山東省濱州市2023-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題知識(shí)點(diǎn)分類（含解析）

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山東省濱州市2023-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題知識(shí)點(diǎn)分類

一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）

1．（2023濱州）計(jì)算：（﹣）÷．

二．分式的化簡(jiǎn)求值（共2小題）

2．（2023濱州）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（﹣），其中a滿足．

3．（2022濱州）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．

三．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

4．（2023濱州）某商品原來(lái)每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同．

（1）求該商品每次降價(jià)的百分率；

（2）若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，計(jì)劃通過(guò)以上兩次降價(jià)的方式，將庫(kù)存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于200元，那么第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)？

四．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

5．（2023濱州）甲、乙兩車沿同一條筆直的道路勻速同向行駛，車速分別為20米/秒和25米/秒．現(xiàn)甲車在乙車前500米處，設(shè)x秒后兩車相距y米，根據(jù)要求解答以下問(wèn)題：

（1）當(dāng)x＝50（秒）時(shí)，兩車相距多少米？當(dāng)x＝150（秒）時(shí)呢？

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（3）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)直接畫(huà)出（2）中所求函數(shù)的圖象．

五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）

6．（2023濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點(diǎn)．

（1）求直線y＝kx+b的解析式；

（2）在雙曲線上任取兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫(xiě)出判斷過(guò)程；

（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式的解集．

六．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

7．（2022濱州）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元）的一次函數(shù)．

（1）求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大？并求此最大利潤(rùn)．

七．二次函數(shù)綜合題（共2小題）

8．（2023濱州）如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，在其繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y＝x2相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）如圖1，若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖3，若線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（4）若線段AB中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長(zhǎng)．

9．（2022濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC、BC．

（1）求線段AC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA＝PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

八．菱形的性質(zhì)（共2小題）

10．（2023濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐

為（2，2），點(diǎn)D是邊OC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF，設(shè)OD＝x，△DEF的面積為S．

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請(qǐng)求出最大值．

11．（2022濱州）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．

（1）求菱形ABCD的面積；

（2）求證：AE＝EF．

九．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）

12．（2023濱州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD．

（1）求證：四邊形AOBE是菱形；

（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．

一十．圓的綜合題（共1小題）

13．（2023濱州）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)F，與△ABC的外接圓

交于點(diǎn)D．

（1）求證：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；

（2）求證：AB：AC＝BF：CF；

（3）求證：AF2＝ABAC﹣BFCF；

（4）猜想：線段DF，DE，DA三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出，不需證明．）

一十一．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）

14．（2023濱州）（1）已知線段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請(qǐng)借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出已知、求證與證明）

一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

15．（2022濱州）如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M．

求證：（1）PD是⊙O的切線；

（2）AM2＝OMPM．

16．（2023濱州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D，割線AC⊥DE于點(diǎn)E且交⊙O于點(diǎn)F，連接DF．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）求證：DF2＝EFAB．

一十三．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）

17．（2023濱州）中共上都辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》中，對(duì)學(xué)生每天的作業(yè)時(shí)間提出明確要求：“初中書(shū)面作業(yè)平均完成時(shí)間不超過(guò)90分鐘”，為了更好地落實(shí)文件精神，某縣對(duì)轄區(qū)內(nèi)部分初中學(xué)生就“每天完成書(shū)面作業(yè)的時(shí)間“進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，為便于統(tǒng)計(jì)學(xué)生每天完成書(shū)面作業(yè)的時(shí)間（用t表示，單位h）狀況設(shè)置了如下四個(gè)選項(xiàng)，分別為A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)以上提供的信息解答下列問(wèn)題：

（1）此次調(diào)查，選項(xiàng)A中的學(xué)生人數(shù)是多少？

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，選項(xiàng)D所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的大小為多少？

（3）如果該縣有15000名初中學(xué)生，那么請(qǐng)估算該縣“每天完成書(shū)面作業(yè)的時(shí)間不超過(guò)90分鐘”的初中學(xué)生約有多少人？

