第04講常用邏輯用語（4種題型）（原卷版）

第04講常用邏輯用語（4種題型）【知識梳理】一.命題的有關(guān)概念在初中時已經(jīng)知道，用自然語言、符號或式子表達(dá)，且可以判斷其真假的語句叫做命題（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．命題通常用陳述句表述．其含義判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫做假命題．例如，“４能被２整除”是真命題，“３能被２整除”是假命題．二．充分條件與必要條件1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．三．反證法反證法：假設(shè)結(jié)論的反面成立，在已知條件和“否定結(jié)論”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與公理、定理、題設(shè)、臨時假設(shè)相矛盾的結(jié)論或自相矛盾，從而斷定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定正確，這種證明方法就叫反證法．【解題思路點撥】用反證法證題時，首先要搞清反證法證題的方法，其次注意反證法是在條件較少，不易入手時常用的方法，尤其有否定詞或含“至多”“至少”等詞的問題中常用．使用反證法進(jìn)行證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等．1．證明思路：肯定條件，否定結(jié)論→推出矛盾→推翻假設(shè)，肯定結(jié)論2．反證法的一般步驟：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；（3）由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；（4）斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真．四．反證法與放縮法證明不等式放縮法在證明不等式時，有時我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的．這種方法稱為放縮法．反證法的步驟1．作出否定結(jié)論的假設(shè)；2．進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；3．否定假設(shè)，肯定結(jié)論．【關(guān)鍵要點點撥】放縮法證明不等式的主要理論依據(jù)（1）不等式的傳遞性；（2）等量加不等量為不等量；（3）同分子（分母）異分母（分子）的兩個分式大小的比較．[注意]放縮要適度，“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出．【考點剖析】題型例1．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）“所有偶數(shù)都不是素數(shù)”是命題．（填“真”或“假”）【變式】（2021秋?普陀區(qū)校級期中）已知a是常數(shù)，命題p：存在實數(shù)x，使得|x|﹣a＜0．若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為．題型二．充分條件例2．（2022秋?青浦區(qū)校級月考）已知α：x＜3m﹣1或x≥﹣m，β：x≤2或x＞3，若α是β的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【變式1】．（2022秋?普陀區(qū)校級期末）設(shè)p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要．【變式2】（2022秋?閔行區(qū)期末）已知集合A＝{x}，B＝{x2}，則“x＝1”是“A＝B”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式3】（2022秋?金山區(qū)期末）設(shè)x∈R，則“|x﹣1|＜2”是“﹣1＜x＜5”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4】（2022秋?長寧區(qū)期末）如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的一點，若，則β是α的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式5】（2022秋?普陀區(qū)校級期末）已知集合，集合B＝{x||x﹣a|≤2}．（1）當(dāng)a＝﹣1時，求A∪B；（2）若“x∈B”是“x?A”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【變式6】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）已知集合A＝{x|3﹣a≤x≤3+a}，B＝{x|x≤0或x≥4}．（1）當(dāng)a＝1時，求A?B；（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【變式7】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）命題p：集合M＝{x|x＜﹣2或x＞3}，命題q：集合．（1）若a＝﹣3時，判斷集合M與N的關(guān)系；（2）若a＞0且M∩N＝{x|3＜x≤6}，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【變式8】（2022春?普陀區(qū)校級月考）已知集合P＝{x||x﹣1|＜3}，Q＝{x|3m﹣2≤x≤5m+2，m∈R}．若P的充分非必要條件為Q，求實數(shù)m的取值范圍．【變式9】（2021秋?黃浦區(qū)校級月考）已知p：x∈A，且A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}；q：x∈B，且B＝{x|x≤1或x≥3}．（1）若A∩B＝?，A∪B＝R，求實數(shù)a的值；（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．題型三．必要條件例3．（2022秋?崇明區(qū)期末）已知全集U＝R，集合A＝[﹣2，10]，B＝{x||x﹣m|≤2}．（1）若m＝10，求；（2）若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若“x∈A”是“x∈B”的必要非充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【變式1】（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）已知全集為R，集合A＝{x|a＜x＜2+a}，B＝{x|x＜1或x＞4}．（1）當(dāng)A∩B≠?時，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若x∈是x∈B的必要非充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【變式2】（2022秋?松江區(qū)校級期末）已知ab≠0，則“”是“”成立的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式3】（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）“關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有實數(shù)根”是“ac＜0”的什么條件？請證明你的結(jié)論．題型四．充要條件例4.（2021秋?金山區(qū)校級月考）設(shè)n∈Z，求證：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．【變式1】（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知命題α：1≤x≤2，命題β：1≤x≤a．