江西省上饒市私立裕豐中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

江西省上饒市私立裕豐中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中,,O是△ABC的內(nèi)心,若,其中,動點P的軌跡所覆蓋的面積為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】畫出圖形，由已知條件便知P點在以BD，BP為鄰邊的平行四邊形內(nèi)，從而所求面積為2倍的△AOB的面積，從而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的長為5，根據(jù)O為△ABC的內(nèi)心，從而O到△ABC三邊的距離相等，從而，由面積公式可以求出△ABC的面積，從而求出△AOB的面積，這樣2S△AOB便是所求的面積．【詳解】如圖，根據(jù)題意知，P點在以BP，BD為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部，∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O為△ABC的內(nèi)心；所以內(nèi)切圓半徑r=,所以∴==；∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為．故答案為：A．【點睛】本題主要考查考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，余弦定理，以及三角形內(nèi)心的定義，三角形的面積公式．意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關(guān)鍵是找到P點所覆蓋的區(qū)域.2.右圖是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間的關(guān)系：的圖象，有以下敘述，其中正確的是（

）1

這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；2

第5個月時，浮萍面積就會超過30；3

浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到2、3、6所經(jīng)過的時間分別為，則.A．①②

B．①②③④

C．②③④

D．①②④參考答案：D3.給出以下四個問題：①輸入一個數(shù),輸出它的相反數(shù)．②求面積為的正方形的周長．③求三個數(shù)中輸入一個數(shù)的最大數(shù)．④求函數(shù)的函數(shù)值．其中不需要用條件語句來描述其算法的有（

）A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：B略4.若某同學(xué)連續(xù)三次考試的名次（第一名為1，第二名為2，以此類推且沒有并列名次情況）不超過3，則稱該同學(xué)為班級的尖子生．根據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次數(shù)據(jù)，推斷一定不是尖子生的是（

）A．甲同學(xué)：均值為2，中位數(shù)為2

B．乙同學(xué)：均值為2，方差小于1C．丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2

D．丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于1參考答案：D略5.已知角α是第四象限角，角α的終邊經(jīng)過點P（4，y），且sinα=，則tanα的值是（）A．

B．C． D．參考答案：B【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】利用角α是第四象限角，角α的終邊經(jīng)過點P（4，y），且sinα=，求出y，即可求出tanα的值．【解答】解：∵角α是第四象限角，角α的終邊經(jīng)過點P（4，y），且sinα=，∴═，y＜0，∴y=﹣3，∴tanα=﹣．故選B．6.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（2，），則f（4）的值為（）A．16 B．2 C． D．參考答案：C【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】求出冪函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)值即可．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)為y=xα，∵冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（2，），∴=2α，解得α=．y=x．f（4）==．故選：C．7.（5分）函數(shù)f（x）=2x+log3x﹣1的零點在下列區(qū)間內(nèi)的是（） A． （0，） B． （，） C． （，） D． （，1）參考答案：C考點： 函數(shù)零點的判定定理．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 函數(shù)f（x）=2x+log3x﹣1在定義域上連續(xù)，且為增函數(shù)；從而由函數(shù)的零點的判定定理求解．解答： 解：函數(shù)f（x）=2x+log3x﹣1在定義域上連續(xù)，且為增函數(shù)；f（）=1+log3﹣1＜0，f（）=+log3﹣1=﹣log34＞0；故函數(shù)f（x）=2x+log3x﹣1的零點在（，）上，故選C．點評： 本題考查了函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知向量若則（▲）A．(-2,-1) B．(2,1) C．(3,-1) D．(-3,1)參考答案：A略9.將半徑為3，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為(

)A.

B.

C.

D.2π參考答案：A10.（5分）直線的斜率為﹣2，在y軸上的截距是4，則直線方程為（） A． 2x+y﹣4=0 B． 2x+y+4=0 C． 2x﹣y+4=0 D． 2x﹣y﹣4=0參考答案：A考點： 直線的斜截式方程．專題： 直線與圓．分析： 由已知直接寫出直線方程的斜截式得答案．解答： ∵直線的斜率為﹣2，在y軸上的截距是4，∴由直線方程的斜截式得直線方程為y=﹣2x+4，即2x+y﹣4=0．故選：A．點評： 本題考查了直線方程，考查了斜截式與一般式的互化，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在空間直角坐標系中，點與點的距離為.參考答案：12.已知正四棱錐P﹣ABCD的五個頂點都在同一個球面上，若該正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，則此球的體積為． 參考答案：36π【考點】球的體積和表面積． 【分析】利用勾股定理求出正四棱錐的高PM，再用射影定理求出球的半徑，代入面積公式計算即可． 【解答】解：如圖所示， 設(shè)球的半徑為r，正方形的ABCD的對角線的交點為M， 則球心在直線PM上， MC=AC=2， 由勾股定理得PM===4， 再由射影定理得PC2=PM×2r， 即24=4×2r， 解得r=3， 所以此球的表面積為4πr2=36π． 故答案為：36π． 【點評】本題考查了勾股定理、射影定理的應(yīng)用以及球的表面積公式問題，是基礎(chǔ)題目．13.數(shù)列的通項公式為，則這個數(shù)列的前99項之和．