（4）請(qǐng)回答你每天完成書(shū)面作業(yè)的時(shí)間屬于哪個(gè)選項(xiàng)，并對(duì)老師的書(shū)面作業(yè)布置提出合理化建議．

一十四．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）

18．（2022濱州）某校為滿足學(xué)生課外活動(dòng)的需求，準(zhǔn)備開(kāi)設(shè)五類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，分別為A：籃球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳繩．為了解學(xué)生的報(bào)名情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取八年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)以上圖文信息回答下列問(wèn)題：

（1）此次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？

（2）請(qǐng)將此條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）在此扇形統(tǒng)計(jì)圖中，項(xiàng)目D所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的大小為；

（4）學(xué)生小聰和小明各自從以上五類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中任選一項(xiàng)參加活動(dòng)，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求他倆選擇相同項(xiàng)目的概率．

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參考答案與試題解析

一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）

1．（2023濱州）計(jì)算：（﹣）÷．

【答案】﹣．

【解答】解：（﹣）÷

＝[﹣]

＝

＝

＝

＝﹣

＝﹣．

二．分式的化簡(jiǎn)求值（共2小題）

2．（2023濱州）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（﹣），其中a滿足．

【答案】a2﹣4a+4，1．

【解答】解：原式＝÷[﹣]

＝÷[﹣]

＝÷

＝

＝（a﹣2）2

＝a2﹣4a+4，

∵，

∴a2﹣4a+3＝0，

∴a2﹣4a＝﹣3，

∴原式＝﹣3+4＝1．

3．（2022濱州）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．

【答案】，0．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝，

∵a＝tan45°+（）﹣1﹣π0

＝1+2﹣1

＝2，

∴當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝＝0．

三．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

4．（2023濱州）某商品原來(lái)每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同．

（1）求該商品每次降價(jià)的百分率；

（2）若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，計(jì)劃通過(guò)以上兩次降價(jià)的方式，將庫(kù)存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于200元，那么第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)？

【答案】（1）10%；

（2）6件．

【解答】解：（1）設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，

60（1﹣x）2＝48.6，

解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），

答：該商品每次降價(jià)的百分率是10%；

（2）設(shè)第一次降價(jià)售出a件，則第二次降價(jià)售出（20﹣a）件，

由題意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，

解得a≥5，

∵a為整數(shù)，

∴a的最小值是6，

答：第一次降價(jià)至少售出6件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)．

四．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

5．（2023濱州）甲、乙兩車沿同一條筆直的道路勻速同向行駛，車速分別為20米/秒和25米/秒．現(xiàn)甲車在乙車前500米處，設(shè)x秒后兩車相距y米，根據(jù)要求解答以下問(wèn)題：

（1）當(dāng)x＝50（秒）時(shí)，兩車相距多少米？當(dāng)x＝150（秒）時(shí)呢？

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（3）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)直接畫(huà)出（2）中所求函數(shù)的圖象．

【答案】（1）當(dāng)x＝50（秒）時(shí)，兩車相距250米，當(dāng)x＝150（秒）時(shí)，兩車相距250米；

（2）y＝；

（3）函數(shù)圖象見(jiàn)解答．

【解答】解：（1）∵500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），

∴當(dāng)x＝50時(shí)，兩車相距：20×50+500﹣25×50＝1000+500﹣1250＝250（米），

當(dāng)x＝150時(shí)，兩車相距：25×150﹣（20×150+500）＝3750﹣（3000+500）＝3750﹣3500＝250（米），

答：當(dāng)x＝50（秒）時(shí)，兩車相距250米，當(dāng)x＝150（秒）時(shí)，兩車相距250米；

（2）由題意可得，乙車追上甲車用的時(shí)間為：500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），

∴當(dāng)0≤x≤100時(shí)，y＝20x+500﹣25x＝﹣5x+500，

當(dāng)x＞100時(shí)，y＝25x﹣（20x+500）＝25x﹣20x﹣500＝5x﹣500，

由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝；

（3）在函數(shù)y＝﹣5x+500中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣5×0+500＝500，當(dāng)x＝100時(shí)，y＝﹣5×100+500＝0，

