1）試寫(xiě)出基本回路矩陣和支路阻抗矩陣Z以及列向量;（2）試求回路阻抗矩陣Zl

；（3）寫(xiě)出矩陣形式的回路方程。123456

（1）

G4+-123564l3l1l2例：解：電壓源和電流源列向量分別為:(2)回路阻抗為:123564l3l1l2G4+-

(3)矩陣形式的回路方程:§13.4結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式(4)在復(fù)合支路中允許存在受控電流源，但不允許存在受控電壓源；且不允許存在無(wú)伴電壓源支路。

(1)支路電壓和支路電流取關(guān)聯(lián)方向；(3)

表示第k條支路的阻抗(或?qū)Ъ{)，且規(guī)定它只能是單一的電阻、電感或電容，而不能是它們的組合。一、復(fù)合支路在結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式中，采用復(fù)合支路（假設(shè)電路為正弦電流電路，變量用相量形式），規(guī)定：分別表示第k條支路的獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源；(2)復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。Zk

(Yk)+-+-(b)含受控源復(fù)合支路

(a)無(wú)受控源復(fù)合支路

+-Zk

(Yk)+--+二、支路方程的矩陣形式

分三種不同情況進(jìn)行分析。

電路中不含互感和受控源

Zk(Yk)+-+-電路中電感之間有耦合jωM*+-+-*+-+-電路中有受控電源Zk(Yk)+-+-Zk(Yk)+-+-考慮b個(gè)支路時(shí)：若：三、結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式KCL支路方程：KVLKCL：KVL：結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣獨(dú)立電源引起的注入結(jié)點(diǎn)的電流列向量四、結(jié)點(diǎn)分析法的一般步驟1.畫(huà)有向圖2.寫(xiě)出關(guān)聯(lián)矩陣A3.寫(xiě)支路導(dǎo)納矩陣Y5.用矩陣乘法求得結(jié)點(diǎn)方程4.寫(xiě)列向量13-3電路如圖（a），圖中元件的下標(biāo)代表支路編號(hào)，圖（b）是它的有向圖。寫(xiě)出結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。uS1③+-R3+-u3R6R4R5R1②①i4346512①②③（1）寫(xiě)出關(guān)聯(lián)矩陣A：（2）電壓源和電流源列向量分別為:

0

0

0

0]T

0

0

0

0

0]T

A=0

0

0

1

1

-1

1-1

0

-1

0

0

0

1

1

0

0

1

例：解：uS1③+-R3+-u3R6R4R5R1②①i4346512①②③（3）用矩陣相乘求出結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣,列出結(jié)點(diǎn)方程。

結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式為uS1③+-R3+-u3R6R4R5R1②①i4§

13.5

割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨(dú)立變量的分析法稱為割集電壓法。復(fù)合支路用導(dǎo)納表示的支路方程：Zk

(Yk)+-+-割集矩陣方程割集電壓法是結(jié)點(diǎn)電壓法的推廣。13-4電路如圖所示，試用運(yùn)算形式寫(xiě)出該電路割集電壓方程的矩陣形式。（設(shè)電感電容的初始條件為零）（1）作出電路的有向圖，如圖（b）所示，選支路1、2、3為樹(shù)支。（3）由于電源中不含受控源，所以支路導(dǎo)納矩陣為一對(duì)角陣L4R1R1C5L3C6R2L3（a）152436（b）123456例：解：（2）由圖（b）可寫(xiě)出基本割集矩陣（4）將上式關(guān)系代入割集電壓方程得:電壓源和電流源列向量分別為:§

13.6

狀態(tài)方程一、網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)與狀態(tài)變量網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)指能和激勵(lì)一道唯一的確定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時(shí)和未來(lái)的行為的最少的一組信息量。狀態(tài)變量是電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量，它們?cè)谌魏螘r(shí)刻的值組成了該時(shí)刻的狀態(tài)，如獨(dú)立的電容電壓，電感電流就是電路的狀態(tài)變量。注意：這里講的最少的網(wǎng)絡(luò)變量是互相獨(dú)立的。因此：1）當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中存在純電容（感）回路；2）網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電壓源并聯(lián)的電容元件；3）網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電流源串聯(lián)的電感元件。，不含以下情況的網(wǎng)絡(luò)稱為常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。

