人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 12.3 第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì) 導(dǎo)學(xué)案(含答案)

第第頁(yè)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)12.3第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案(含答案)12.3第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)探究理解角平分線的性質(zhì)并會(huì)運(yùn)用.

2.掌握尺規(guī)作圖作角的平分線.

學(xué)習(xí)策略

1.結(jié)合實(shí)驗(yàn)探究，掌握角平分線的性質(zhì)；

2.運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一.復(fù)習(xí)回顧：

1．什么是角的平分線？怎樣畫(huà)一個(gè)角的平分線？

2.右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？

二.新課學(xué)習(xí)：

閱讀課本本節(jié)課的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)一：角平分線的畫(huà)法

1.由作一個(gè)已知角的平分線的作法可知OMON，MCNC.(填“>”“<”或“=”)

【答案】=；=

(2)證明過(guò)程如下：

【答案】在△ACD和△ACB中，

所以△ACD≌△ACB（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

所以AC平分∠DAB（角平分線的定義）.

知識(shí)點(diǎn)二：角的平分線的性質(zhì)

2.在角的平分線OC上任意找一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)分別作OA、OB的垂線交OA、O于M、N,PM、PN的長(zhǎng)度是∠AOB的平分線上一點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離.

(1)操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：

PMPN

第一次

第二次

第三次

你通過(guò)測(cè)量比較發(fā)現(xiàn)了什么請(qǐng)加以證明.

【答案】PD=PE；證明：因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠POD=∠POE，又因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB，

所以∠PDO=∠PEO=90°，又因?yàn)镺P=OP，所以△PDO≌△PEO(AAS)，所以PD=PE

綜之：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離.

【答案】相等

符號(hào)語(yǔ)言：因?yàn)辄c(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB，所以.

【答案】PD=PE

三.嘗試應(yīng)用：

例1如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E,F.

求證：EB=FC.

證明：因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF.

因?yàn)樵赗t△BDE和Rt△CDF中，，

所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

所以EB=FC.

例2如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P．

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

證明：作OD、OE、OF分別垂直于三邊AB、BC、CA，

D、E、F為垂足，

因?yàn)锽M為△ABC的角平分線，

OD⊥AB，OE⊥BC，

所以O(shè)D＝OE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）．

同理可證：OF＝OE．

所以O(shè)D＝OE＝OF．

即點(diǎn)O到三邊AB、BC、CA的距離相等．

四.自主總結(jié)：

1.熟記角平分線的畫(huà)法

2.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離.

相等

五.達(dá)標(biāo)測(cè)試

一、選擇題

1.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是()

A.SSSB.ASA

C.AASD.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等

2.如果要作已知角AOB的平分線OC，合理的順序是()

①作射線OC；②在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；③分別以D、E為圓心，大于DE為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.

A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①

3.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD＝6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為()

A.6B.5C.4D.3

4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；

②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G；

③作射線AG，交BC邊于點(diǎn)D．

則∠ADC的度數(shù)為（）

A．40°B．55°C．65°D．75°

5.如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD

二、填空題

6.如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠BCA的平分線，DE⊥AC于E，AC=10，BC=6，則AE=__________．

7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是.

8.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=5，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______．

三、解答題

9.如圖所示，BD平分∠ABC，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N為垂足．求證：PM=PN．

10.已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．

（1）PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系是________．

（2）請(qǐng)你證明（1）得出的結(jié)論．

參考答案

1.A2.C3.A

4.C解析：連接EF．因?yàn)辄c(diǎn)E、F是以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AB、AC的交點(diǎn)，所以AF=AE；所以△AEF是等腰三角形；又因?yàn)榉謩e以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G；所以AG是線段EF的垂直平分線，所以AG平分∠CAB，因?yàn)椤螩AB=50°，所以∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，所以∠ADC=65°.

5.B解析：因?yàn)镺P為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，所以PC=PD，故A正確；在Rt△OCP與Rt△ODP中，OP＝OP，PC＝PD，所以△OCP≌△ODP，所以∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正確．不能得出∠CPD=∠DOP，故B錯(cuò)誤．

6.4解析：因?yàn)镃D是∠BCA的平分線，∠B=90°，DE⊥AC，所以BD=DE，在Rt△BCD和Rt△ECD中，CD＝CD,BD＝DE，所以Rt△BCD≌Rt△ECD（HL），所以EC=BC=6，所以AE=AC-EC=10-6=4．

7..30解析：由題意得AP是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，又因?yàn)椤螩=90°，所以DE=CD，所以△ABD的面積=ABDE=×15×4=30．

8.解析：根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DP⊥BC的時(shí)候，DP的長(zhǎng)度最小，因?yàn)锽D⊥CD，即∠BDC=90°，又因?yàn)椤螦=90°，所以∠A=∠BDC，又因?yàn)椤螦DB=∠C，所以∠ABD=∠CBD，又因?yàn)镈A⊥BA，BD⊥DC，所以AD=DP，又AD=5，所以DP=5．

9.證明：在△ABD和△CBD中，，所以△ABD≌△CBD（SAS），所以∠ADB=∠CDB．又PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM=PN．

10.解：（1）PC=PD．（