即函數(shù)y＝﹣5x+500的圖象過(guò)點(diǎn)（0，500），（100，0）；

在函數(shù)y＝5x﹣500中，當(dāng)x＝150時(shí)，y＝250，當(dāng)x＝200時(shí)，y＝500，

即函數(shù)y＝5x﹣500的圖象過(guò)點(diǎn)（150，250），（200，500），

畫(huà)出（2）中所求函數(shù)的圖象如右圖所示．

五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）

6．（2023濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點(diǎn)．

（1）求直線y＝kx+b的解析式；

（2）在雙曲線上任取兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫(xiě)出判斷過(guò)程；

（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式的解集．

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①M(fèi)、N在雙曲線的同一支上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2；②M、N在雙曲線的不同的一支上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2；（3）x＜﹣1或0＜x＜2．

【解答】解：（1）由題意，將B點(diǎn)代入雙曲線解析式y(tǒng)＝，

∴2＝．

∴m＝﹣2．

∴雙曲線為y＝﹣．

又A（2，a）在雙曲線上，

∴a＝﹣1．

∴A（2，﹣1）．

將A、B代入一次函數(shù)解析式得，

∴．

∴直線y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+1．

（2）由題意，可分成兩種情形．

①M(fèi)、N在雙曲線的同一支上，

由雙曲線y＝﹣，在同一支上時(shí)函數(shù)值隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2．

②M、N在雙曲線的不同的一支上，

∵x1＜x2，

∴x1＜0＜x2．

∴此時(shí)由圖象可得y1＞0＞y2，

即此時(shí)當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2．

（3）依據(jù)圖象，即一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，

∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），

∴不等式的解集為：x＜﹣1或0＜x＜2．

六．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

7．（2022濱州）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元）的一次函數(shù)．

（1）求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大？并求此最大利潤(rùn)．

【答案】（1）y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；

（2）當(dāng)x＝21時(shí)，W有最大值，最大值為3630．

【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，

解得：，

∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；

（2）設(shè)每月所獲的利潤(rùn)為W元，

∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）

＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）

＝﹣30（x2﹣42x+320）

＝﹣30（x﹣21）2+3630．

∴當(dāng)x＝21時(shí)，W有最大值，最大值為3630．

七．二次函數(shù)綜合題（共2小題）

8．（2023濱州）如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，在其繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y＝x2相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）如圖1，若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖3，若線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（4）若線段AB中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長(zhǎng)．

【答案】（1）（﹣，）；（2）（，）；（3）y＝x2+2；（4）4．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A、B在拋物線y＝x2上，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，

∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝×（﹣3）2＝×9＝，當(dāng)x＝時(shí)，y＝×（）2＝×＝，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），

作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，如右圖1所示，

則AC∥BD∥PE，

∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，

∴PA＝PB，

由平行線分線段成比例，可得EC＝ED，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），

則x﹣（﹣3）＝﹣x，

∴x＝＝﹣，

同理可得，y＝＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；

（2）∵點(diǎn)B在拋物線y＝x2上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：y＝×42＝8，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），

∴OD＝4，DB＝8，

作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如右圖2所示，

∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，

∴∠AOC＝∠OBD，

∴△AOC∽△OBD，

∴，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），

∴CO＝﹣a，AC＝a2，

∴，

解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，），

∴中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：＝，縱坐標(biāo)為＝，

∴線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（3）作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如右圖3所示，

由（2）知，△AOC∽△OBD，

∴，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，b2），

∴，

解得，ab＝﹣4，

∵點(diǎn)P（x，y）是線段AB的中點(diǎn)，

∴x＝，y＝＝＝，

∴a+b＝2x，

∴y＝＝x2+2，

即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝x2+2；

（4）當(dāng)y＝6時(shí)，6＝x2+2，

∴x2＝4，

∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，點(diǎn)P時(shí)斜邊AB的中點(diǎn)，

∴AB＝2OP＝4，

即線段AB的長(zhǎng)是4．

9．（2022濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC、BC．

（1）求線段AC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA＝PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）；