以上幾種情況中非獨(dú)立的和不能作為狀態(tài)變量，下面著重討論不含以上幾種情況的常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。由e(0)=20sin30°=10V可求出電路如圖,已知:R=3,13-5,。,應(yīng)用舉例

例：解：RLCe(t)+-uciLicuo+-狀態(tài)方程的特點(diǎn)：（1）

聯(lián)立的一階微分方程組；（2）

左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；（3）

右端含狀態(tài)變量和輸入量。二、狀態(tài)方程借助于狀態(tài)變量，建立一組聯(lián)系狀態(tài)變量和激勵(lì)函數(shù)的一階微分方程組,稱為狀態(tài)方程。只要知道狀態(tài)變量在某一時(shí)刻的值,再知道輸入激勵(lì)e(t)，就可以確定后電路的全部性狀(響應(yīng))。在每個(gè)狀態(tài)方程中只含有一個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。其中，x稱為狀態(tài)向量，v稱為輸入向量。在一般情況下，設(shè)電路具有n個(gè)狀態(tài)變量，m個(gè)獨(dú)立源，上式中的和x為n階向量，A為n×n方陣，B為n×m矩陣。狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：1.對(duì)只接有一個(gè)電容的結(jié)點(diǎn)列寫(xiě)KCL方程。

2.對(duì)只包含一個(gè)電感的回路列KVL方程。

3.消去非狀態(tài)變量。

4.整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，并寫(xiě)出矩陣形式的狀態(tài)方程。

對(duì)于

KCL和KVL方程中出現(xiàn)的非狀態(tài)變量，只有將它們表示為狀態(tài)變量后，才能得到狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。直觀編寫(xiě)法的缺點(diǎn)：（1）編寫(xiě)方程不系統(tǒng)，不利于計(jì)算機(jī)計(jì)算。（2）對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的非狀態(tài)變量的消除很麻煩。三、狀態(tài)方程的列寫(xiě)列寫(xiě)電路狀態(tài)方程的兩種：直觀法和系統(tǒng)法。前者適用于簡(jiǎn)單電路，后者適用于復(fù)雜電路。（一）直觀法對(duì)于簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)，用直觀法比較容易，列寫(xiě)狀態(tài)方程的步驟為：13-6列寫(xiě)下圖所示電路的狀態(tài)方程。為狀態(tài)變量，則設(shè)

、整理得狀態(tài)方程寫(xiě)成矩陣形式，，iL+-LC+-uCiCu0+-例：解：13-7求下圖所示電路的狀態(tài)方程。+-R1uS+-uCR2L1L2iSi2iCCiR2i1，從以上方程中消去非狀態(tài)變量，得：

iC=-

(i1+i2)

iR2=iS+i2

uL1=uC

-(i1+i2

)R1+uS設(shè)

為狀態(tài)變量，則、、例：解：iRiCuL1整理成矩陣形式如下：+-R1uS+-uCR2L1L2iSi2iCCiR2i1，

狀態(tài)方程系統(tǒng)列寫(xiě)法的步驟：1.選擇一個(gè)樹(shù)，也稱為特有樹(shù)，它包含電容和電壓源，

而不包含電容和電流源。

2.對(duì)包含電容的單樹(shù)支割集列寫(xiě)KCL方程。

3.對(duì)包含電感的單連支割集列寫(xiě)KVL方程。

4.列寫(xiě)其他必要的方程，消去非狀態(tài)變量。

5.整理并寫(xiě)出矩陣形式。（二）系統(tǒng)法：對(duì)于比較復(fù)雜的電路，僅靠觀察法列寫(xiě)狀態(tài)方程有時(shí)是很困難的，有必要尋求一種系統(tǒng)的編寫(xiě)方法。簡(jiǎn)單的說(shuō)，系統(tǒng)編寫(xiě)法就是尋求一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?shù)，使其包含全部電容而不包含電感。對(duì)含電容的單樹(shù)支割集用KCL可列寫(xiě)一組含有的方程。對(duì)于含電感的用KVL可列寫(xiě)出一組含有的方程。這些方程中含有一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，若再加上其他約束方程，便可求得標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程。單連支回路運(yùn)13-8對(duì)圖（a）所示，以為狀態(tài)變量，列出電路的狀態(tài)方程。（1）方法1