（1）若α是β必要非充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：a≥2是α?β成立的充要條件．【變式2】（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m，n∈Z}．（1）由于8＝32﹣12，所以8屬于集合A，判斷9，10是否屬于集合A；（2）已知集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，證明：“x∈A”的充分條件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要條件；（3）寫出所有滿足集合A的偶數(shù)．題型五、反證法例5．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）用反證法證明命題“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（）A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)不能被5整除【變式1】（2022秋?黃浦區(qū)校級期中）用反證法證明命題“任意三角形最多有一個鈍角”的第一步應(yīng)假設(shè)（）A．任意三角形都沒有鈍角 B．存在一個三角形恰有一個鈍角 C．任意三角形都有兩個鈍角 D．存在一個三角形至少有兩個鈍角【變式2】（2022秋?徐匯區(qū)校級月考）用反證法證明命題“若x+y≠5，則x≠2或y≠3”為真命題時，第一個步驟是．【變式3】（2022秋?青浦區(qū)校級期末）已知a、b∈R，用反證法證明命題：“若a2+b2＝0，則a、b全為零”時的假設(shè)是．【變式4】（2021秋?青浦區(qū)期末）用反證法證明命題“已知x，y∈R+，且x+y＞2，求證：與中至少有一個小于2”時，應(yīng)首先假設(shè)“”．【變式5】（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）用反證法證明命題“設(shè)a，b∈R，則方程與至少有一個實根”時要做的假設(shè)是方程與．【變式6】（2022秋?普陀區(qū)校級期末）設(shè)n∈Z．用反證法證明：若n3是奇數(shù)，則n是奇數(shù)．【變式7】（2022秋?黃浦區(qū)校級期中）（1）已知a，b，c∈R，證明：若a+b+c＜1，則a，b，c中至少有一個小于；（2）已知a，b，c∈R，判斷“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一個小于”的什么條件？并說明理由．【變式8】（2022秋?奉賢區(qū)校級月考）（1）已知m是實數(shù)，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求證：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要條件；（2）設(shè)n∈Z．用反證法證明：若n2是奇數(shù)，則n也是奇數(shù)．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2020·上海）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（）.A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；B．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度；C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度；D．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度.2．（2020·上海高一專題練習(xí)）原命題：“設(shè)a、b、c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．4個3．（2020·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)）條件甲;條件乙:，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2020·上海）“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．（2020·上海高一專題練習(xí)）可以作為“若，則”的一個充分而不必要條件的是（）A． B．或 C．且 D．6．（2020·上海高一專題練習(xí)）已知為實數(shù)，且.則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2020·上海高一專題練習(xí)）設(shè)a，b兩個實數(shù)，能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是（）A．a(chǎn)+b>1 B．a(chǎn)+b=2 C．a(chǎn)b>1 D．a(chǎn)+b>28．（2020·上海高一專題練習(xí)）有下列四個命題：①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“全等三角形的面積相等”的否命題；③“若，則有實根”的逆否命題；④“等邊三角形的三個內(nèi)角相等”逆命題；其中真命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2020·上海高一專題練習(xí)）是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2020·上海市控江中學(xué)高一期中）“”是“”的（）條件.A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要11．（2020·上海師范大學(xué)附屬中學(xué)閔行分校高一期中）設(shè)均為非零常數(shù)，不等式的解集分別為則“”是“”的（）條件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要二、填空題12．（2020·上海高一專題練習(xí)）命題“面積不相等的兩個三角形不全等”的逆否命題是_______________________.13．（2020·上海市洋涇中學(xué)）若“”是“”的充分條件，則______.14．（2020·上海市松江二中高一期中）若，則“”是“”的____條件.(從“充要?充分不必要?必要不充分?既不充分也不必要”四種關(guān)系中選擇)15．（2020·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)）設(shè)集合，，且“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．（2020·上海高一單元測試）命題“若都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是_______17．（2020·上海高一單元測試）寫出“”的一個充分非必要條件__________18．（2020·上海市金山中學(xué)）“”是“關(guān)于的方程無解”的_________條件.19．（2020·上海高一單元測試）給出下列四個命題：（1）若，，則；（2）若，則；（3）若，則；（4），則.其中正確命題是________.（填所有正確命題的序號）20．（2020·上海格致中學(xué)高一月考）寫出的一個必要非充分條件___________.21．（2020·上海高一專題練習(xí)）若和或都是假命題，則的范圍是__________22．（2020·上海市控江中學(xué)高一期中）設(shè)：，：，是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是__________.23．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一月考）設(shè)有兩個命題；①方程沒有實數(shù)根；②實數(shù)為非負(fù)數(shù)；如果這兩個命題中有且只有一個是真命題，那么實數(shù)的取值范圍是__