（2）（1，﹣1）；

（3）（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．

【解答】解：（1）針對(duì)于拋物線y＝x2﹣2x﹣3，

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）；

令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝3或x＝﹣1，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴AC＝＝；

（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，

∵點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上，

∴設(shè)P（1，p），

∴PA＝＝，PC＝＝，

∵PA＝PC，

∴＝，

∴p＝﹣1，

∴P（1，﹣1）；

（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3，

設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），

∵△BCM為直角三角形，

∴①當(dāng)∠BCM＝90°時(shí)，

如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于H，則HM＝m，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，

∴∠HMC＝45°＝∠HCM，

∴CH＝MH，

∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，

∴﹣m2+2m＝m，

∴m＝0（不符合題意，舍去）或m＝1，

∴M（1，﹣4）；

②當(dāng)∠CBM＝90°時(shí)，

過(guò)點(diǎn)M作M'H'⊥x軸，

同①的方法得，M'（﹣2，5）；

③當(dāng)∠BMC＝90°時(shí)，如圖2，

Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，

過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DM，交DM的延長(zhǎng)線于E，

∴∠CDM＝∠E＝90°，

∴∠DCM+∠DMC＝90°，

∵∠DMC+∠EMB＝90°，

∴∠DCM＝∠EMB，

∴△CDM∽△MEB，

∴，

∵M(jìn)（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），

∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，

∴，

∴m＝0（舍去）或m＝3（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，不符合題意，舍去）或m＝（不符合題意，舍去）或m＝，

∴M（，﹣），

Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，M（，﹣），

即滿足條件的M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．

八．菱形的性質(zhì)（共2小題）

10．（2023濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐

為（2，2），點(diǎn)D是邊OC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF，設(shè)OD＝x，△DEF的面積為S．

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請(qǐng)求出最大值．

【答案】（1）S＝（0≤x≤4），

（2）當(dāng)x＝2時(shí)，S有最大值，最大值為2．

【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥OC于點(diǎn)G，連接AC，

∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），

∴OA＝，OG＝2，AG＝2，

∴cos∠AOG＝＝，

∴∠AOG＝60°，

∵四邊形OABC是菱形，

∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥BD，AO＝OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠ACO＝60°，

∵DE⊥OB，

∴DE∥AC，

∴∠EDO＝∠ACO＝60°，

∴△EOD是等邊三角形，

∴ED＝OD＝x，

∵DF∥OB，

∴△CDF∽△COB，

∴，

∵A（2，2），AO＝4，則B（6，2），

∴OB＝，

∴＝，

∴DF＝（4﹣x），

∴S＝＝，

∴S＝（0≤x≤4），

（2）∵S＝＝（0≤x≤4），

∴當(dāng)x＝2時(shí)，S有最大值，最大值為2．

11．（2022濱州）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．

（1）求菱形ABCD的面積；

（2）求證：AE＝EF．

【答案】（1）50；

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答．

【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，如圖所示，

∵四邊形ABCD是菱形，邊長(zhǎng)為10，∠ABC＝60°，

∴BC＝10，AG＝ABsin60°＝10×＝5，

∴菱形ABCD的面積是：BCAG＝10×5＝50，

即菱形ABCD的面積是50；

（2）證明：連接EC，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，

∴EA＝EC，∠DCA＝60°，

∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，

∵∠AEF＝120°，

∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，

∵∠ECA+∠ECF＝120°，

∴∠EFC＝∠ECF，

∴EC＝EF，

∴AE＝EF．

九．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）

12．（2023濱州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD．

（1）求證：四邊形AOBE是菱形；

（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；

（2）2．

【解答】（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，

∴四邊形AOBE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∴四邊形AOBE是菱形；

（2）解：作BF⊥OA于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD是矩形，AC＝4，

∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB＝2，

∵∠AOB＝60°，

∴BF＝OBsin∠AOB＝2×＝，

∴菱形AOBE的面積是：OABF＝2×＝2．

一十．圓的綜合題（共1小題）

13．（2023濱州）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)F，與△ABC的外接圓

交于點(diǎn)D．

（1）求證：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；

（2）求證：AB：AC＝BF：CF；

（3）求證：AF2＝ABAC﹣BFCF；

（4）猜想：線段DF，DE，DA三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出，不需證明．）

【答案】見(jiàn)解答．

【解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作FH⊥AC，F(xiàn)G⊥AB，垂足分別為H、G，如圖：

∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，

∴AD是∠BAC的平分線，

∵FH⊥AC，F(xiàn)G⊥AB，

∴FG＝FH，

∵S△ABF，S△ACF，

∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．

（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，

∵S△ABF＝，S△ACF＝，

∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，

由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．

∴AB：AC＝BF：FC，

（3）證明：連接DB、DC，如圖，

∵，，

∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，

∴△BFD∽△AFC，

∴BFCF＝AFDF，

∵，

∴∠FBA＝∠ADC，

又∠BAD＝∠DAC，

∴△ABF∽△ADC，

∴，

∴ABAC＝ADAF，

∴ABAC＝（AF+DF）AF＝AF2+AFDF，

∴AF2＝ABAC﹣BFCF．

（4）連接BE，如圖，

∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，

∴BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABE＝∠FBE，

∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，

∴△ABD∽△BFD，

∴，

∴DB2＝DADF，

∵∠BED＝∠BAE+∠ABE＝+，

∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE＝+，

∴∠BED＝∠DBE，

∴DB＝DE，

∴DE2＝DADF，

一十一．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）

14．（2023濱州）（1）已知線段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請(qǐng)借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出已知、求證與證明）

【答案】（1）見(jiàn)解答；

（2）見(jiàn)解答．

【解答】解：（1）如圖：Rt△ABC即為所求；

（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，

求證：CD＝AB，

證明：延長(zhǎng)CE到D，使得DE＝CE，

∵CD是AB邊上的中線，

∴BE＝AE，

∴四邊形ACBD是平行四邊形，

∵∠BCA＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，

∴CE＝CD＝AB．

一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

15．（2022濱州）如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M．

求證：（1）PD是⊙O的切線；

（2）AM2＝OMPM．

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答．

【解答】證明：（1）連接OB，如圖所示，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠CBA＝90°，

∴∠CAB+∠OCB＝90°，

∵∠CBD＝∠CAB，

∴∠CBD+∠OCB＝90°，

∴∠CBD+∠OBC＝90°，

∴∠OBD＝90°，

∴PD是⊙O的切線；

（2）由（1）知PD是⊙O的切線，直線PA與⊙O相切，

∴PO垂直平分AB，

∴∠AMP＝∠AMO＝90°，

∴∠APM+∠PAM＝90°，

∵∠OAP＝90°，

∴∠PAM+∠OAM＝90°，

∴∠APM＝∠OAM，

∴△OAM∽△APM，

∴，

∴AM2＝OMPM．

16．（2023濱州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D，割線AC⊥DE于點(diǎn)E且交⊙O于點(diǎn)F，連接DF．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）求證：DF2＝EFAB．

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答．

【解答】（1）證明：連接OD，如右圖1所示，

∵直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D，AC⊥DE，

∴∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴∠ODE+∠DEA＝180°，

∴OD∥AC，

∴∠ODA＝∠DAC，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠DAC＝∠OAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）方法一：證明：連接BD，如右圖1所示，

∵AC⊥DE，垂足為E，AB是⊙O的直徑，

∴∠DEF＝∠ADB＝90°，

∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，

∴∠EFD＝∠DBA，

∴△EFD∽△DBA，

∴，

∴DBDF＝EFAB，

由（1）知，AD平分∠BAC，

∴∠FAD＝∠DAB，

∴DF＝DB，

∴DF2＝EFAB．

方法二：作OM⊥DF于點(diǎn)M，連接OF、OD，如右圖2所示，

∵OD＝OF，OM⊥DF，

∴DM＝MF＝DF，

∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，

∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，

∴∠DEF＝∠OMD，

又∵∠DEF＝∠OMD，

∴△DEF∽△OMD，

∴，

∴EFOD＝DFMD，

∵OD＝AB，DM＝DF，

∴EFAB＝DFDF，