參考答案：略14.已知f（x）的定義域為實數(shù)集R，?x∈R，f（3+2x）=f（7﹣2x），若f（x）=0恰有n個不同實數(shù)根，且這n個不同實數(shù)根之和等于75，則n=．參考答案：15【考點】3P：抽象函數(shù)及其應(yīng)用；54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】由條件可得f（x）=f（10﹣x），即圖象關(guān)于x=5對稱，可得f（x）=0n個不同實數(shù)根每兩個根的和為10，只需求出共有幾組10即可．【解答】解：?x∈R，f（3+2x）=f（7﹣2x），∴令t=3+2x，2x=t﹣3．∴f（t）=f（10﹣t）\∴f（x）=f（10﹣x）∵f（5）=0，∵（75﹣5）÷10=7，∴n=2×7+1=15．故答案為15．15.已知向量的夾角的大小為

．參考答案：16.已知菱形ABCD的邊長為1，，，，則__________．參考答案：由題意得=，填.

17.過兩點A(2,－1)，B(3,1)的直線的斜率為

．參考答案：2由題意得，過點A,B的直線的斜率為．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定義域為R的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．（1）求a，b的值；（2）用定義證明f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)；（3）若對于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的范圍．參考答案：【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，利用f（0）=0且f（﹣1）=﹣f（1），列出關(guān)于a、b的方程組并解之得a=b=1；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取實數(shù)x1、x2，通過作差因式分解可證出：當(dāng)x1＜x2時，f（x1）﹣f（x2）＞0，即得函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為：k＜3t2﹣2t對任意的t∈R都成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得k的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，可得b=1又∵f（﹣1）=﹣f（1）∴=﹣，解之得a=1經(jīng)檢驗當(dāng)a=1且b=1時，f（x）=，滿足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函數(shù)．

…（2）由（1）得f（x）==﹣1+，任取實數(shù)x1、x2，且x1＜x2則f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，可得，且∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)；

…（3）根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)．∴不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，即f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k）也就是：t2﹣2t＞﹣2t2+k對任意的t∈R都成立．變量分離，得k＜3t2﹣2t對任意的t∈R都成立，∵3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，當(dāng)t=時有最小值為﹣∴k＜﹣，即k的范圍是（﹣∞，﹣）．

…19.在等差數(shù)列{an}中，已知．（1）求通項{an}；（2）求{an}的前n項和Sn．參考答案：（1），（2）【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的基本量，首項和公差，根據(jù)條件列出方程組，解出和，寫出的通項.（2）由（1）中求出的基本量，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，寫出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，，解得（2）由（1）可知，20.某賓館有相同標準的床位100張，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)該賓館的床價（即每張床位每天的租金）不超過10元時，床位可以全部租出；當(dāng)床位高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑．為了獲得較好的效益，該賓館要給床位定一個合適的價格，條件是：①要方便結(jié)帳，床價應(yīng)為1元的整數(shù)倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高得越多越好．若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入（即除去每日的費用支出后的收入）：（1）把y表示成x的函數(shù)；（2）試確定，該賓館將床價定為多少元時，既符合上面的兩個條件，又能使凈收入高？參考答案：【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)床價不超過10元時，床位全部租出，該賓館一天出租床位的凈收入為100x﹣575，由于床位出租的收入必須高于支出且x為整數(shù)，得到6≤x≤10且x∈N+；當(dāng)床價超過10元時，該賓館一天出租床位的凈收入為[100﹣3（x﹣10）]x﹣575，化簡可得，此時的11≤x≤38；（2）分兩段求函數(shù)的最大值，當(dāng)6≤x≤10，當(dāng)x=10時，ymax=425；當(dāng)11≤x≤38且x∈N*時，根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法求出即可，然后判斷去最大．【解答】解：（1）（2）當(dāng)6≤x≤10且x∈N*時，y=100x﹣575，所以當(dāng)x=10時，ymax=425；當(dāng)11≤x≤38且x∈N*時，y=﹣3x2+130x﹣575=﹣3（x﹣65/3）2+2500/3，所以當(dāng)x=22時，ymax=833；綜上，當(dāng)x=22時，ymax=833．答：該賓館將床價定為22元時，凈收入最高為833元．21.已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程f（x）﹣t=1在內(nèi)恒有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)求解f（x）的圖象范圍，利用數(shù)形結(jié)合，可求實數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=2cos2x+2．化簡可得：f（x）=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1．由2x+≤上是單調(diào)增函數(shù)，解得：≤x≤，（k∈Z）．故得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[+kπ，]，（k∈Z）．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+）+1，當(dāng)時，則2x+∈[，]．方程f（x）﹣t=1在內(nèi)恒有兩個不相等的實數(shù)解，即：2sin（2x+）+1﹣t=1，可得：sin（2x+）=t在內(nèi)恒有兩個不相等的實數(shù)解，設(shè)2x+=u那么函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為g（u）．等價于g（u）=sinu與函數(shù)y=t有兩個不同的交點．∵g（u）=sinu的圖象為：（如圖）由圖象可得：sin≤＜1，即≤＜1，解得：1≤t＜2．故得實數(shù)t的取值范圍是[1，2）．【點評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．同時考查了函數(shù)之間的零點問題，屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=x2+．（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（Ⅱ）判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性