第六節(jié)三角恒等變換

第六節(jié)三角恒等變換第1頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月變式：第3頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二倍角的正弦、余弦、正切公式公

式

名公式二倍角的正弦sin2α=________________二倍角的余弦cos

2α=_____________=_________=_________二倍角的正切tan2α=2sinα·cosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第4頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3.半角公式第5頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月4.降冪公式、升冪公式、萬能公式公

式

名公式降冪公式sin2α=,cos2α=sinαcosα=升冪公式1-cos

2α=_______,1+cos2α=1-sin2α=(sinα-cosα)21+sin2α=(sinα+cosα)2萬能公式sin2α=,cos2α=2cos2α2sin2α第6頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月5第7頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）.（1）當(dāng)α是第一象限角時(shí)，()（2）對(duì)任意角α，都成立.()（3）半角的正、余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.()（4）用sinα,cosα可將表示為()（5）當(dāng)時(shí)，()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√第8頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)第13頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1.已知?jiǎng)t等于()B2.已知?jiǎng)t等于()（A）3（B）6（C）12（D）A第22頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3.下列各式的值為的是()（B）1-2sin275°（D）sin15°cos15°D4.已知?jiǎng)tsin2θ=______.5.計(jì)算=

.2第23頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月6.計(jì)算______.7（1）（2013·吉安模擬）已知（0＜α＜π），則cos2α=______.(2)已知且則的值為______.第24頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月8.已知α為第三象限的角，則______.9.(2012·江西高考)若tanθ+=4，則sin2θ=()第25頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月10.(2013·寶雞模擬)已知且則等于()11.(2012·江蘇高考)設(shè)α為銳角，若則的值為______．第26頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【拓展提升】1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則、要求及方法(1)化簡(jiǎn)原則:①統(tǒng)一角;②統(tǒng)一函數(shù)名;③能求值的則求值.(2)化簡(jiǎn)結(jié)果的要求：①盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；②盡量使項(xiàng)數(shù)最少；③盡量使分母不含三角函數(shù)；④盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).(3)化簡(jiǎn)方法：主要是弦切互化，異名化同名，異角化同角.第28頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.三角函數(shù)式求值的類型和思路(1)三角函數(shù)式求值問題的類型①直接求值.即直接根據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當(dāng)?shù)墓交?jiǎn)變形求得三角函數(shù)式的值；②條件求值.即根據(jù)條件選擇合適的公式進(jìn)行三角恒等變換求得所需要的值，同時(shí)注意所給角的范圍.第29頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3.條件求值題的一般解法①先化簡(jiǎn)所求式子或已知條件;②觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手);③將已知條件代入所求式子,化簡(jiǎn)求值.2.三角函數(shù)式給值求角的注意點(diǎn)一是找出已知角和未知角之間的關(guān)系，用已知角構(gòu)造未知角，二是涉及的角的范圍要確定準(zhǔn).第30頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月考向3

三角函數(shù)的綜合問題【典例3】（1）（2013·上饒模擬）關(guān)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是()(A)f(x)的最小正周期是π,在區(qū)間上是增加的(B)f(x)的最小正周期是2π,最大值是2(C)f(x)的最小正周期是π,最大值是

(D)f(x)的最小正周期是π,在區(qū)間上是增加的第39頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）（2013·商洛模擬）將函數(shù)y=f(x)·sinx的圖像向右平移個(gè)單位后，再作關(guān)于x軸對(duì)稱變換，得到函數(shù)y=1-2sin2x的圖像，則f(x)可以是()(A)sinx(B)cosx(C)2sinx(D)2cosx（3）設(shè)滿足①求f(x)的解析式.②求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.第40頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式后再判斷.(2)運(yùn)用逆變換的思想解題.（3）①將f(x)的關(guān)系式展開合并再利用可求a，并利用輔助角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)，從而得f(x)的解析式.②利用x的范圍及函數(shù)單調(diào)性求最值.第41頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)范解答】（1）選D.

故該函數(shù)的最小正周期為π,最大值為2，故選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)不單調(diào)，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)是增加的，即D正確.(2)選D.運(yùn)用逆變換方法：作y=1-2sin2x=cos2x的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像得的圖像，再向左平移個(gè)單位得的圖像，∴f(x)=2cosx.第42頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)①f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x由得解得因此當(dāng)時(shí),f(x)是增加的；當(dāng)時(shí),f(x)是減少的，第43頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月所以f(x)在上的最大值為又因?yàn)楣蔲(x)在上的最小值為第44頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【拓展提升】解三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題的注意點(diǎn)（1）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式,先把函數(shù)解析式化為y=Asin(ωx+φ）的形式,再進(jìn)一步探討定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì).（2）注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，主要考查基本運(yùn)算能力．第45頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)的最小正周期為π.（1）求ω的值.（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π,且ω>0，所以解得ω=1.第46頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)由（1）得因?yàn)樗运运运詅(x)在區(qū)間上的取值范圍為第47頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【滿分指導(dǎo)】解答三角函數(shù)綜合題的規(guī)范【典例】（12分）（2012·北京高考）已知函數(shù)（1）求f（x）的定義域及最小正周期.(2)求f（x）的遞增區(qū)間.第48頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【思路點(diǎn)撥】已知條件條件分析分母是sinx令sinx≠0得定義域sin2x可利用倍角公式sin2x=2sinxcosx利用公式整理化成一個(gè)角的三角函數(shù)第49頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【規(guī)范解答】（1）由sinx≠0得，x≠kπ,k∈Z，①所以定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z}.3分

②5分所以f(x)的最小正周期8分第50頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)令且x≠kπ，其中k∈Z，………………10分所以遞增區(qū)間為

……12分第51頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)第52頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月5.(2012·天津高考)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x-1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.第53頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】(1)f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+sin2x·cos-cos2x·sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+).所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，又f(