－直觀法uS3L2iS1iL2C3i1R1+-R5+-uC3i5C4+-uC434651①②③④27

⑤（a）（b）消去，得：例：解：然后整理成矩陣形式。代入上式：可見(jiàn)，與前面所列方程完全相同，以下步驟省略。含電容單樹(shù)支割集的KCL：uS3L2iS1iL2C3i1R1+-R5+-uC3i5C4+-uC434651①②③④27

⑤（a）（b）（2）方法2－系統(tǒng)法：選圖（b）中支路1、3、4、6

為樹(shù)支，含電感單連支回路的KVL：小結(jié)：看看記記一、割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個(gè)端點(diǎn))

，將圖分成兩個(gè)分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。

3.這種由一條樹(shù)支及相應(yīng)的連支構(gòu)成的割集稱為單樹(shù)支割集或基本割集。對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，b條支路的連通圖G，獨(dú)立割集的數(shù)目等于樹(shù)支數(shù)，為（n－1）。

215634Q1Q2Q3二、關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣aij

=

1有向支路j

背離

i結(jié)點(diǎn)

-1有向支路j指向

i結(jié)點(diǎn)

0i結(jié)點(diǎn)與j

支路無(wú)關(guān)1.關(guān)聯(lián)矩陣：Aa={aij}n

b結(jié)點(diǎn)數(shù)支路數(shù)645321①②④③Aa=1234

123456

支結(jié)

100-101-110010

0-1100-1

00-11-10設(shè)④為參考結(jié)點(diǎn)，劃去第4行。

-110010A=123

123456

支結(jié)

100-101

0-1100-1稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣

(n-1)b

，表征獨(dú)立結(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。

各行不獨(dú)立。

1支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向一致。-1支路j

與回路i關(guān)聯(lián)，方向相反。0支路j

不在回路i中。bij=（2）支路排列順序?yàn)橄冗B支后樹(shù)支。約定：（1）回路電流的參考方向取連支電流方向。2.基本回路矩陣：B={bij}lb基本回路數(shù)支路數(shù)選4、5、6為樹(shù)支，連支為1、2、3。123B=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101-1BlBt123

654l3l2l3l11支路j與割集i方向一致。-1支路j

與割集i方向相反。0支路j

不在割集i中。qij=（2）支路排列順序?yàn)橄葮?shù)支后連支。約定:（1）割集方向與樹(shù)支方向相同。3.基本割集矩陣：Q={qij}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)選4、5、6為樹(shù)支，連支為1、2、3。Q1Q2Q3Q=456123支路割集100-1-10

01011-1=[1

Ql]

0010-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

654小結(jié)QfQfib=0QfT

ut=ubABfKCLAib=0BfT

il=ibKVLATun=ubBfub=03.對(duì)于一個(gè)含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的電路，電路的關(guān)聯(lián)矩陣A是（）階矩陣，用A表示的KCL矩陣為（），用A表示的KVL矩陣為（）。電路的回路矩陣B是（）階矩陣，用B表示的KCL矩陣為（），用B表示的KVL矩.陣為（）。1.連通圖G的一個(gè)割集包含G的全部結(jié)點(diǎn)但不包含回路。（）2.連通圖G的一個(gè)割集，是圖G的一個(gè)支路的集合，把這些支路全部移去，圖G將分離為3個(gè)部分。（）三、回路分析法列寫(xiě)回路電流方程矩陣形式的步驟如下：根據(jù)已知電路，畫(huà)出有向圖，寫(xiě)出回路矩陣B；寫(xiě)出支路阻抗矩陣Z，電源列向量3.求出回路阻抗矩陣4.列出回路方程；；。四、結(jié)點(diǎn)分析法1.畫(huà)有向圖2.寫(xiě)出關(guān)聯(lián)矩陣A3.寫(xiě)支路導(dǎo)納矩陣Y5.用矩陣乘法求得結(jié)點(diǎn)方程4.寫(xiě)列向量(1)選定一個(gè)樹(shù)，寫(xiě)出五、割集分析法(2)求出(3)列出割集方程2.對(duì)于結(jié)點(diǎn)數(shù)為n,支路數(shù)為b的有向圖，可作出（n-1）個(gè)獨(dú)立割集。該有向圖的基本回路矩陣的行數(shù)為（b-n+1）。1.在列寫(xiě)基本回路矩陣和基本割集矩陣時(shí)，基本回路方向與樹(shù)支方向一致，基本割集方向與連支方向一致.（）╳3.某電路的拓?fù)鋱D如圖所示，若選支路集{1，2，5，8}